Л(П)

В множеств теории L(R) (произносится как L от R ) — это наименьшая транзитивная внутренняя модель ZF , содержащая все ординалы и все действительные числа .

Строительство

Ее можно построить способом, аналогичным конструкции L (то есть конструктивной вселенной Гёделя ), путем добавления всех действительных чисел в начале, а затем повторения определяемой операции над набором степеней по всем порядковым номерам.

Предположения

В общем, изучение L(R) предполагает наличие широкого набора больших кардинальных аксиом, поскольку без этих аксиом невозможно показать даже то, что L(R) отличается от L. Но учитывая, что существует достаточное количество больших кардинальных аксиом, L(R) не удовлетворяет аксиоме выбора , а скорее аксиоме определенности . Однако L(R) по-прежнему будет удовлетворять аксиоме зависимого выбора , при условии, что вселенная фон Неймана V также удовлетворяет этой аксиоме.

Результаты

Учитывая вышеизложенные предположения, некоторые дополнительные результаты теории таковы:

• Каждое проективное множество действительных чисел – и, следовательно, каждое аналитическое множество и каждое борелевское множество вещественных чисел – является элементом L(R).
• Каждое множество вещественных чисел в L(R) измеримо по Лебегу (фактически универсально измеримо ) и обладает свойством Бэра и свойством совершенного множества .
• L(R) не удовлетворяет аксиоме униформизации или аксиоме действительной определенности .
• Р ^# , диез множества всех действительных чисел, имеет наименьшую степень Ваджа среди всех наборов действительных чисел, не содержащихся в L(R).
• Хотя не каждое отношение к действительным числам в L(R) имеет униформизацию в L(R), каждое такое отношение имеет униформизацию в L(R). ^# ).
• V[G] размера V (размера набора) Для любого общего расширения , L(R) является элементарной подмоделью L(R), вычисленной в V[G]. Таким образом, теория L(R) не может быть изменена путем принуждения .
• L(R) удовлетворяет AD ⁺ .

Ссылки

• Вудин, В. Хью (1988). «Сверхкомпактные кардиналы, множества вещественных чисел и слабооднородные деревья» . Труды Национальной академии наук Соединенных Штатов Америки . 85 (18): 6587–6591. дои : 10.1073/pnas.85.18.6587 . ПМК   282022 . ПМИД   16593979 .