Аксиома определенности

В математике аксиома детерминированности (сокращенно AD ) является возможной аксиомой теории множеств , введенной Яном Мисельским и Хьюго Штейнхаусом двух лиц в 1962 году. Она относится к некоторым топологическим играм длины ω . что каждая игра определенного типа определена AD утверждает , ; то есть у одного из двух игроков есть выигрышная стратегия .

Стейнхаус и Мицельский мотивировали AD своими интересными последствиями и предположили, что AD может быть верной в наименьшей естественной модели L(R) теории множеств, которая принимает только слабую форму аксиомы выбора (AC), но содержит все реальные и все порядковые номера . Некоторые следствия AD вытекают из теорем, доказанных ранее Стефаном Банахом , Станиславом Мазуром и Мортоном Дэвисом . Мицельский и Станислав Сверчковский предложили еще одно: AD подразумевает, что все множества действительных чисел измеримы по Лебегу . Позже Дональд А. Мартин и другие доказали более важные следствия, особенно в дескриптивной теории множеств . В 1988 году Джон Р. Стил и У. Хью Вудин завершили длительное исследование. Предполагая существование некоторых несчетных кардинальных чисел, аналогичных ℵ ₀ , они доказали исходную гипотезу Мисельского и Штейнхауса о том, что AD верно в L(R).

Определенные типы игры

Аксиома детерминированности относится к играм следующего конкретного вида: Рассмотрим подмножество A Бэра пространства ω ^ой всех бесконечных последовательностей натуральных чисел . Два игрока, 1 и 2 , поочередно выбирают натуральные числа.

п ₀ , п ₁ , п ₂ , п ₃ , ...

Это генерирует последовательность ⟨ n _i ⟩ _{i ∈ω} после бесконечного числа ходов. Игрок 1 выигрывает игру тогда и только тогда, когда сгенерированная последовательность является элементом A . Аксиома детерминированности — это утверждение, что все такие игры детерминированы.

Не для всех игр требуется аксиома детерминированности, чтобы доказать их детерминированность. Если множество A открыто - замкнуто , игра по существу является конечной игрой и, следовательно, определена. Аналогично, если A — замкнутое множество , то игра определена. показал, В 1975 году Дональд А. Мартин что игры, выигрышный набор которых является набором Бореля, определены. следует, Из существования достаточно больших кардиналов что AD выполняется в L(R) и что игра определена, если она имеет проективное множество в качестве выигрышного множества (см. Проективная определенность ).

Аксиома определенности подразумевает, что для каждого подпространства X действительных чисел чисел обладает свойством Бэра определена игра Банаха–Мазура BM(X) (и, следовательно, каждый набор действительных ) .

Несовместимость с аксиомой выбора

В предположении аксиомы выбора мы представляем две отдельные конструкции контрпримеров к аксиоме детерминированности. Отсюда следует, что аксиома детерминированности и аксиома выбора несовместимы.

Использование правильного порядка континуума

Множество S ₁ всех стратегий первого игрока в ω-игре G имеет ту же мощность , что и континуум . То же самое справедливо и для множества всех _S2 стратегий второго игрока. Пусть SG — множество всех возможных последовательностей в G , а A — подмножество последовательностей SG , которые приносят победу первому игроку. С помощью аксиомы выбора мы вполне можем упорядочить континуум, причем сделать это таким образом, чтобы любая правильная начальная часть имела меньшую мощность, чем континуум. Мы используем полученное упорядоченное множество J для индексации как S1 _, так и S2 _, и строим A так, чтобы оно было контрпримером.

Начнем с пустых A и B. множеств Пусть α ∈ J индекс стратегий S1 _S2 и . _в — Нам нужно рассмотреть все стратегии S ₁ = {s ₁ ( α )} _{α ∈ J} первого игрока и все стратегии S ₂ = {s ₂ ( α )} _{α ∈ J} второго игрока, чтобы убедиться, что для каждой стратегии существует стратегия другого игрока, которая выигрывает у него. Для каждой стратегии рассматриваемого игрока мы сгенерируем последовательность, которая принесет выигрыш другому игроку. Пусть t будет временем, ось которого имеет длину ℵ ₀ и которое используется в каждой игровой последовательности. Мы создаем контрпример A с помощью трансфинитной рекурсии по α :

