Гемикомпактное пространство

В математике , в области топологии , топологическое пространство называется полукомпактным, если оно имеет последовательность компактных подмножеств, причем каждое компактное подмножество пространства лежит внутри некоторого компактного множества в последовательности. ^[1] Ясно, что это приводит к тому, что объединение последовательности будет представлять собой все пространство, поскольку каждая точка компактна и, следовательно, должна лежать в одном из компактных множеств.

Примеры

Всякое компактное пространство полукомпактно.
Настоящая линия – полукомпактная.
Каждое локально компактное пространство Линделефа полукомпактно.

Характеристики

Всякое полукомпактное пространство является σ-компактным. ^[2] а если, кроме того, оно сначала счетно , то оно локально компактно . Если полукомпакт слабо локально компактен , то он исчерпаем компактами .

Приложения

Если $X$ — полукомпактное пространство, то пространство $C(X,M)$ всех непрерывных функций $f:X\to M$ в метрическое пространство $(M,\delta )$ с компактно-открытой метризуемо топологией . ^[3] Чтобы увидеть это, возьмем последовательность $K_{1},K_{2},\dots$ компактных подмножеств $X$ такая, что каждое компактное подмножество $X$ лежит внутри некоторого компакта этой последовательности (существование такой последовательности следует из полукомпактности $X$ ). Определение псевдометрики

d_{n}(f,g)=\sup _{x\in K_{n}}\delta {\bigl (}f(x),g(x){\bigr )},\quad f,g\in C(X,M),n\in \mathbb {N} .

Затем

d(f,g)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{n}}}\cdot {\frac {d_{n}(f,g)}{1+d_{n}(f,g)}}

определяет метрику на $C(X,M)$ что индуцирует компактно-открытую топологию.

См. также

Примечания

^ Уиллард 2004 , Проблема изложена в разделе 17.
^ Уиллард 2004, с. 126
^ Конвей 1990 , Пример IV.2.2.

Ссылки

Уиллард, Стивен (2004). Общая топология . Дуврские публикации. ISBN 0-486-43479-6 .
Конвей, Дж. Б. (1990). Курс функционального анализа . Тексты для аспирантов по математике. Том. 96. Спрингер Верлаг . ISBN 0-387-97245-5 .

Внешние ссылки

полукомпактное пространство в nLab
полукомпакт на π-базе

Эта , посвященная топологии, статья незавершена . Вы можете помочь Википедии, расширив ее .

[1] Уиллард 2004 , Проблема изложена в разделе 17.

[:6-2] Уиллард 2004, с. 126

[3] Конвей 1990 , Пример IV.2.2.

[1]

[2]

[3]