Пространство Бэра

Чтобы узнать о концепции теории множеств, см. Пространство Бэра (теория множеств) .

В математике топологическое пространство $X$ называется пространством Бэра , если счетные объединения замкнутых множеств с пустой внутренностью также имеют пустую внутреннюю часть. Согласно теореме о категории Бэра , компакты Хаусдорфа и полные метрические пространства являются примерами пространств Бэра.Теорема Бэра о категории в сочетании со свойствами пространств Бэра имеет многочисленные приложения в топологии , геометрии и анализе , в частности функциональном анализе . Дополнительную мотивацию и приложения см. в статье Теорема Бэра о категориях . В настоящей статье больше внимания уделяется характеристикам и основным свойствам пространств Бэра как таковых.

Бурбаки ввел термин «пространство Бэра». в честь Рене Бэра , исследовавшего теорему Бэра о категориях в контексте евклидова пространства $\mathbb {R} ^{n}$ в своей диссертации 1899 г.

Определение

Следующее определение основано на понятиях скудного множества (или множества первой категории) (а именно, множества, которое представляет собой счетное объединение множеств, замыкание которых имеет пустую внутреннюю часть) и нетощего множества (или множества второй категории) (а именно, множества, которое не скудный). Подробности смотрите в соответствующей статье.

Топологическое пространство $X$ называется пространством Бэра, если оно удовлетворяет любому из следующих эквивалентных условий:

1. Каждое счетное пересечение плотных открытых множеств плотно.
2. Каждое счетное объединение замкнутых множеств с пустой внутренностью имеет пустую внутренность.
3. Внутри каждого скудного набора пусто.
4. Всякое непустое открытое множество нетощее.
5. Каждое совокупное множество плотно.
6. Всякий раз, когда счетное объединение замкнутых множеств имеет внутреннюю точку, по крайней мере одно из замкнутых множеств имеет внутреннюю точку.

Эквивалентность этих определений основана на связанных свойствах дополнительных подмножеств $X$ (то есть из множества $A\subseteq X$ и его дополнения $X\setminus A$), как указано в таблице ниже.

Свойство набора	Свойство дополнения
открыть	закрыто
сошлись	скудный
плотный	имеет пустой салон
имеет плотную внутреннюю часть	нигде не густо

Теорема

Основная статья: Теорема Бэра о категориях

Теорема Бэра о категории дает достаточные условия для того, чтобы топологическое пространство было пространством Бэра.

• ( BCT1 ) Каждое полное псевдометрическое пространство является пространством Бэра. В частности, всякое вполне метризуемое топологическое пространство является пространством Бэра.
• ( BCT2 ) Каждое локально компактное регулярное пространство является пространством Бэра. В частности, каждое локально компактное хаусдорфово пространство является пространством Бэра.

BCT1 показывает, что следующие пространства Бэра:

• Пространство $\mathbb {R}$ действительных чисел .
• Пространство иррациональных чисел , гомеоморфное пространству Бэра $\omega ^{\omega }$ теории множеств .
• Каждое польское пространство .

BCT2 показывает, что следующие пространства Бэра:

• Всякий компакт Хаусдорфа; например, множество Кантора (или пространство Кантора ).
• Любое многообразие , даже если оно не паракомпактно (следовательно, не метризуемо ), подобно длинной прямой .

Однако следует отметить, что существует множество пространств, которые являются пространствами Бэра и не удовлетворяют условиям теоремы Бэра о категориях, как показано в разделе «Примеры» ниже.

Свойства

• Каждое непустое пространство Бэра нетощее. С точки зрения счетных пересечений плотных открытых множеств, быть пространством Бэра эквивалентно тому, что такие пересечения являются плотными, а быть неменее пространством эквивалентно более слабому условию непустоты таких пересечений.
• Каждое открытое подпространство пространства Бэра является пространством Бэра.
• Каждое плотное G _δ множество в пространстве Бэра является пространством Бэра. Результат не обязательно верен, если множество G _δ не плотно. См. раздел «Примеры».
• Каждое комическое множество в пространстве Бэра является пространством Бэра.
• Подмножество пространства Бэра является соединённым тогда и только тогда, когда оно содержит плотное _{множество Gδ} .
• Замкнутое подпространство пространства Бэра не обязательно должно быть Бэром. См. раздел «Примеры».
• Если пространство содержит плотное подпространство, являющееся бэровским, оно также является пространством Бэра.
• Пространство, которое локально является пространством Бэра в том смысле, что каждая точка имеет окрестность, являющуюся пространством Бэра, является пространством Бэра.
• Любая топологическая сумма пространств Бэра является бэровской.
• Произведение двух пространств Бэра не обязательно является Бэром.
• Произвольное произведение полных метрических пространств является бэровским.
• Каждое локально компактное трезвое пространство является пространством Бэра.
• Каждое конечное топологическое пространство является пространством Бэра (поскольку конечное пространство имеет только конечное число открытых множеств, а пересечение двух открытых плотных множеств представляет собой открытое плотное множество). ).
• Топологическое векторное пространство является пространством Бэра тогда и только тогда, когда оно нетощее, что происходит тогда и только тогда, когда каждое замкнутое сбалансированное поглощающее подмножество имеет непустую внутреннюю часть.

