Топология подпространства

В топологии и смежных областях математики подпространство подмножество топологического пространства X — это . S пространства X , снабженное топологией , индуцированной из топологии X , называемой топологией подпространства ^[1] (или относительная топология , ^[1] или индуцированная топология , ^[1] или топология трассировки ). ^[2]

Определение [ править ]

Учитывая топологическое пространство $(X,\tau )$ и подмножество $S$ из $X$ , топология подпространства на $S$ определяется

\tau _{S}=\lbrace S\cap U\mid U\in \tau \rbrace .

То есть подмножество $S$ открыто в топологии подпространства тогда и только тогда, когда оно пересечением является $S$ с открытым набором в $(X,\tau )$ . Если $S$ снабжено топологией подпространства, то оно является самостоятельным топологическим пространством и подпространством называется $(X,\tau )$ . Обычно предполагается, что подмножества топологических пространств оснащены топологией подпространства, если не указано иное.

В качестве альтернативы мы можем определить топологию подпространства для подмножества $S$ из $X$ как наиболее грубую топологию, для которой отображение включения

\iota :S\hookrightarrow X

является непрерывным .

В более общем плане, предположим $\iota$ это инъекция из набора $S$ в топологическое пространство $X$ . Тогда топология подпространства на $S$ определяется как самая грубая топология, для которой $\iota$ является непрерывным. Открытые множества в этой топологии — это именно те множества вида $\iota ^{-1}(U)$ для $U$ открыть в $X$ . $S$ тогда гомеоморфен своему образу в $X$ (также с топологией подпространства) и $\iota$ называется топологическим вложением .

Подпространство $S$ называется открытым подпространством , если инъекция $\iota$ является открытой картой , т. е. если прямое изображение открытого набора $S$ открыт в $X$ . Аналогично оно называется замкнутым подпространством , если инъекция $\iota$ это закрытая карта .

Терминология [ править ]

Различие между множеством и топологическим пространством часто для удобства размыто в обозначениях, что может стать источником путаницы при первом знакомстве с этими определениями. Таким образом, всякий раз, когда $S$ является подмножеством $X$ , и $(X,\tau )$ является топологическим пространством, то неукрашенные символы» $S$ " и " $X$ "часто может использоваться для обозначения как $S$ и $X$ рассматриваться как два подмножества $X$ , а также $(S,\tau _{S})$ и $(X,\tau )$ как топологические пространства, связанные, как обсуждалось выше. Поэтому такие фразы, как « $S$ открытое подпространство $X$ " используются для обозначения того, что $(S,\tau _{S})$ является открытым подпространством $(X,\tau )$ , в том смысле, который использовался выше; то есть: (i) $S\in \tau$ ; и (ii) $S$ считается наделенным топологией подпространства.

Примеры [ править ]

В следующих, $\mathbb {R}$ представляет действительные числа с их обычной топологией.

Топология подпространства натуральных чисел , как подпространство $\mathbb {R}$ , – дискретная топология .
Рациональные числа $\mathbb {Q}$ рассматривается как подпространство $\mathbb {R}$ не имеют дискретной топологии (например, {0} не является открытым множеством в $\mathbb {Q}$ потому что нет открытого подмножества $\mathbb {R}$ пересечение которого с $\mathbb {Q}$ может привести только {0} к одноэлементному элементу ). Если a и b рациональны, то интервалы ( a , b ) и [ a , b ] соответственно открыты и закрыты, но если a и b иррациональны, то множество всех рациональных x с a < x < b является одновременно открытые и закрытые.
Множество [0,1] как подпространство $\mathbb {R}$ одновременно открыт и закрыт, тогда как как подмножество $\mathbb {R}$ он только закрыт.
В качестве подпространства $\mathbb {R}$ , [0, 1] ∪ [2, 3] состоит из двух непересекающихся открытых подмножеств (которые также оказываются замкнутыми) и, следовательно, является несвязным пространством .
Пусть S = [0, 1) — подпространство вещественной прямой $\mathbb {R}$ . Тогда [0, 1 ⁄ 2 ) открыт в S , но не в $\mathbb {R}$ (например, пересечение между (- 1 ⁄ 2 , 1 ⁄ 2 ) и S приводит к [0, 1 ⁄ 2 )). Так же [ 1 ⁄ 2 , 1) замкнуто в S , но не в $\mathbb {R}$ (поскольку нет открытого подмножества $\mathbb {R}$ который может пересекаться с [0, 1), что приводит к [ 1 ⁄ 2 , 1)). S одновременно открыт и закрыт как подмножество самого себя, но не как подмножество $\mathbb {R}$ .

