Самолет Зоргенфри

В топологии плоскость Соргенфрея является часто цитируемым контрпримером ко многим гипотезам, звучащим иначе правдоподобно. Он состоит из продукта двух копий линии Sorgenfrey , которая является настоящей линией. $\mathbb {R}$ в топологии полуоткрытого интервала . Линия и плоскость Соргенфри названы в честь американского математика Роберта Соргенфри .

Основа обозначаемая плоскости Соргенфрея, $\mathbb {S}$ Таким образом, с этого момента это набор прямоугольников , которые включают западный край, юго-западный угол и южный край и исключают юго-восточный угол, восточный край, северо-восточный угол, северный край и северо-западный угол. Открытые наборы в $\mathbb {S}$ являются объединениями таких прямоугольников.

$\mathbb {S}$ является примером пространства, являющегося произведением пространств Линделефа , которое само по себе не является пространством Линделефа. Так называемая антидиагональ. $\Delta =\{(x,-x)\mid x\in \mathbb {R} \}$ — несчетное дискретное подмножество этого пространства, и это несепарабельное подмножество сепарабельного пространства $\mathbb {S}$ . Это показывает, что сепарабельность не наследуется от замкнутых подпространств . Обратите внимание, что $K=\{(x,-x)\mid x\in \mathbb {Q} \}$ и $\Delta \setminus K$ являются закрытыми множествами; можно доказать, что они не могут быть разделены открытыми множествами, показав, что $\mathbb {S}$ это не нормально . Таким образом, это служит контрпримером к представлению о том, что произведение нормальных пространств нормально; фактически, это показывает, что даже конечное произведение совершенно нормальных пространств не обязательно должно быть нормальным.