Дана последовательность непрерывных функций $f_{n}:X\to Y$ с поточечным пределом $f:X\to Y.$ Если $X$ является пространством Бэра, то точки, в которых $f$ не является непрерывным, представляет собой множество скудное в $X$ и множество точек, в которых $f$ непрерывен, плотен в $X.$ Частным случаем этого является принцип равномерной ограниченности .

Примеры

• Пустое пространство — это пространство Бэра. Это единственное пространство, одновременно бэрское и скудное.
• Пространство $\mathbb {R}$ действительных чисел с обычной топологией является пространством Бэра.
• Пространство $\mathbb {Q}$ рациональных чисел (с топологией, индуцированной из $\mathbb {R}$) не является пространством Бэра, поскольку оно скудно.
• Пространство иррациональных чисел (с топологией, индуцированной из $\mathbb {R}$) является пространством Бэра, так как оно сходится в $\mathbb {R} .$
• Пространство $X=[0,1]\cup ([2,3]\cap \mathbb {Q} )$ (с топологией, индуцированной из $\mathbb {R}$) невелик, но не Бэр. Есть несколько способов увидеть, что это не Бэр: например, потому что подмножество $[0,1]$ плотный, но не плотный; или потому что непустое подмножество $[2,3]\cap \mathbb {Q}$ открыт и скуден.
• Аналогично, пространство $X=\{1\}\cup ([2,3]\cap \mathbb {Q} )$ это не Бэр. Это не скудно, поскольку $1$ является изолированной точкой.

Ниже приведены примеры пространств Бэра, к которым теорема Бэра о категории не применима, поскольку эти пространства не являются локально компактными и не полностью метризуемыми:

• Линия Соргенфрея .
• Самолет Зоргенфри .
• Самолет Немицкого .
• Подпространство $\mathbb {R} ^{2}$ состоящая из открытой верхней полуплоскости вместе с рациональными числами на оси x , а именно: $X=(\mathbb {R} \times (0,\infty ))\cup (\mathbb {Q} \times \{0\}),$ представляет собой пространство Бэра, потому что открытая верхняя полуплоскость плотна в $X$ и вполне метризуемо, следовательно, по Бэру. Пространство $X$ не локально компактен и не вполне метризуем. Набор $\mathbb {Q} \times \{0\}$ закрыт в $X$, но не является пространством Бэра. Поскольку в метрическом пространстве замкнутыми множествами являются G _δ множества , это также показывает, что в общем случае множества G _δ в пространстве Бэра не обязательно должны быть множествами Бэра.

Алгебраические многообразия с топологией Зарисского являются пространствами Бэра. Примером является аффинное пространство $\mathbb {A} ^{n}$ состоящий из набора $\mathbb {C} ^{n}$ -кортежей n комплексных чисел вместе с топологией, замкнутыми множествами которой являются исчезающие множества многочленов $f\in \mathbb {C} [x_{1},\ldots ,x_{n}].$

См. также

• Игра Банаха–Мазура
• Бочковое пространство - тип топологического векторного пространства.
• Теорема Блюмберга . Любая действительная функция на R допускает непрерывное ограничение на плотное подмножество R.
• Игра Шоке
• Свойство Бэра – Отличие открытого множества от скудного.
• Перепончатое пространство - пространство, в котором выполняются теоремы об открытом отображении и закрытом графе.

Ссылки

• Бурбаки, Николя (1989) [1967]. Общая топология 2: Главы 5–10 [ Общая топология ]. Элементы математики . Полет. 4. Берлин, Нью-Йорк: Springer Science & Business Media. ISBN  978-3-540-64563-4 . ОСЛК   246032063 .
• Энгелькинг, Рышард (1989). Общая топология . Хельдерманн Верлаг, Берлин. ISBN  3-88538-006-4 .
• Гирц, Г.; Хофманн, К.Х.; Кеймель, К.; Лоусон, доктор юридических наук; Мислов, М.В.; Скотт, DS (2003). Непрерывные решетки и области . Энциклопедия математики и ее приложений. Том. 93. Издательство Кембриджского университета. ISBN  978-0521803380 .
• Хаворт, RC; Маккой, Р.А. (1977), Пространства Бэра , Варшава: Институт математики Польской академии наук.
• Келли, Джон Л. (1975). Общая топология . Тексты для аспирантов по математике . Том. 27. Нью-Йорк: Springer Science & Business Media. ISBN  978-0-387-90125-1 . ОСЛК   338047 .
• Манкрес, Джеймс Р. (2000). Топология . Прентис-Холл . ISBN  0-13-181629-2 .
• Наричи, Лоуренс; Бекенштейн, Эдвард (2011). Топологические векторные пространства . Чистая и прикладная математика (Второе изд.). Бока-Ратон, Флорида: CRC Press. ISBN  978-1584888666 . OCLC   144216834 .
• Шехтер, Эрик (1996). Справочник по анализу и его основам . Сан-Диего, Калифорния: Academic Press. ISBN  978-0-12-622760-4 . OCLC   175294365 .
• Вилански, Альберт (2013). Современные методы в топологических векторных пространствах . Минеола, Нью-Йорк: ISBN Dover Publications, Inc.  978-0-486-49353-4 . OCLC   849801114 .

Внешние ссылки

• Статья в Энциклопедии математики о пространстве Бэра
• Статья в Энциклопедии математики о теореме Бэра