Solovay model

В математической области теории множеств модель Соловея — это модель, построенная Робертом М. Соловеем ( 1970 ), в которой выполняются все аксиомы теории множеств Цермело-Френкеля (ZF), за исключением аксиомы выбора , но в которой все множества действительных чисел измеримы по Лебегу . Конструкция опирается на существование недоступного кардинала .

Таким образом, Соловей показал, что при доказательстве существования неизмеримого множества из ZFC (теория множеств Цермело–Френкеля плюс аксиома выбора) аксиома выбора существенна, по крайней мере, при условии, что существование недоступного кардинального числа соответствует ZFC.

Заявление [ править ]

ZF означает теорию множеств Цермело–Френкеля, а DC — аксиому зависимого выбора .

Теорема Соловея состоит в следующем. Предполагая существование недоступного кардинала, существует внутренняя модель ZF + DC подходящего вынуждающего расширения V [ G ] такая, что каждое множество вещественных чисел измеримо по Лебегу, обладает свойством совершенного множества и свойством Бэра .

Строительство [ править ]

Соловей построил свою модель в два этапа, начав с модели M ZFC, содержащей недоступный кардинал κ.

Первый шаг — выполнить коллапс Леви M [ G ] из M, добавив общий набор G для понятия принуждения, которое схлопывает все кардиналы меньше κ в ω. Тогда M [ G ] — модель ZFC, обладающая тем свойством, что каждое множество действительных чисел, определимое над счетной последовательностью ординалов, измеримо по Лебегу и обладает свойствами Бэра и совершенного множества. (Сюда входят все определимые и проективные множества вещественных чисел; однако по причинам, связанным с теоремой Тарского о неопределяемости, понятие определимого множества вещественных чисел не может быть определено на языке теории множеств, в то время как понятие множества вещественных чисел, определимых над счетной последовательностью ординалов может быть.)

Второй шаг — построить модель Соловея N как класс всех множеств из M [ G ], наследственно определяемых над счетной последовательностью ординалов. Модель N является внутренней моделью M [ G ], удовлетворяющей ZF + DC, такой, что каждый набор действительных чисел измерим по Лебегу, обладает свойством совершенного множества и свойством Бэра. В доказательстве этого используется тот факт, что каждое вещественное число в M [ G ] определимо счетной последовательностью ординалов, и, следовательно, N и M [ G ] имеют одни и те же действительные числа.

Вместо использования модели N использовать меньшую внутреннюю модель L ( R ) M Соловея можно также [ G ], состоящую из конструктивного замыкания действительных чисел, которая имеет аналогичные свойства.

Дополнения [ править ]

В своей статье Соловей предположил, что использование недоступного кардинала может и не потребоваться. Некоторые авторы доказали более слабые версии результата Соловея, не предполагая существования недостижимого кардинала. В частности, Кривин (1969) показал, что существует модель ZFC, в которой каждый ординально определяемый набор действительных чисел измерим, Соловей показал, что существует модель ZF + DC, в которой существует некоторое трансляционно-инвариантное расширение меры Лебега на все подмножества. вещественных чисел, а Шела (1984) показал, что существует модель, в которой все множества действительных чисел обладают свойством Бэра (так что недоступный кардинал в этом случае действительно не нужен).

Случай свойства совершенного множества был решен Спеккером (1957) , который показал (в ZF), что если каждое множество вещественных чисел обладает свойством совершенного множества и первый несчетный кардинал ℵ ₁ является регулярным, то ℵ ₁ недостижимо в конструируемом вселенная . В сочетании с результатом Соловея это показывает, что утверждения «Существует недоступный кардинал» и «Каждое множество действительных чисел обладает свойством совершенного множества» эквисогласованы над ZF. ^[1]^{п. 371}

Наконец, Шела (1984) показал, что непротиворечивость недоступного кардинала также необходима для построения модели, в которой все множества действительных чисел измеримы по Лебегу. Точнее, он показал, что если каждое Σ ¹
₃ набор действительных чисел измерим, то первый несчетный кардинал ℵ ₁ недоступен в конструируемой вселенной, так что условие о недоступном кардинале нельзя исключить из теоремы Соловея. Шела также показал, что Σ ¹
₃ условие близко к наилучшему за счет построения модели (без использования недоступного кардинала), в которой все ∆ ¹
₃Измеримы набора действительных чисел. См. Raisonnier (1984) , Stern (1985) и Miller (1989) для объяснения результата Шела.

