Собственность Байре

Подмножество $A$ пространства топологического $X$ обладает свойством Бэра ( свойство Бэра , названное в честь Рене-Луи Бэра ), или называется почти открытым множеством, если оно отличается от открытого множества множеством скудным ; то есть, если есть открытое множество $U\subseteq X$ такой, что $A\bigtriangleup U$ скудно (где $\bigtriangleup$ обозначает симметричную разность ). ^[1]

Определения [ править ]

Подмножество $A\subseteq X$ пространства топологического $X$ называется почти открытым и обладает свойством Бэра или свойством Бэра, если существует открытое множество. $U\subseteq X$ такой, что $A\bigtriangleup U$ является скудным подмножеством , где $\bigtriangleup$ обозначает симметричную разность . ^[1] Дальше, $A$ обладает свойством Бэра в узком смысле, если для любого подмножества $E$ из $X$ пересечение $A\cap E$ обладает свойством Бэра относительно $E$ . ^[2]

Свойства [ править ]

Семейство множеств со свойством Бэра образует σ-алгебру . То есть дополнение почти открытого множества почти открыто, и любое счетное объединение или пересечение почти открытых множеств снова почти открыто. ^[1] Поскольку каждое открытое множество почти открыто (пустое множество скудно), отсюда следует, что каждое борелевское множество почти открыто.

Если подмножество польского пространства обладает свойством Бэра, то ему игра Банаха–Мазура соответствующая определяется . Обратное неверно; однако, если каждая игра в данном адекватном классе очков $\Gamma$ определено, то каждое множество в $\Gamma$ имеет собственность Бэра. Поэтому из проективной определенности , которая, в свою очередь, следует из достаточно больших кардиналов , следует, что каждое проективное множество (в польском пространстве) обладает свойством Бэра. ^[3]

следует Из аксиомы выбора , что существуют множества вещественных чисел, не обладающие свойством Бэра. В частности, набор Витали не обладает свойством Бэра. ^[4] Достаточно уже более слабых версий выбора: булева теорема о простых идеалах подразумевает, что существует неглавный ультрафильтр на множестве натуральных чисел ; каждый такой ультрафильтр посредством двоичных представлений действительных чисел индуцирует набор действительных чисел без свойства Бэра. ^[5]

См. также [ править ]

Почти открытая карта — карта, удовлетворяющая условию, аналогичному условию открытой карты.
Теорема Бэра о категории - О топологических пространствах, в которых пересечение счетного числа плотных открытых множеств плотно.
Открытое множество - базовое подмножество топологического пространства.

Ссылки [ править ]

^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б ^с Окстоби, Джон К. (1980), «4. Свойство Бэра», Мера и категория , Тексты для выпускников по математике, том. 2 (2-е изд.), Springer-Verlag, стр. 19–21, ISBN 978-0-387-90508-2 .
^ Куратовский, Казимеж (1966), Топология. Том. 1 , «Академик Пресс» и польские научные издательства .
^ Беккер, Ховард; Кехрис, Александр С. (1996), Описательная теория множеств действий польской группы , Серия лекций Лондонского математического общества, том. 232, Издательство Кембриджского университета, Кембридж, с. 69, номер домена : 10.1017/CBO9780511735264 , ISBN 0-521-57605-9 , МР 1425877 .
^ Окстоби (1980) , с. 22.
^ Бласс, Андреас (2010), «Ультрафильтры и теория множеств», Ультрафильтры в математике , Современная математика, том. 530, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество, стр. 49–71, doi : 10.1090/conm/530/10440 , MR 2757533 . См., в частности, стр. 64 .

Внешние ссылки [ править ]

Статья в математической энциклопедии Springer о свойстве Бэра

[oxtoby-1] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б ^с Окстоби, Джон К. (1980), «4. Свойство Бэра», Мера и категория , Тексты для выпускников по математике, том. 2 (2-е изд.), Springer-Verlag, стр. 19–21, ISBN 978-0-387-90508-2 .

[2] Куратовский, Казимеж (1966), Топология. Том. 1 , «Академик Пресс» и польские научные издательства .

[3] Беккер, Ховард; Кехрис, Александр С. (1996), Описательная теория множеств действий польской группы , Серия лекций Лондонского математического общества, том. 232, Издательство Кембриджского университета, Кембридж, с. 69, номер домена : 10.1017/CBO9780511735264 , ISBN 0-521-57605-9 , МР 1425877 .

[4] Окстоби (1980) , с. 22.

[5] Бласс, Андреас (2010), «Ультрафильтры и теория множеств», Ультрафильтры в математике , Современная математика, том. 530, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество, стр. 49–71, doi : 10.1090/conm/530/10440 , MR 2757533 . См., в частности, стр. 64 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]