Масштаб (дескриптивная теория множеств)

В математической дисциплине описательной теории множеств шкала — это объект определенного типа, определенный на в каком множестве точек -то польском пространстве (например, шкала может быть определена на множестве действительных чисел ). Первоначально масштабы были выделены как понятие в теории униформизации . но нашли широкое применение в дескриптивной теории множеств с такими приложениями, как установление границ возможных длин хорошо упорядоченных представлений заданной сложности и показ (при определенных предположениях), что существуют наибольшие счетные множества определенной сложности.

Формальное определение

Учитывая набор точек A, содержащийся в некотором пространстве продукта

$A\subseteq X=X_{0}\times X_{1}\times \ldots X_{m-1}$

где каждое X _k является либо пространством Бэра , либо счетным бесконечным дискретным множеством, мы говорим, что норма на A является отображением A в порядковые числа . Каждая норма имеет связанный предварительный порядок , где один элемент A предшествует другому элементу, если норма первого меньше нормы второго.

Шкала — на A это счетная бесконечная совокупность норм.

$(\phi _{n})_{n<\omega }$

со следующими свойствами:

Если последовательность x _i такова, что

x _i является элементом A для каждого натурального числа i , и

x _i сходится к элементу x в пространстве произведений X и

для каждого натурального числа n существует ординал λ _n такой, что φ _n ( x _i ) = λ _n для всех достаточно больших i , тогда

x является элементом A и

для каждого n φ _n (x)≤λ _n .

Само по себе, по крайней мере, с учетом аксиомы выбора , существование шкалы в множестве точек тривиально, поскольку A может быть хорошо упорядочено, и каждый φ _n может просто нумеровать A . Чтобы сделать концепцию полезной, к нормам (индивидуально и вместе) должен быть применен критерий определимости. Здесь «определимость» понимается в обычном смысле дескриптивной теории множеств; это не обязательно должна быть определимость в абсолютном смысле, а скорее указывает на принадлежность к некоторому точечному классу множеств действительных чисел. Сами нормы φ _n не являются множествами действительных чисел, а соответствующие предварительные упорядочения (по крайней мере, по существу).

Идея состоит в том, что для данного класса точек Γ мы хотим, чтобы предварительные упорядочения ниже данной точки в A были равномерно представлены как в виде набора в Γ, так и в виде набора в двойственном классе точек Γ, относительно «более крупной» точки, являющейся элемент А. ​Формально мы говорим, что φn _{образуют} Γ -шкалу на A, если они образуют шкалу на A и существуют троичные отношения S и T такие, что, если y является элементом A , то

$\forall n\forall x(\varphi _{n}(x)\leq \varphi _{n}(y)\iff S(n,x,y)\iff T(n,x,y))$

где S находится в Γ, а T находится в двойственном к Γ точечном классе (т. е. дополнение к T находится в Γ). Обратите внимание, что мы думаем о φ _n ( x ) как о ∞ всякий раз, когда x ∉ A ; таким образом, условие φ _n ( x )妻 φ _n ( y ) для y ∈ A также влечет за собой x ∈ A .

Из определения не следует, что набор норм находится в пересечении Γ с двойственным точечным классом Γ. Это связано с тем, что трехсторонняя эквивалентность обусловлена ​​тем, что y является элементом A . Для y, не входящего в A , может случиться так, что один или оба из S(n,x,y) или T(n,x,y) не выполняются, даже если x находится в A (и, следовательно, автоматически φ _n ( x )≤φ _n ( y )=∞).

Свойство масштабирования

Свойство масштабирования является усилением свойства предварительного упорядочения . Для классов точек определенной формы это означает, что отношения в данном классе точек имеют униформизацию , которая также присутствует в классе точек.

Ссылки

• Мошовакис, Яннис Н. (1980), Описательная теория множеств , Северная Голландия, ISBN  0-444-70199-0
• Кекрис, Александр С.; Мошовакис, Яннис Н. (2008), «Заметки по теории весов», в Кехрисе, Александр С.; Бенедикт Лёве ; Стил, Джон Р. (ред.), Игры, весы и кардиналы Суслина: Семинар Кабала, Том I , Cambridge University Press, стр. 28–74, ISBN  978-0-521-89951-2