Линделёфское пространство

В математике пространство Линделефа ^{[ 1 ]}^{[ 2 ]} — топологическое пространство , в котором каждое открытое покрытие имеет счетное подпокрытие. Свойство Линделефа является ослаблением более часто используемого понятия компактности , которое требует существования конечного подпокрытия .

А наследственное пространство Линделефа ^{[ 3 ]} — топологическое пространство такое, что каждое его подпространство линделёфово. Такое пространство иногда называют строго Линделёфом , но эта терминология иногда используется в совершенно другом значении, что сбивает с толку. ^{[ 4 ]} Термин наследственно Линделеф более распространен и однозначен.

Пространства Линделефа названы в честь финского математика Эрнста Леонарда Линделефа .

Свойства пространств Линделефа

Каждое компактное пространство и, в более общем плане, любое σ-компактное пространство является линделёфовым. В частности, каждое счетное пространство линделёфово.
Пространство Линделефа компактно тогда и только тогда, когда оно счетно компактно .
Каждое секундно-счетное пространство является линделефовым, ^{[ 5 ]} но не наоборот. Например, существует множество компактов, которые не являются счетными.
Метрическое пространство является линделёфовым тогда и только тогда, когда оно сепарабельно и тогда и только тогда, когда оно счетно по секундам . ^{[ 6 ]}
Каждое регулярное пространство Линделефа нормально . ^{[ 7 ]}
Всякое регулярное пространство Линделефа паракомпактно . ^{[ 8 ]}
Счетное объединение линделефовых подпространств топологического пространства является линделефовым.
Каждое замкнутое подпространство пространства Линделефа является линделефовым. ^{[ 9 ]} Следовательно, каждое F _σ множество в линделефовом пространстве является линделёфовым.
Произвольные подпространства пространства Линделефа не обязательно должны быть линделефовыми. ^{[ 10 ]}
Непрерывный образ пространства Линделефа — это Линделёф. ^{[ 11 ]}
Произведение пространства Линделефа и компакта есть Линделёф. ^{[ 12 ]}
Произведение пространства Линделефа и σ-компакта есть Линделёф. Это следствие предыдущего свойства.
Произведение двух пространств Линделефа не обязательно должно быть Линделефом. Например, линия Соргенфрея $S$ это Линделеф, а самолет Зоргенфрея $S\times S$ это не Линделёф. ^{[ 13 ]}
В пространстве Линделефа каждое локально конечное семейство непустых подмножеств не более чем счетно.

Свойства наследственных пространств Линделефа

Пространство наследственно линделёво тогда и только тогда, когда каждое его открытое подпространство линделёфово. ^{[ 14 ]}
Наследственно пространства Линделефа замкнуты относительно счетных объединений, подпространств и непрерывных образов.
Регулярное пространство Линделефа наследственно линделефово тогда и только тогда, когда оно совершенно нормально . ^{[ 15 ]}^{[ 16 ]}
Каждое секундно-счетное пространство наследственно линделефово.
Каждое счетное пространство наследственно линделефово.
Каждое пространство Суслина наследственно линделефово.
Любая мера Радона на наследственном пространстве Линделефа является модерируемой.

Пример: самолет Зоргенфрея не Линделёфа.

Произведение пространств Линделефа не обязательно является Линделёфом. Обычным примером этого является самолет Соргенфрея. $\mathbb {S} ,$ который является продуктом реальной строки $\mathbb {R}$ в топологии полуинтервала с самим собой. Открытые множества на плоскости Соргенфрея представляют собой объединения полуоткрытых прямоугольников, которые включают южный и западный края и опускают северный и восточный края, включая северо-западный, северо-восточный и юго-восточный углы. Антидиагональ $\mathbb {S}$ это набор точек $(x,y)$ такой, что $x+y=0.$

Рассмотрим открытое покрытие $\mathbb {S}$ который состоит из:

Набор всех прямоугольников $(-\infty ,x)\times (-\infty ,y),$ где $(x,y)$ находится на антидиагонали.
Набор всех прямоугольников $[x,+\infty )\times [y,+\infty ),$ где $(x,y)$ находится на антидиагонали.

Здесь следует отметить, что каждая точка антидиагонали содержится ровно в одном наборе покрытия, поэтому необходимы все (несчетное множество) наборов из пункта (2) выше.

Еще один способ увидеть это $S$ не является Линделёфом, следует отметить, что антидиагональ определяет замкнутое и несчетное дискретное подпространство $S.$ Это подпространство не является линделефовым, и поэтому все пространство также не может быть линделефовым (поскольку замкнутые подпространства пространств Линделефа также являются линделефовыми).

Обобщение

Следующее определение обобщает определения компакта и Линделёфа: топологическое пространство — это $\kappa$ -компактный (или $\kappa$ -Линделёф ), где $\kappa$ является любым кардиналом , если каждое открытое покрытие имеет подпокрытие мощности строго меньше $\kappa$ . Тогда компактный $\aleph _{0}$ -компакт и тогда Линделёф $\aleph _{1}$ -компактный.

