Униформизация (теория множеств)

В теории множеств , разделе математики , аксиома униформизации является слабой формой аксиомы выбора . В нем говорится, что если $R$ является подмножеством ​ $X\times Y$, где $X$ и $Y$ являются польскими пространствами , то существует подмножество $f$ из $R$ это частичная функция от $X$ к $Y$, и чей домен ( множество всех $x$ такой, что $f(x)$ существует) равно

$\{x\in X\mid \exists y\in Y:(x,y)\in R\}\,$

Такая функция называется униформизирующей функцией для $R$или унификация ​ $R$.

Униформизация отношения R (голубой) с помощью функции f (красный).

Чтобы увидеть связь с аксиомой выбора, заметим, что $R$ можно рассматривать как связь с каждым элементом $X$, подмножество $Y$. Униформизация $R$ затем выбирает ровно один элемент из каждого такого подмножества, если подмножество не пусто . Таким образом, разрешение произвольных множеств X и Y (а не только польских пространств) сделало бы аксиому униформизации эквивалентной аксиоме выбора.

Класс баллов ${\boldsymbol {\Gamma }}$ Говорят, что оно обладает свойством униформизации, если каждое отношение $R$ в ${\boldsymbol {\Gamma }}$ может быть униформизировано частичной функцией в ${\boldsymbol {\Gamma }}$. Свойство униформизации подразумевается свойством масштаба , по крайней мере, для адекватных классов точек определенной формы.

следует Из одного только ZFC , что ${\boldsymbol {\Pi }}_{1}^{1}$ и ${\boldsymbol {\Sigma }}_{2}^{1}$ обладают свойством униформизации. Из существования достаточно больших кардиналов следует , что

• ${\boldsymbol {\Pi }}_{2n+1}^{1}$ и ${\boldsymbol {\Sigma }}_{2n+2}^{1}$ обладают свойством униформизации для каждого натурального числа $n$.
• Следовательно, совокупность проективных множеств обладает свойством униформизации.
• Любое отношение в L(R) можно униформизировать, но не обязательно с помощью функции из L(R). Фактически, L(R) не обладает свойством униформизации (т. е. L(R) не удовлетворяет аксиоме униформизации).
  • (Примечание: тривиально то, что каждое отношение в L(R) можно униформизировать в V , предполагая, что V удовлетворяет выбранной аксиоме. Дело в том, что каждое такое отношение может быть униформизировано в некоторой транзитивной внутренней модели V, в которой аксиома детерминированности держится.)

Ссылки

• Мошовакис, Яннис Н. (1980). Описательная теория множеств . Северная Голландия. ISBN  0-444-70199-0 .