Нулевая резкость

В математической дисциплине теории 0 множеств ^# ( нулевая точность , также 0# ) — это набор истинных формул о неразличимых и неразличимых по порядку в конструируемой вселенной Гёделя . Его часто кодируют как подмножество натуральных чисел (с использованием нумерации Гёделя ), или как подмножество наследственно конечных множеств , или как действительное число . Его существование недоказуемо в ZFC , стандартной форме аксиоматической теории множеств , но следует из подходящей большой кардинальной аксиомы. Впервые он был представлен как набор формул в диссертации Сильвера в 1966 году, позже опубликован как Сильвер (1971) , где он был обозначен буквой Σ, и заново открыт Соловеем (1967 , стр. 52), который рассматривал его как подмножество естественных формул. числа и ввел обозначение O ^# (с заглавной буквы О; позже она была изменена на цифру «0»).

Грубо говоря, если 0 ^# существует, то вселенная V множеств намного больше, чем вселенная L конструктивных множеств, а если она не существует, то вселенная всех множеств близко аппроксимируется конструируемыми множествами.

Определение

Нулевая острота была определена Сильвером и Соловеем следующим образом. Рассмотрим язык теории множеств с дополнительными постоянными символами $c_{1}$, $c_{2}$, ... для каждого ненулевого натурального числа. Затем $0^{\sharp }$ определяется как набор чисел Гёделя истинных предложений о конструируемой вселенной, причем $c_{i}$ интерпретируется как неисчисляемый кардинал $\aleph _{i}$. (Здесь $\aleph _{i}$ означает $\aleph _{i}$ в полной вселенной, а не в конструируемой вселенной.)

В этом определении есть одна тонкость: согласно теореме Тарского о неопределимости , вообще говоря, невозможно определить истинность формулы теории множеств на языке теории множеств. Чтобы решить эту проблему, Сильвер и Соловей предположили существование подходящего большого кардинала, такого как кардинал Рэмси , и показали, что с помощью этого дополнительного предположения можно определить истинность утверждений о конструируемой вселенной. В более общем смысле определение $0^{\sharp }$ работает при условии, что для некоторых существует бесчисленное множество неразличимых $L_{\alpha }$и фраза " $0^{\sharp }$ существует» используется как сокращенный способ выразить это.

Закрытый набор $I$ порядка -неразличимо для $L_{\alpha }$ (где $\alpha$ является предельным ординалом) представляет собой набор неразличимых серебряных чисел, если:

• $I$ неограничен в $\alpha$, и
• если $I\cap \beta$ неограничен в порядковом порядке $\beta$, то корпус сколемский $I\cap \beta$ в $L_{\beta }$ является $L_{\beta }$. Другими словами, каждый $x\in L_{\beta }$ определимо в $L_{\beta }$ из параметров в $I\cap \beta$.

Если есть набор Серебряных неразличимых для $L_{\omega _{1}}$, то оно уникально. Кроме того, для любого несчетного кардинала $\kappa$ будет уникальный набор Серебряных неразличимых предметов для $L_{\kappa }$. Объединение всех этих множеств будет собственным классом. $I$ из серебра, неразличимого по структуре $L$ сам. Затем, $0^{\sharp }$ определяется как множество всех чисел Гёделя формул $\theta$ такой, что

$L_{\alpha }\models \theta (\alpha _{1},\alpha _{2}\ldots \alpha _{n})$

где $\alpha _{1}<\alpha _{2}<\ldots <\alpha _{n}<\alpha$ — любая строго возрастающая последовательность членов $I$. Поскольку они неразличимы, определение не зависит от выбора последовательности.

Любой $\alpha \in I$ имеет свойство, которое $L_{\alpha }\prec L$. Это позволяет дать определение истины для конструируемой вселенной:

$L\models \varphi [x_{1}...x_{n}]$ только если $L_{\alpha }\models \varphi [x_{1}...x_{n}]$ для некоторых $\alpha \in I$.

Существует несколько незначительных вариаций определения понятия $0^{\sharp }$, которые не оказывают существенного влияния на его свойства. Существует множество различных вариантов нумерации Гёделя. $0^{\sharp }$ зависит от этого выбора. Вместо того, чтобы рассматриваться как подмножество натуральных чисел, также можно закодировать $0^{\sharp }$ как подмножество формул языка, или как подмножество наследственно конечных множеств, или как действительное число.

Заявления, подразумевающие существование

Условие существования кардинала Рамсея, подразумевающее, что $0^{\sharp }$ существует, может быть ослаблена. Существование $\omega _{1}$- Кардиналы Эрдёша подразумевают существование $0^{\sharp }$. Это близко к наилучшему, поскольку существование $0^{\sharp }$ подразумевает, что в конструктивной вселенной существует $\alpha$-Лесной кардинал для всех счетных $\alpha$, поэтому такие кардиналы нельзя использовать для доказательства существования $0^{\sharp }$.

