Виталий сет

В математике множество Витали — элементарный пример множества действительных чисел , не измеримого по Лебегу , найденное Джузеппе Витали в 1905 году. ^[1]Теорема Витали — это теорема существования таких множеств. Каждое множество Витали несчетно , а множеств Витали несчетно . Доказательство их существования зависит от выбранной аксиомы .

Измеримые множества [ править ]

Некоторые наборы имеют определенную «длину» или «массу». Например, интервал считается, что , что интервал [ a , b ], a ≤ b [0, 1] имеет длину 1; в более общем смысле считается имеет длину b − a . Если мы думаем о таких интервалах как о металлических стержнях с одинаковой плотностью, они также имеют четко определенную массу. Множество [0, 1] ∪ [2, 3] состоит из двух интервалов длины один, поэтому мы принимаем его общую длину равной 2. С точки зрения массы у нас есть два стержня массы 1, поэтому общая масса равна 2.

Здесь возникает естественный вопрос: если E — произвольное подмножество реальной линии, имеет ли оно «массу» или «полную длину»? В качестве примера мы могли бы спросить, какова масса множества рациональных чисел между 0 и 1, учитывая, что масса интервала [0, 1] равна 1. Рациональные числа плотны в действительных числах, поэтому любое значение между и включая 0 и 1, может показаться разумным.

Однако наиболее близким обобщением к массе является сигма-аддитивность , которая приводит к мере Лебега . Он присваивает меру b − a интервалу [ a , b ], но присваивает меру 0 множеству рациональных чисел, поскольку оно счетно . Любое множество, имеющее четко определенную меру Лебега, называется «измеримым», но построение меры Лебега (например, с использованием теоремы Каратеодори о расширении ) не делает очевидным существование неизмеримых множеств. Ответ на этот вопрос включает в себя аксиому выбора .

и доказательство Конструкция

Множество Витали является подмножеством $V$ интервала $[0,1]$ действительных чисел такие, что для каждого действительного числа $r$ , есть ровно одно число $v\in V$ такой, что $v-r$ является рациональным числом . Множества Витали существуют потому, что рациональные числа $\mathbb {Q}$ образуют нормальную подгруппу действительных чисел $\mathbb {R}$ при сложении , что позволяет построить аддитивную факторгруппу $\mathbb {R} /\mathbb {Q}$ из этих двух групп, которая представляет собой группу, образованную смежными классами $r+\mathbb {Q}$ рациональных чисел как подгруппу сложенных действительных чисел. Эта группа $\mathbb {R} /\mathbb {Q}$ состоит из непересекающихся «смещенных копий» $\mathbb {Q}$ в том смысле, что каждый элемент этой факторгруппы представляет собой множество вида $r+\mathbb {Q}$ для некоторых $r$ в $\mathbb {R}$ . Бесчисленное множество элементов $\mathbb {R} /\mathbb {Q}$ раздел $\mathbb {R}$ на непересекающиеся множества, и каждый элемент плотен по $\mathbb {R}$ . Каждый элемент $\mathbb {R} /\mathbb {Q}$ пересекает $[0,1]$ , а аксиома выбора гарантирует существование подмножества $[0,1]$ содержащий ровно одного представителя от каждого элемента $\mathbb {R} /\mathbb {Q}$ . Образованное таким образом множество называется множеством Витали.

Каждый комплект Виталия $V$ неисчислимо, и $v-u$ иррационально для любого $u,v\in V,u\neq v$ .

Неизмеримость [ править ]

Множество Витали неизмеримо. Чтобы показать это, мы предполагаем, что $V$ измеримо, и мы получаем противоречие. Позволять $q_{1},q_{2},\dots$ быть перечислением рациональных чисел в $[-1,1]$ (напомним, что рациональные числа счетны ). От строительства $V$ , обратите внимание, что переведенные множества $V_{k}=V+q_{k}=\{v+q_{k}:v\in V\}$ , $k=1,2,\dots$ попарно не пересекаются, и далее заметим, что

[0,1]\subseteq \bigcup _{k}V_{k}\subseteq [-1,2].

Чтобы увидеть первое включение, рассмотрим любое действительное число $r$ в $[0,1]$ и разреши $v$ быть представителем в $V$ для класса эквивалентности $[r]$ ; затем $r-v=q_{i}$ для некоторого рационального числа $q_{i}$ в $[-1,1]$ что подразумевает, что $r$ в $V_{i}$ .

