Описательная теория множеств

В математической логике описательная теория множеств ( DST ) представляет собой изучение определенных классов « хороших » подмножеств действительной прямой и других польских пространств . Помимо того, что это одна из основных областей исследований в теории множеств , она имеет приложения и в других областях математики, таких как функциональный анализ , эргодическая теория , изучение операторных алгебр и групповых действий , а также математическая логика .

Польские просторы [ править ]

Описательная теория множеств начинается с изучения польских пространств и их борелевских множеств .

Польское пространство — это со второй счетностью топологическое пространство , метризуемое с полной метрикой . Эвристически это полное сепарабельное метрическое пространство , метрика которого «забыта». Примеры включают реальную линию $\mathbb {R}$ , пространство Бэра ${\mathcal {N}}$ , пространство Кантора ${\mathcal {C}}$ и куб Гильберта $I^{\mathbb {N} }$ .

Свойства универсальности [ править ]

Класс польских пространств обладает рядом свойств универсальности, которые показывают, что не происходит потери общности при рассмотрении польских пространств некоторых ограниченных форм.

Каждое польское пространство гомеоморфно подпространству G _δ подпространство гильбертова куба , и каждое G _δ гильбертова куба является польским.
Каждое польское пространство получается как непрерывный образ пространства Бэра; на самом деле каждое польское пространство представляет собой образ непрерывной биекции, определенной на замкнутом подмножестве пространства Бэра. Аналогично, каждое компактное польское пространство является непрерывным образом канторова пространства.

Из-за этих свойств универсальности и из-за того, что пространство Бэра ${\mathcal {N}}$ свойством, что он гомеоморфен обладает тем удобным ${\mathcal {N}}^{\omega }$ Многие результаты дескриптивной теории множеств доказываются только в контексте пространства Бэра.

Борелевские множества [ править ]

Класс борелевских множеств топологического пространства X состоит из всех множеств наименьшей σ-алгебры, содержащих открытые множества X . Это означает, что борелевские множества X представляют собой наименьший набор таких множеств, что:

Каждое открытое подмножество X является борелевским множеством.
Если A — борелевское множество, то $X\setminus A$ . То есть класс борелевских множеств замкнут относительно дополнения.
Если An _n — борелевское множество для каждого натурального числа , то объединение $\bigcup A_{n}$ является множеством Бореля. То есть борелевские множества замкнуты относительно счетных объединений.

Фундаментальный результат показывает, что любые два несчетных польских пространства X и Y изоморфны по Борелю : существует биекция X в Y такая, что прообраз любого борелевского множества является борелевским, а образ любого борелевского множества — борелевским. Это дает дополнительное оправдание практике ограничения внимания пространствами Бэра и Кантора, поскольку все эти и любые другие польские пространства изоморфны на уровне борелевских множеств.

Иерархия Бореля [ править ]

Каждое борелевское множество польского пространства классифицируется в иерархии Бореля на основе того, сколько раз необходимо использовать операции счетного объединения и дополнения для получения набора, начиная с открытых множеств. Классификация ведется по счетным порядковым числам . Для каждого ненулевого счетного ординала α существуют классы $\mathbf {\Sigma } _{\alpha }^{0}$ , $\mathbf {\Pi } _{\alpha }^{0}$ , и $\mathbf {\Delta } _{\alpha }^{0}$ .

Каждое открытое множество объявляется $\mathbf {\Sigma } _{1}^{0}$ .
Набор объявлен как $\mathbf {\Pi } _{\alpha }^{0}$ тогда и только тогда, когда его дополнение $\mathbf {\Sigma } _{\alpha }^{0}$ .
Множество A объявлено $\mathbf {\Sigma } _{\delta }^{0}$ , δ > 1, если существует последовательность ⟨ A _i ⟩ множеств, каждое из которых $\mathbf {\Pi } _{\lambda (i)}^{0}$ для некоторого λ ( i ) < δ , такого, что $A=\bigcup A_{i}$ .
Набор $\mathbf {\Delta } _{\alpha }^{0}$ тогда и только тогда, когда это и то, и другое $\mathbf {\Sigma } _{\alpha }^{0}$ и $\mathbf {\Pi } _{\alpha }^{0}$ .

Теорема показывает, что любое множество, $\mathbf {\Sigma } _{\alpha }^{0}$ или $\mathbf {\Pi } _{\alpha }^{0}$ является $\mathbf {\Delta } _{\alpha +1}^{0}$ и любой $\mathbf {\Delta } _{\beta }^{0}$ набор и тот и другой $\mathbf {\Sigma } _{\alpha }^{0}$ и $\mathbf {\Pi } _{\alpha }^{0}$ для всех α > β . Таким образом, иерархия имеет следующую структуру, где стрелки указывают включение.

