Пространство Бэра (теория множеств)

В теории множеств пространство Бэра — это совокупность всех бесконечных последовательностей натуральных чисел с определенной топологией . Это пространство обычно используется в дескриптивной теории множеств , поскольку его элементы часто называют «реальными». Обозначается Н ^Н, или ^ойω, или символом ${\mathcal {N}}$ или иногда по ω ^ой (не путать со счетным ординалом, полученным возведением в степень ).

Пространство Бэра определяется как декартово произведение счетного бесконечного числа копий набора натуральных чисел и имеет топологию продукта (где каждой копии набора натуральных чисел присваивается дискретная топология ). Пространство Бэра часто представляется в виде дерева конечных последовательностей натуральных чисел.

(Это пространство также не следует путать с понятием пространства Бэра , которое представляет собой определенный вид топологического пространства.)

Пространство Бэра можно противопоставить пространству Кантора , множеству бесконечных последовательностей двоичных цифр .

Топология и деревья [ править ]

Топологию произведения, используемую для определения пространства Бэра, можно описать одним из двух эквивалентных способов: в терминах базиса, состоящего из множеств цилиндров, или в терминах базиса деревьев.

Основа набора цилиндров [ править ]

Базовыми открытыми множествами топологии произведения являются множества цилиндров . Их можно охарактеризовать как:

любой конечный набор координат натуральных чисел I = { i Если выбран } и для каждого i выбрано конкретное значение натурального числа v _i , то набор всех бесконечных последовательностей натуральных чисел, которые имеют значение v _i в позиции i, представляет собой базовый открытый набор. Каждое открытое множество представляет собой счетное объединение их совокупности.

Используя более формальные обозначения, можно определить отдельные цилиндры как

C_{n}[v]=\{(a_{1},a_{2},\cdots )\in \omega ^{\omega }:a_{n}=v\}

для фиксированного целочисленного местоположения n и целочисленного значения v . Тогда цилиндры являются генераторами наборов цилиндров: тогда наборы цилиндров состоят из всех пересечений конечного числа цилиндров. То есть для любого конечного набора координат натуральных чисел $I\subseteq \omega$ и соответствующие значения натуральных чисел $v_{i}$ для каждого $i\in I$ , рассматривается конечное пересечение цилиндров

\bigcap _{i\in I}C_{i}[v_{i}]

Это пересечение называется набором цилиндров , и набор всех таких наборов цилиндров обеспечивает основу для топологии продукта . Каждое открытое множество представляет собой счетное объединение таких цилиндрических множеств.

Основа дерева [ править ]

Альтернативную основу топологии продукта можно представить в виде деревьев. Базовые открытые множества можно охарактеризовать как:

Если выбрана конечная последовательность натуральных чисел { w _i : i < n }, то набор всех бесконечных последовательностей натуральных чисел, которые имеют значение w _i в позиции i для всех i < n, является базовым открытым множеством. Каждое открытое множество представляет собой счетное объединение их совокупности.

Таким образом, базисное открытое множество в пространстве Бэра — это множество всех бесконечных последовательностей натуральных чисел, расширяющих общий конечный начальный отрезок σ . Это приводит к представлению пространства Бэра как множества всех бесконечных путей, проходящих через полное дерево ω. ^<ω конечных последовательностей натуральных чисел, упорядоченных расширением . Каждый конечный начальный отрезок σ является узлом дерева конечных последовательностей. Каждое открытое множество определяется счетным объединением S узлов этого дерева. Точка в пространстве Бэра находится в открытом множестве тогда и только тогда, когда ее путь проходит через один из узлов ее определяющего объединения. И наоборот, каждое открытое множество соответствует поддереву S полного дерева ω ^<ω, состоящая из не более чем счетного числа узлов.

Представление пространства Бэра в виде путей через дерево также дает характеристику замкнутых множеств как дополнений поддеревьев, определяющих открытые множества. Каждая точка пространства Бэра проходит через последовательность узлов ω ^<ω. Закрытые множества являются дополнениями открытых множеств. Это определяет поддерево T полного дерева ω ^<ω узлы S, , в котором отсутствуют определяющие открытое множество. Поддерево T состоит из всех узлов из ω ^<ω нет в S. которых Это поддерево T определяет замкнутое подмножество C пространства Бэра такое, что любая точка x находится в C тогда и только тогда, когда x является путем через T . Обратно, для любого замкнутого подмножества C пространства Бэра существует поддерево T , состоящее из всех ω ^<ω с удалением не более счетного числа узлов.