1. Рассмотрим стратегию s1 ₍ α ) первого игрока.
2. Примените эту стратегию к ω-игре, создав (вместе со стратегией первого игрока s ₁ ( α )) последовательность ⟨ a ₁ , b ₂ , a ₃ , b ₄ , ..., _at , b _{t +1} , ...⟩, который не принадлежит A . Это возможно, поскольку число вариантов выбора для ⟨ b ₂ , b ₄ , b ₆ , ...⟩ имеет ту же мощность, что и континуум, который больше мощности собственной начальной части { β ∈ J | β < α } J.
3. Добавьте эту последовательность к B , чтобы указать, что s ₁ ( α ) проигрывает (при ⟨ b ₂ , b ₄ , b ₆ , ...⟩).
4. Рассмотрим стратегию s2 ₍ α ) второго игрока.
5. Примените эту стратегию к ω-игре, создав (вместе со стратегией второго игрока s ₂ ( α )) последовательность ⟨ a ₁ , b ₂ , a ₃ , b ₄ , ..., a _t , b _{t +1} , ...⟩, который не принадлежит B. Это возможно, потому что количество вариантов для ⟨ a ₁ , a ₃ , a ₅ , ...⟩ имеет ту же мощность, что и континуум, который больше мощности собственной начальной части { β ∈ J | β ≤ α } из J.
6. Добавьте эту последовательность к A , чтобы указать, что s ₂ ( α ) проигрывает (при ⟨ a ₁ , a ₃ , a ₅ , ...⟩).
7. стратегии S1 _S2 и . _{Обработать все возможные} с трансфинитной индукцией по α Для всех последовательностей, которые после этого не входят в A или B , произвольно решите, принадлежат ли они A или B, так чтобы B была дополнением к A.

Как только это будет сделано, приготовьтесь к ω- G. игре Для данной стратегии s ₁ первого игрока существует α ∈ J такая, что s ₁ = s ₁ ( α ), и A была построена так, что s ₁ ( α ) терпит неудачу (при определенных вариантах выбора ⟨ b ₂ , b ₄ , b ₆ , ...⟩ второго игрока). Следовательно, s ₁ не работает. Точно так же любая другая стратегия любого игрока также терпит неудачу.

Использование функции выбора

В этой конструкции использование аксиомы выбора аналогично выбору носков, как указано в цитате Бертрана Рассела из Axiom of choice#Quotations .

В ω-игре два игрока генерируют последовательность ⟨ a ₁ , b ₂ , a ₃ , b ₄ , ...⟩, элемент из ω ^ой , где наше соглашение заключается в том, что 0 не является натуральным числом, поэтому ни один игрок не может его выбрать. Определим функцию f : ω ^ой  → {0, 1} ^ой такая, что f ( r ) — уникальная последовательность длины ω со значениями в {0, 1}, первый член которой равен 0, а последовательность серий (см. Кодирование длины серии ) равна r. (Можно показать, что такое f инъективно. Изображение является подмножеством {0, 1} ^ой последовательностей, которые начинаются с 0 и которые в конечном итоге не являются постоянными. Формально f — функция вопросительного знака Минковского , {0, 1} ^ой — канторово пространство , а ω ^ой это пространство Бэра .)

Соблюдайте отношение эквивалентности на {0, 1} ^ой такие, что две последовательности эквивалентны тогда и только тогда, когда они различаются конечным числом членов. Это разбивает множество на классы эквивалентности. Пусть T — множество классов эквивалентности (таких, что T имеет мощность континуума). Определить {0, 1} ^ой → T , переводящий последовательность в класс эквивалентности. Определите дополнение любой последовательности s в {0, 1} ^ой быть последовательностью s ₁ , которая отличается в каждом члене. Определим функцию h : T → T такую, что для любой последовательности s из {0, 1} ^ой , h , примененный к классу эквивалентности s , равен классу эквивалентности дополнения к s (который четко определен, поскольку если s и s' эквивалентны, то их дополнения эквивалентны). Можно показать, что h является инволюцией без неподвижных точек, и, таким образом, у нас есть разделение T на подмножества размера 2, так что каждое подмножество имеет форму { t , h ( t )}. Используя аксиому выбора, мы можем выбрать один элемент из каждого подмножества. Другими словами, мы выбираем «половину» элементов T, подмножества, которое мы обозначаем U, таких, что t ∈ U тогда и только тогда, когда h ( t ) ∉ U.

Далее определим подмножество A ⊆ ω ^ой в котором 1 выигрывает : A — это набор всех r таких, что g ( f ( r )) ∈ U. Теперь мы утверждаем, что ни у одного игрока нет выигрышной стратегии, используя аргумент кражи стратегии . Обозначим текущее состояние игры конечной последовательностью натуральных чисел (так что, если длина этой последовательности четная, то 1 следующим будет 2 , в противном случае следующим будет ).

Предположим, что q — (детерминированная) выигрышная стратегия для 2 . Игрок 1 может построить стратегию p , которая побеждает q , следующим образом: Предположим, что ответ игрока ( 2 согласно q ) на ⟨1⟩ равен b ₁ . Тогда 1 указывает в p , что a ₁ = 1 + b ₁ . (Грубо говоря, 1 теперь играет за 2 во второй параллельной игре; сет 1 выигрышный во второй игре равен сету 2 выигрышному в исходной игре, и это противоречие. Тем не менее, мы продолжим более формально.)