${\begin{matrix}&&\mathbf {\Sigma } _{1}^{0}&&&&\mathbf {\Sigma } _{2}^{0}&&\cdots \\&\nearrow &&\searrow &&\nearrow \\\mathbf {\Delta } _{1}^{0}&&&&\mathbf {\Delta } _{2}^{0}&&&&\cdots \\&\searrow &&\nearrow &&\searrow \\&&\mathbf {\Pi } _{1}^{0}&&&&\mathbf {\Pi } _{2}^{0}&&\cdots \end{matrix}}{\begin{matrix}&&\mathbf {\Sigma } _{\alpha }^{0}&&&\cdots \\&\nearrow &&\searrow \\\quad \mathbf {\Delta } _{\alpha }^{0}&&&&\mathbf {\Delta } _{\alpha +1}^{0}&\cdots \\&\searrow &&\nearrow \\&&\mathbf {\Pi } _{\alpha }^{0}&&&\cdots \end{matrix}}$

борелевских Свойства регулярности множеств

Классическая дескриптивная теория множеств включает изучение свойств регулярности борелевских множеств. Например, все борелевские множества польского пространства обладают свойством Бэра и свойством совершенного множества . Современная дескриптивная теория множеств включает изучение способов, которыми эти результаты обобщаются или не обобщаются на другие классы подмножеств польских пространств.

Аналитические и коаналитические множества [ править ]

Сразу за борелевскими множествами по сложности стоят аналитические и коаналитические множества . Подмножество польского пространства X аналитично , если оно является непрерывным образом борелевского подмножества некоторого другого польского пространства. Хотя любой непрерывный прообраз борелевского множества является борелевским, не все аналитические множества являются борелевскими. Множество называется коаналитическим, если его дополнение аналитично.

множества и Проективные Ваджа степени

Многие вопросы дескриптивной теории множеств в конечном итоге зависят от теоретико-множественных соображений и свойств порядковых и кардинальных чисел . Это явление особенно проявляется в проективных множествах . Они определяются через проективную иерархию в польском пространстве X :

Набор объявлен как $\mathbf {\Sigma } _{1}^{1}$ если оно аналитическое.
Набор $\mathbf {\Pi } _{1}^{1}$ если оно коаналитическое.
Набор А есть $\mathbf {\Sigma } _{n+1}^{1}$ если есть $\mathbf {\Pi } _{n}^{1}$ подмножество B из $X\times X$ такой, что A является проекцией B на первую координату.
Набор А есть $\mathbf {\Pi } _{n+1}^{1}$ если есть $\mathbf {\Sigma } _{n}^{1}$ подмножество B из $X\times X$ такой, что A является проекцией B на первую координату.
Набор $\mathbf {\Delta } _{n}^{1}$ если это оба $\mathbf {\Pi } _{n}^{1}$ и $\mathbf {\Sigma } _{n}^{1}$ .

Как и в иерархии Бореля, для каждого n любое $\mathbf {\Delta } _{n}^{1}$ набор и тот и другой $\mathbf {\Sigma } _{n+1}^{1}$ и $\mathbf {\Pi } _{n+1}^{1}$ .

Свойства проективных множеств не полностью определяются ZFC. В предположении V = L не все проективные множества обладают свойством совершенного множества или свойством Бэра. Однако в предположении проективной определенности все проективные множества обладают как свойством совершенного множества, так и свойством Бэра. Это связано с тем, что ZFC доказывает борелевскую детерминированность , но не проективную детерминированность.

Существуют также общие расширения $L$ для любого натурального числа $n>2$ в котором ${\mathcal {P}}(\omega )\cap L$ состоит из всех световых граней $\Delta _{n}^{1}$ подмножества $\omega$ . ^[1]

В более общем смысле, весь набор наборов элементов польского пространства X можно сгруппировать в классы эквивалентности, известные как степени Ваджа , которые обобщают проективную иерархию. Эти степени упорядочены в иерархии Ваджа . Аксиома детерминированности подразумевает, что иерархия Ваджа в любом польском пространстве хорошо обоснована и имеет длину Θ со структурой, расширяющей проективную иерархию.