Поскольку полное дерево ω ^<ω само по себе счетно, это означает, что замкнутые множества соответствуют любому поддереву полного дерева, включая конечные поддеревья. Таким образом, топология состоит из открытозамкнутых множеств . Это означает, что пространство Бэра нульмерно относительно малой индуктивной размерности (как и все пространства, база которых состоит из открыто-замкнутых множеств).

Приведенные выше определения открытых и закрытых множеств включают первые два набора. $\mathbf {\Sigma } _{1}^{0}$ и $\mathbf {\Pi } _{1}^{0}$ выделенной жирным шрифтом иерархии Бореля, .

Топология Box [ править ]

Декартовы произведения также имеют альтернативную топологию — топологию ящика . Эта топология намного тоньше, чем топология продукта, поскольку не ограничивает набор индикаторов. $I=\{i\in \omega \}$ быть конечным. Обычно пространство Бэра не относится к этой топологии; это относится только к топологии продукта.

Вес [ править ]

Приведенное выше определение пространства Бэра обобщается до такого, в котором элементы $x_{i}$ счетной бесконечной последовательности $(x_{1},x_{2},\cdots )$ выбираются из набора $D(\kappa )$ мощности $\kappa$ . Такое пространство называется пространством Бэра веса $\kappa$ и может быть обозначен как $B(\kappa )$ . ^[1] Согласно этому определению, пространства Бэра конечного веса будут соответствовать пространству Кантора . Тогда первое пространство Бэра бесконечного веса будет $B(\aleph _{0})$ ; он гомеоморфен $\omega ^{\omega }$ определено выше.

Метрика [ править ]

Даны две последовательности $x=(x_{1},x_{2},\cdots )$ и $y=(y_{1},y_{2},\cdots )$ , метрика $\rho (x,y)$ может быть определен как $\rho (x,y)=1/k$ где $k$ является наименьшим целым числом таким, что $x_{k}\neq y_{k}.$ При использовании этой метрики основными открытыми множествами базиса дерева являются шары радиуса $1/k$ .

Метрическое пространство $X$ встраивается в пространство Бэра $B(\kappa )$ тогда и только тогда, когда $X$ представляет собой базу ${\mathcal {B}}$ открыто-открытых множеств, где мощность ${\mathcal {B}}$ меньше или равно $\kappa$ . ^[2]^[3]

Свойства [ править ]

Пространство Бэра обладает следующими свойствами:

Это совершенное польское пространство , т. е. полностью метризуемое второе счетное пространство без изолированных точек . По существу, оно имеет ту же мощность , что и действительная линия, и является пространством Бэра в топологическом смысле этого слова.
Оно нульмерно и полностью несвязно .
Он не является локально компактным .
Оно универсально для польских пространств в том смысле, что его можно непрерывно отображать на любое непустое польское пространство. Более того, любое польское пространство имеет плотное G _δ подпространство , гомеоморфное подпространству G _δ пространства Бэра.
Пространство Бэра гомеоморфно произведению любого конечного или счетного числа своих копий.
Это группа автоморфизмов счетной бесконечной насыщенной модели. $M$ какой-то законченной теории $T$ .

Отношение к реальной линии [ править ]

Пространство Бэра гомеоморфно множеству иррациональных чисел , если им задана топология подпространства, унаследованная от вещественной прямой. Гомеоморфизм между пространством Бэра и иррациональными числами можно построить с помощью цепных дробей . То есть дана последовательность натуральных чисел $(a_{0},a_{1},a_{2},\cdots )\in \omega ^{\omega }$ , мы можем присвоить соответствующее иррациональное число больше 1

x=[a_{0};a_{1},a_{2},\cdots ]=a_{0}+{\frac {1}{a_{1}+{\frac {1}{a_{2}+\cdots }}}}

С использованием $x\mapsto {\frac {1}{x}}$ мы получаем другой гомеоморфизм из $\omega ^{\omega }$ к иррациональным числам в открытом единичном интервале $(0,1)$ и мы можем сделать то же самое для негативных иррационалов. Мы видим, что иррациональные числа представляют собой топологическую сумму четырех пространств, гомеоморфных пространству Бэра и, следовательно, также гомеоморфных пространству Бэра.