The Степень Линделефа , или число Линделефа $l(X),$ самый маленький кардинал $\kappa$ так, что каждое открытое покрытие пространства $X$ имеет подобложку максимального размера $\kappa .$ В этих обозначениях $X$ является Линделёфом, если $l(X)=\aleph _{0}.$ Число Линделефа, определенное выше, не различает компактные и некомпактные пространства Линделефа. Некоторые авторы дали название числа Линделефа другому понятию: наименьшему кардинальному значению. $\kappa$ так, что каждое открытое покрытие пространства $X$ имеет подпокрытие размером строго меньше $\kappa .$ ^{[ 17 ]} В этом последнем (и менее используемом) смысле число Линделефа является наименьшим кардинальным числом. $\kappa$ такое, что топологическое пространство $X$ является $\kappa$ -компактный. Это понятие иногда еще называют степень компактности помещения $X.$ ^{[ 18 ]}

См. также

Аксиомы счетности – свойство определенных математических объектов (обычно в категории), утверждающее существование счетного множества с определенными свойствами. Без такой аксиомы такое множество, вероятно, не существовало бы.
Лемма Линделёфа - лемма о том, что каждое открытое подмножество действительных чисел представляет собой счетное объединение открытых интервалов.

Примечания

^ Стин и Сибах, с. 19
^ Уиллард, Def. 16.5, с. 110
^ Уиллард, 16E, с. 114
^ Ганстер, М. (1989). «Заметка о сильно пространствах Линделефа» (PDF) . Технологический университет Граца . S2CID 208002077 .
^ Уиллард, теорема 16.9, с. 111
^ Уиллард, теорема 16.11, с. 112
^ Уиллард, теорема 16.8, с. 111
^ Майкл, Эрнест (1953). «Заметка о паракомпактах» . Труды Американского математического общества . 4 (5): 831–838. дои : 10.1090/S0002-9939-1953-0056905-8 . МР 0056905 .
^ Уиллард, теорема 16.6, с. 110
^ «Примеры пространств Линделофа, которые не являются наследственно Линделофовыми» . 15 апреля 2012 г.
^ Уиллард, теорема 16.6, с. 110
^ «Лемма о трубке» . 2 мая 2011 г.
^ «Заметка о линии Соргенфрея» . 27 сентября 2009 г.
^ Энгелькинг, 3.8.A(b), с. 194
^ Энгелькинг, 3.8.A(c), с. 194
^ «Общая топология — еще один вопрос о наследственном пространстве Линделёфа» .
^ Мэри Эллен Рудин, Лекции по теоретико-множественной топологии, Совет конференции математических наук, Американское математическое общество, 1975, стр. 4, можно найти в Google Книгах [1]
^ Гушек, Мирослав (1969). «Класс k -компактов прост» . Математический журнал . 110 (2): 123–126. дои : 10.1007/BF01124977 . MR0244947 . S2CID 120212653 . .

Ссылки

Энгелькинг, Рышард, Общая топология , Heldermann Verlag, Берлин, 1989. ISBN 3-88538-006-4
И. Юхас (1980). Кардинальные функции в топологии – десять лет спустя . Математика. Центр Трактс, Амстердам. ISBN 90-6196-196-3 .
Манкрес, Джеймс . Топология, 2-е изд .
Стин, Линн Артур ; Сибах, Дж. Артур младший (1995) [1978]. Контрпримеры в топологии ( Дувра переиздание , изд. 1978 г.). Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag . ISBN 978-0-486-68735-3 . МР 0507446 .
Уиллард, Стивен. Общая топология , Dover Publications (2004). ISBN 0-486-43479-6

[1] Стин и Сибах, с. 19

[2] Уиллард, Def. 16.5, с. 110

[3] Уиллард, 16E, с. 114

[4] Ганстер, М. (1989). «Заметка о сильно пространствах Линделефа» (PDF) . Технологический университет Граца . S2CID 208002077 .

[5] Уиллард, теорема 16.9, с. 111

[6] Уиллард, теорема 16.11, с. 112

[7] Уиллард, теорема 16.8, с. 111

[8] Майкл, Эрнест (1953). «Заметка о паракомпактах» . Труды Американского математического общества . 4 (5): 831–838. дои : 10.1090/S0002-9939-1953-0056905-8 . МР 0056905 .

[9] Уиллард, теорема 16.6, с. 110

[10] «Примеры пространств Линделофа, которые не являются наследственно Линделофовыми» . 15 апреля 2012 г.

[11] Уиллард, теорема 16.6, с. 110

[12] «Лемма о трубке» . 2 мая 2011 г.

[13] «Заметка о линии Соргенфрея» . 27 сентября 2009 г.

[14] Энгелькинг, 3.8.A(b), с. 194

[15] Энгелькинг, 3.8.A(c), с. 194

[16] «Общая топология — еще один вопрос о наследственном пространстве Линделёфа» .

[17] Мэри Эллен Рудин, Лекции по теоретико-множественной топологии, Совет конференции математических наук, Американское математическое общество, 1975, стр. 4, можно найти в Google Книгах [1]

[18] Гушек, Мирослав (1969). «Класс k -компактов прост» . Математический журнал . 110 (2): 123–126. дои : 10.1007/BF01124977 . MR0244947 . S2CID 120212653 . .

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]

[ 6 ]

[ 7 ]

[ 8 ]

[ 9 ]

[ 10 ]

[ 11 ]

[ 12 ]

[ 13 ]

[ 14 ]

[ 15 ]

[ 16 ]

[ 17 ]

[ 18 ]