Свойства [ править ]

Топология подпространства обладает следующим характерным свойством. Позволять $Y$ быть подпространством $X$ и разреши $i:Y\to X$ быть картой включения. Тогда для любого топологического пространства $Z$ карта $f:Z\to Y$ непрерывно тогда и только тогда, когда составное отображение $i\circ f$ является непрерывным.

Характеристическое свойство топологии подпространства — Characteristic property of the subspace topology

Это свойство характерно в том смысле, что с его помощью можно определить топологию подпространства на $Y$ .

Перечислим некоторые дополнительные свойства топологии подпространства. В дальнейшем пусть $S$ быть подпространством $X$ .

Если $f:X\to Y$ непрерывно, то ограничение на $S$ является непрерывным.
Если $f:X\to Y$ является непрерывным, тогда $f:X\to f(X)$ является непрерывным.
Закрытые наборы в $S$ именно являются пересечениями $S$ с закрытыми наборами в $X$ .
Если $A$ является подпространством $S$ затем $A$ также является подпространством $X$ с той же топологией. Другими словами, топология подпространства, которая $A$ наследует от $S$ такой же, как тот, который он наследует от $X$ .
Предполагать $S$ является открытым подпространством $X$ (так $S\in \tau$ ). Тогда подмножество $S$ открыт в $S$ тогда и только тогда, когда он открыт в $X$ .
Предполагать $S$ является замкнутым подпространством $X$ (так $X\setminus S\in \tau$ ). Тогда подмножество $S$ закрыт в $S$ тогда и только тогда, когда оно замкнуто в $X$ .
Если $B$ является основой для $X$ затем $B_{S}=\{U\cap S:U\in B\}$ является основой для $S$ .
Топология, индуцированная на подмножестве метрического пространства путем ограничения метрики этим подмножеством, совпадает с топологией подпространства для этого подмножества.

Сохранение топологических свойств [ править ]

Если из топологического пространства, обладающего некоторым топологическим свойством, следует, что его подпространства обладают этим свойством, то мы говорим, что это свойство является наследственным . Если только замкнутые подпространства должны иметь общее свойство, мы называем его слабо наследственным .

Всякое открытое и всякое замкнутое подпространство вполне метризуемого пространства вполне метризуемо.
Каждое открытое подпространство пространства Бэра является пространством Бэра.
Каждое замкнутое подпространство компакта компактно .
Хаусдорфово пространство передается по наследству.
Быть нормальным пространством слабо наследственно.
Полная ограниченность является наследственной.
передается Полная потеря связи по наследству.
Первая счетность и вторая счетность являются наследственными.

См. также [ править ]

Примечания [ править ]

^ Перейти обратно: ^а ^б ^с Том Дик, Таммо (2008), Алгебраическая топология , Учебники EMS по математике, Европейское математическое общество (EMS), Цюрих, стр. 5, номер домена : 10.4171/048 , ISBN 978-3-03719-048-7 , МР 2456045
^ Пиноли, Жан-Шарль (июнь 2014 г.), «Геометрическая и топологическая основа», Математические основы обработки и анализа изображений 2 , Wiley, стр. 57–69, doi : 10.1002/9781118984574.ch26 , ISBN 9781118984574 ; см. раздел 26.2.4. Подмногообразия, с. 59

Ссылки [ править ]

Бурбаки, Николас , Элементы математики: общая топология , Аддисон-Уэсли (1966)
Стин, Линн Артур ; Зеебах, Дж. Артур младший (1995) [1978], Контрпримеры в топологии ( Дуврское переиздание издания 1978 года), Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-0-486-68735-3 , МР 0507446
Уиллард, Стивен. Общая топология , Dover Publications (2004). ISBN 0-486-43479-6

[ttd-1] Перейти обратно: ^а ^б ^с Том Дик, Таммо (2008), Алгебраическая топология , Учебники EMS по математике, Европейское математическое общество (EMS), Цюрих, стр. 5, номер домена : 10.4171/048 , ISBN 978-3-03719-048-7 , МР 2456045

[2] Пиноли, Жан-Шарль (июнь 2014 г.), «Геометрическая и топологическая основа», Математические основы обработки и анализа изображений 2 , Wiley, стр. 57–69, doi : 10.1002/9781118984574.ch26 , ISBN 9781118984574 ; см. раздел 26.2.4. Подмногообразия, с. 59

[1]

[2]