С точки зрения описательной теории множеств тот факт, что реальная линия связна, вызывает технические трудности. ^{[ почему? ]} По этой причине более распространено изучение пространства Бэра. Поскольку каждое польское пространство является непрерывным образом пространства Бэра, часто можно доказать результаты о произвольных польских пространствах, показав, что эти свойства справедливы для пространства Бэра и сохраняются непрерывными функциями .

ой ^ой также представляет самостоятельный, хотя и незначительный интерес для реального анализа , где оно рассматривается как однородное пространство . Однородные структуры ω ^ой и Ir (иррациональные числа), однако, различны: ω ^ой полно Ir в своей обычной метрике, а — нет (хотя эти пространства гомеоморфны).

Оператор смены [ править ]

Оператор сдвига в пространстве Бэра при отображении на единичный интервал действительных чисел становится оператором Гаусса – Кузмина – Вирсинга. $h(x)=1/x-\lfloor 1/x\rfloor$ . То есть, учитывая последовательность $(a_{1},a_{2},\cdots )$ , оператор сдвига T возвращает $T(a_{1},a_{2},\cdots )=(a_{2},\cdots )$ . Аналогично, учитывая непрерывную дробь $x=[a_{1},a_{2},\cdots ]$ , карта Гаусса возвращается $h(x)=[a_{2},\cdots ]$ . Соответствующим оператором для функций из пространства Бэра на комплексную плоскость является оператор Гаусса–Кузьмина–Вирсинга ; это передаточный оператор отображения Гаусса. ^[4] То есть рассматриваются карты $\omega ^{\omega }\to \mathbb {C}$ из пространства Бэра на комплексную плоскость $\mathbb {C}$ . Это пространство отображений наследует топологию топологии произведения в пространстве Бэра; например, можно рассматривать функции, имеющие равномерную сходимость . Отображение сдвига, действующее на это пространство функций, тогда является оператором GKW.

Мера Хаара оператора сдвига, то есть функция, инвариантная относительно сдвигов, задается мерой Минковского $(...)'$ . То есть у человека есть это $(TE)'=E'$ , где T — сдвиг ^[5] и E любое измеримое подмножество ω ^ой.

См. также [ править ]

Пространство Бэра - Понятие в топологии
Список топологий - Список конкретных топологий и топологических пространств.

Ссылки [ править ]

^ Arkhangelskii, A.V.; Pontryagin, L.S. (1990). General Topology . Vol. I. Berlin, DE: Springer-Verlag. ISBN 3-540-18178-4 . См. главу первую.
^ Р. Энгелькинг (1977). Общая топология . ПВН, Варшава.
^ Александров, П.С. (1977). Введение в теорию множеств и общую топологию . Москва: Наука.
^ Линас Вепстас, « Оператор Гаусса-Кузьмина-Савойя » (2004)
^ Линас Вепстас, « О мере Минковского », (2008) arXiv:0810.1265

Кекрис, Александр С. (1994). Классическая описательная теория множеств . Спрингер-Верлаг. ISBN 0-387-94374-9 .
Мошовакис, Яннис Н. (1980). Описательная теория множеств . Северная Голландия. ISBN 0-444-70199-0 .

[1] Arkhangelskii, A.V.; Pontryagin, L.S. (1990). General Topology . Vol. I. Berlin, DE: Springer-Verlag. ISBN 3-540-18178-4 . См. главу первую.

[2] Р. Энгелькинг (1977). Общая топология . ПВН, Варшава.

[3] Александров, П.С. (1977). Введение в теорию множеств и общую топологию . Москва: Наука.

[4] Линас Вепстас, « Оператор Гаусса-Кузьмина-Савойя » (2004)

[5] Линас Вепстас, « О мере Минковского », (2008) arXiv:0810.1265

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]