отношения Борелевские эквивалентности

Современная область исследований в дескриптивной теории множеств изучает борелевские отношения эквивалентности . Отношение борелевской эквивалентности на польском пространстве X — это борелевское подмножество $X\times X$ это отношение эквивалентности на X .

Эффективная описательная множеств теория

Область эффективной дескриптивной теории множеств сочетает в себе методы дескриптивной теории множеств с методами обобщенной теории рекурсии (особенно гиперарифметической теории ). В частности, основное внимание уделяется облегченным аналогам иерархий классической дескриптивной теории множеств. Таким образом, гиперарифметическая иерархия вместо иерархии Бореля изучается аналитическая иерархия , а вместо проективной иерархии — . Это исследование связано с более слабыми версиями теории множеств, такими как теория множеств Крипке-Платека и арифметика второго порядка .

Таблица [ править ]

Светлое лицо		Жирный шрифт
С ⁰ ₀ = П ⁰ ₀ = Д ⁰ ₀ (иногда то же, что ∆ ⁰ ₁)		С ⁰ ₀ = П ⁰ ₀ = Д ⁰ ₀ (если определено)
Д ⁰ ₁ = рекурсивный		Д ⁰ ₁ = закрыто открыто
С ⁰ ₁ = рекурсивно перечисляемый	П ⁰ ₁ = ко-рекурсивно перечисляемый	С ⁰ ₁ = G = открыто	П ⁰ ₁ = F = закрыто
Д ⁰ ₂		Д ⁰ ₂
С ⁰ ₂	П ⁰ ₂	С ⁰ ₂ = Ф _п	П ⁰ ₂ = г _δ
Д ⁰ ₃		Д ⁰ ₃
С ⁰ ₃	П ⁰ ₃	С ⁰ ₃ = г _дс	П ⁰ ₃ = Ф _сд
⋮		⋮
С ⁰ _<ω = Р ⁰ _<ω = D ⁰ _<ω = S ¹ ₀ = П ¹ ₀ = Д ¹ ₀ = арифметический		С ⁰ _<ω = Р ⁰ _<ω = D ⁰ _<ω = S ¹ ₀ = П ¹ ₀ = Д ¹ ₀ = жирный арифметический шрифт
⋮		⋮
Д ⁰ _а ( рекурсивный )		Д ⁰ _а ( счетное )
С ⁰ _а	П ⁰ _а	С ⁰ _а	П ⁰ _а
⋮		⋮
С ⁰ _{ой ^СК ₁} = П ⁰ _{ой ^СК ₁} = Д ⁰ _{ой ^СК ₁} = Д ¹ ₁ = гиперарифметический		С ⁰ _{ω ₁} = Р ⁰ _{ω ₁} = Д ⁰ _{ω ₁} = Д ¹ ₁ = Б = Борель
С ¹ ₁ = аналитика светлого лица	П ¹ ₁ = коаналитик светлой поверхности	С ¹ ₁ = А = аналитический	П ¹ ₁ = СА = коаналитический
Д ¹ ₂		Д ¹ ₂
С ¹ ₂	П ¹ ₂	С ¹ ₂ = PCA	П ¹ ₂ = КПКА
Д ¹ ₃		Д ¹ ₃
С ¹ ₃	П ¹ ₃	С ¹ ₃ = ПКПККА	П ¹ ₃ = CPCPCA
⋮		⋮
С ¹ _<ω = Р ¹ _<ω = D ¹ _<ω = S ² ₀ = П ² ₀ = Д ² ₀ = аналитический		С ¹ _<ω = Р ¹ _<ω = D ¹ _<ω = S ² ₀ = П ² ₀ = Д ² ₀ = P = проективный
⋮		⋮

См. также [ править ]

Ссылки [ править ]

Кекрис, Александр С. (1994). Классическая описательная теория множеств . Спрингер-Верлаг. ISBN 0-387-94374-9 .
Мошовакис, Яннис Н. (1980). Описательная теория множеств . Северная Голландия. п. 2. ISBN 0-444-70199-0 .

Цитаты [ править ]

^ V. Kanovei, V. Lyubetsky, " On the $\Delta _{n}^{1}$ Проблема Харви Фридмана . В книге «Математическая логика и ее приложения» (2020), DOI 10.3380/math8091477 .

Внешние ссылки [ править ]

Описательная теория множеств , Дэвид Маркер, 2002. Конспекты лекций.

[1] V. Kanovei, V. Lyubetsky, " On the $\Delta _{n}^{1}$ Проблема Харви Фридмана . В книге «Математическая логика и ее приложения» (2020), DOI 10.3380/math8091477 .

[1]