Гипотеза Чанга предполагает существование $0^{\sharp }$.

Утверждения, эквивалентные существованию

Кунен показал, что $0^{\sharp }$ существует тогда и только тогда, когда существует нетривиальное элементарное вложение для конструктивной вселенной Гёделя $L$ в себя.

Дональд А. Мартин и Лео Харрингтон показали, что существование $0^{\sharp }$ эквивалентно детерминированности аналитических игр с легким лицом . Фактически, стратегия универсальной аналитической игры с легкими гранями имеет ту же степень Тьюринга, что и $0^{\sharp }$.

следует Из покрывающей теоремы Йенсена , что существование $0^{\sharp }$ эквивалентно $\omega _{\omega }$ быть обычным кардиналом в конструктивной вселенной $L$.

Сильвер показал, что существование бесчисленного множества неразличимых в конструируемой вселенной эквивалентно существованию $0^{\sharp }$.

Последствия существования и несуществования

Существование $0^{\sharp }$ подразумевает, что каждый несчетный кардинал в теоретико-множественной вселенной $V$ является неразличимым в $L$ и удовлетворяет всем большим кардинальным аксиомам, которые реализуются в $L$ (например, совершенно невыразимо ). Отсюда следует, что существование $0^{\sharp }$ противоречит аксиоме конструктивности : $V=L$.

Если $0^{\sharp }$ существует, то это пример неконструируемого $\Delta _{3}^{1}$ набор натуральных чисел. В некотором смысле это простейшая возможность для неконструируемого множества, поскольку все $\Sigma _{2}^{1}$ и $\Pi _{2}^{1}$ множества натуральных чисел конструктивны.

С другой стороны, если $0^{\sharp }$ не существует, то конструктивная вселенная $L$ — это базовая модель, то есть каноническая внутренняя модель , которая аппроксимирует большую кардинальную структуру рассматриваемой Вселенной. В этом случае справедлива покрывающая лемма Йенсена :

Для каждого несчетного множества $x$ ординалов существует конструктивный $y$ такой, что $x\subset y$ и $y$ имеет ту же мощность , что и $x$.

Столь глубокий результат принадлежит Рональду Дженсену . Используя форсирование, легко увидеть, что условие, при котором $x$ неисчислимо и не может быть удалено. Например, рассмотрим форсирование Намбы , которое сохраняет $\omega _{1}$ и рушится $\omega _{2}$ к ординалу конфинальности $\omega$. Позволять $G$ быть $\omega$ последовательность конфинальная ​ $\omega _{2}^{L}$ и общий более $L$. Тогда никаких настроек $L$ из $L$-размер меньше $\omega _{2}^{L}$ (что неисчислимо в $V$, с $\omega _{1}$ сохраняется) может покрыть $G$, с $\omega _{2}$ является обычным кардиналом .

Если $0^{\sharp }$ не существует, отсюда также следует, что гипотеза сингулярных кардиналов верна. ^{п. 20}

Другие острые предметы

Если $x$ любое множество, то $x^{\sharp }$ определяется аналогично $0^{\sharp }$ за исключением того, что используется $L[x]$ вместо $L$, также с символом предиката для $x$. См. раздел об относительной конструктивности в конструируемой вселенной .

См. также

• 0 ^† , набор, аналогичный 0 ^# где конструируемая вселенная заменяется более крупной внутренней моделью с измеримым кардиналом .

Ссылки

• Дрейк, Франция (1974). Теория множеств: введение в большие кардиналы (Исследования по логике и основам математики; т. 76) . Elsevier Science Ltd. ISBN компании  0-444-10535-2 .
• Харрингтон, Лео (1978). «Аналитическая определенность и 0#». Журнал символической логики . 43 (4): 685–693. дои : 10.2307/2273508 . ISSN   0022-4812 . МР   0518675 .
• Джех, Томас (2003). Теория множеств . Монографии Спрингера по математике (изд. Третьего тысячелетия). Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag . ISBN  978-3-540-44085-7 . Збл   1007.03002 .
• Канамори, Акихиро (2003). Высшее бесконечное: большие кардиналы в теории множеств с самого начала (2-е изд.). Спрингер. ISBN  3-540-00384-3 .
• Мартин, Дональд А. (1970). «Измеримые кардиналы и аналитические игры» . Фундамента Математика . 66 (3): 287–291. дои : 10.4064/fm-66-3-287-291 . ISSN   0016-2736 . МР   0258637 .
• Сильвер, Джек Х. (1971). «Некоторые приложения теории моделей в теории множеств» . Анналы математической логики . 3 (1): 45–110. дои : 10.1016/0003-4843(71)90010-6 . МР   0409188 .

• Соловей, Роберт М. (1967). «Неконструируемый Δ ¹
  ₃ набора целых чисел». Труды Американского математического общества . 127 (1): 50–75. doi : 10.2307/1994631 . ISSN   0002-9947 . MR   0211873 .