Примените меру Лебега к этим включениям, используя сигма-аддитивность :

1\leq \sum _{k=1}^{\infty }\lambda (V_{k})\leq 3.

Поскольку мера Лебега является трансляционно-инвариантной, $\lambda (V_{k})=\lambda (V)$ и поэтому

1\leq \sum _{k=1}^{\infty }\lambda (V)\leq 3.

Но это невозможно. Суммирование бесконечного числа копий константы $\lambda (V)$ дает либо ноль, либо бесконечность, в зависимости от того, равна ли константа нулю или положительному значению. Ни в том, ни в другом случае сумма в $[1,3]$ . Так $V$ в конце концов не могла быть измеримой, т. е. мера Лебега $\lambda$ не должен определять какое-либо значение для $\lambda (V)$ .

Свойства [ править ]

Ни один набор Виталия не обладает свойством Бэра . ^[2]

Модифицируя приведенное выше доказательство, можно показать, что каждое множество Витали имеет банахову меру 0. Это не создает никаких противоречий, поскольку банаховы меры не счетно-аддитивны, а только конечно-аддитивны.

аксиомы выбора Роль

Приведенное выше построение множеств Витали использует аксиому выбора . Возникает вопрос: нужна ли аксиома выбора для доказательства существования множеств, не измеримых по Лебегу? Ответ — да, при условии, что недоступные кардиналы согласуются с наиболее распространенной аксиоматизацией теории множеств, так называемой ZFC .

В 1964 году Роберт Соловей построил модель теории множеств Цермело – Френкеля без аксиомы выбора, в которой все множества действительных чисел измеримы по Лебегу. Это известно как модель Соловея . ^[3]В своем доказательстве Соловей предположил, что существование недоступных кардиналов согласуется с другими аксиомами теории множеств Цермело-Френкеля, т.е. не создает противоречий. Теоретики множеств широко полагают, что это предположение верно, но его невозможно доказать только с помощью ZFC. ^[4]

В 1980 году Сахарон Шелах доказал, что невозможно установить результат Соловея без его предположения о недоступных кардиналах. ^[4]

См. также [ править ]

Парадокс Банаха – Тарского – Геометрическая теорема
Критерий Каратеодори – необходимое и достаточное условие для измеримого множества.
Неизмеримый набор - Набор, которому нельзя присвоить значимый «объем».
Внешняя мера – Математическая функция
Функция бесконечной четности — булева функция, значение которой равно 1, если входной вектор имеет нечетное количество единиц.

Ссылки [ править ]

^ Виталий, Джузеппе (1905). «К задаче измерения групп точек на прямой». Болонья, Тип. Креветки и Пармеджани .
^ Окстоби, Джон К. (1980), Мера и категория , Тексты для выпускников по математике, том. 2 (2-е изд.), Издательство Springer, ISBN 978-0-387-90508-2 . См. стр. 22.
^ Соловей, Роберт М. (1970), «Модель теории множеств, в которой каждое множество действительных чисел измеримо по Лебегу», Annals of Mathematics , Second Series, 92 (1): 1–56, doi : 10.2307/1970696 , ISSN 0003-486X , JSTOR 1970696 , MR 0265151
^ Перейти обратно: ^а ^б Вагон, Стэн; Томкович, Гжегож (2016). Парадокс Банаха-Тарского (2-е изд.). Издательство Кембриджского университета. стр. 296–299.

Библиография [ править ]

Херлих, Хорст (2006). Аксиома выбора . Спрингер. п. 120 . ISBN 9783540309895 .
Виталий, Джузеппе (1905). «К задаче измерения групп точек на прямой». Болонья, Тип. Креветки и Пармеджани .

[1] Виталий, Джузеппе (1905). «К задаче измерения групп точек на прямой». Болонья, Тип. Креветки и Пармеджани .

[2] Окстоби, Джон К. (1980), Мера и категория , Тексты для выпускников по математике, том. 2 (2-е изд.), Издательство Springer, ISBN 978-0-387-90508-2 . См. стр. 22.

[3] Соловей, Роберт М. (1970), «Модель теории множеств, в которой каждое множество действительных чисел измеримо по Лебегу», Annals of Mathematics , Second Series, 92 (1): 1–56, doi : 10.2307/1970696 , ISSN 0003-486X , JSTOR 1970696 , MR 0265151

[wagon-4] Перейти обратно: ^а ^б Вагон, Стэн; Томкович, Гжегож (2016). Парадокс Банаха-Тарского (2-е изд.). Издательство Кембриджского университета. стр. 296–299.

[1]

[2]

[3]

[4]