Шела и Вудин (1990) показали, что если суперкомпактные кардиналы существуют, то каждый набор действительных чисел в L ( R ), конструктивных множествах, порожденных действительными числами, измерим по Лебегу и обладает свойством Бэра; сюда входит каждый «разумно определяемый» набор реальных чисел.

Ссылки [ править ]

Кривин, Жан-Луи (1969), «Модели ZF + AC, в которых любой набор действительных чисел, определяемых через порядковые числа, измерим - Лебег», Comptes Rendus de l'Académie des Sciences, Série A et B , 269 : A549 –A552, ISSN 0151-0509 , МР 0253894
Кривин, Жан-Луи (1971), «Теоремы непротиворечивости в теории измерения Р. Соловея» , Семинар Бурбаки, том. 1968/69 Лекции 347–363 , Конспекты лекций по математике, том. 179, с. 187–197, номер домена : 10.1007/BFb0058812 , ISBN. 978-3-540-05356-9
Миллер, Арнольд В. (1989), «Рецензия на фильм «Сможете ли вы забрать недоступное Соловея?» Сахарон Шелах» , «Журнал символической логики» , 54 (2), Ассоциация символической логики: 633–635, doi : 10.2307/2274892 , ISSN 0022-4812 , JSTOR 2274892
Резонье, Жан (1984), «Математическое доказательство теоремы С. Шела о проблеме меры и связанных с ней результатов», Israel Journal of Mathematics , 48 : 48–56, doi : 10.1007/BF02760523 , MR 0768265
Шела, Сахарон (1984), «Можете ли вы убрать недоступное Соловея?», Израильский математический журнал , 48 (1): 1–47, doi : 10.1007/BF02760522 , ISSN 0021-2172 , MR 0768264
Шела, Сахарон ; Вудин, Хью (1990), «Большие кардиналы означают, что каждый разумно определяемый набор действительных чисел измерим по Лебегу», Israel Journal of Mathematics , 70 (3): 381–394, doi : 10.1007/BF02801471 , ISSN 0021-2172 , MR 1074499
Соловей, Роберт М. (1970), «Модель теории множеств, в которой каждое множество действительных чисел измеримо по Лебегу», Annals of Mathematics , Second Series, 92 (1): 1–56, doi : 10.2307/1970696 , ISSN 0003-486X , JSTOR 1970696 , MR 0265151
Спекер, Эрнст (1957), «Об аксиоматике теории множеств (основание и аксиома выбора)», Journal of Mathematical Logic and Foundations of Mathematics , 3 (13–20): 173–210, doi : 10.1002/malq.19570031302 , ISSN 0044-3050 , МР 0099297
Стерн, Жак (1985), «Проблема измерения», Asterisk (121): 325–346, ISSN 0303-1179 , MR 0768968

Цитаты [ править ]

^ А. Канамори, « Большие кардиналы с принуждением ». В «Справочнике по истории логики: множества и расширения в двадцатом веке» под ред. А. Канамори, Д.М. Габбай, Т. Тагард, Дж. Вудс (2011).

[1] А. Канамори, « Большие кардиналы с принуждением ». В «Справочнике по истории логики: множества и расширения в двадцатом веке» под ред. А. Канамори, Д.М. Габбай, Т. Тагард, Дж. Вудс (2011).

[1]