Предположим, что 2 ответ (всегда в соответствии с q ) на ⟨1 + b ₁ ⟩ равен b ₂ , а на ответ 2 ⟨1, b ₁ , b ₂ ⟩ равен b ₃ . Мы конструируем p для 1 , мы стремимся только победить q, и поэтому нам нужно только обработать ответ b ₂ на 1 первый ход . Следовательно, ответ набора на 1 ⟨1 + b ₁ , b ₂ ⟩ равен b ₃ . В общем, для четного n обозначьте на ответ 2 ⟨1 + b ₁ , ..., b _{n −1} ⟩ через b _n и на ответ 2 ⟨1, b ₁ , ..., b _n ⟩ на б _{н +1} . Затем 1 указывает в p что 1 ответ на ⟨1 + b ₁ , b ₂ , ..., b _n ⟩ равен bn _{+1 ,} . Стратегия q предполагается выигрышной, а результат игры r в ω ^ой заданная ⟨1, b ₁ , ...⟩, является одной из возможных последовательностей, разрешенных q, поэтому r должно быть выигрышным для 2 , а g ( f ( r )) не должно быть в U. Результат игры r ' в ω ^ой заданная ⟨1 + b ₁ , b ₂ , ...⟩ также является последовательностью, разрешенной q (в частности, q играет против p ), поэтому g ( f ( r ')) не должно быть в U. Однако f ( r ) и f ( r ') различаются во всем, кроме первого члена (по природе кодирования длины серии и смещению 1), поэтому f ( r ) и f ( r ') находятся в дополнительных эквивалентных классах, поэтому g ( f ( r )), g ( f ( r ')) не могут одновременно находиться в U, что противоречит предположению, что q является выигрышной стратегией.

Аналогично предположим, что p — выигрышная стратегия для 1 ; аргумент аналогичен, но теперь использует тот факт, что классы эквивалентности были определены путем допуска различия сколь угодно большого конечного числа терминов. Пусть 1 _будет ходом 1 первым . В общем, для четного n обозначайте на реакцию 1 ⟨ a ₁ , 1⟩ (если n = 2) или ⟨ a ₁ , 1, a ₂ , ..., a ₋₁ ⟩ через n _n и 1 ' s ответ на ⟨ a ₁ + a ₂ , ... a _n ⟩ на n _{+1 .} , 1 Тогда результат игры r , заданный ⟨ a ₁ , 1, a ₂ , a ₃ , ...⟩, разрешен p , так что g ( f ( r )) должно находиться в U ; также результат игры r ', заданный ⟨ a ₁ , 1 + a ₂ , a ₃ , ...⟩, также разрешен p , так что g ( f ( r ')) должен находиться в U. Однако f ( r ) и f ( r + 1, кроме первых ') различаются во всех терминах a ₁ , поэтому они находятся в эквивалентных классах дополнения, поэтому g ( f ( r )) и g ( f ( r ')) не могут одновременно находиться в U, что противоречит что p — выигрышная стратегия.

аксиома

Непротиворечивость аксиомы детерминированности тесно связана с вопросом непротиворечивости больших кардинальных аксиом. По теореме Вудина непротиворечивость теории множеств Цермело–Френкеля без выбора (ZF) вместе с аксиомой детерминированности эквивалентна непротиворечивости теории множеств Цермело–Френкеля с выбором (ZFC) вместе с существованием бесконечного числа кардиналов Вудина. . Поскольку кардиналы Вуда строго недоступны , если AD непротиворечива, то и бесконечное число недоступных кардиналов непротиворечиво.

Более того, если к гипотезе о бесконечном множестве кардиналов Вудина добавить существование измеримого кардинала , большего, чем все они, возникает очень сильная теория измеримых по Лебегу множеств вещественных чисел, поскольку тогда доказывается, что аксиома детерминированности равна истинно в L(R) и, следовательно, каждый набор действительных чисел в L(R) определен.

Проективные ординалы

Яннис Мошовакис ввел ординалы δ ¹
_n , что является верхней границей длины ∆ ¹
_n -нормы (инъекции ∆ ¹
_n, заданное по порядковым номерам), где ∆ ¹
_n — уровень проективной иерархии . Предполагая AD, все δ ¹
_n — начальные ординалы , и мы имеем δ ¹
_{2 n +2} = (δ ¹
_{2н + 1} ) ⁺ , а при n < ω 2 n -й кардинал Суслина равен δ ¹
_{2 н -1} .

См. также

• Аксиома реальной определенности (AD _R )
• Теорема Бореля об определенности
• Мартин мера
• Топологическая игра

Ссылки

• Мисельский, Ян ; Штайнхаус, Хьюго (1962). «Математическая аксиома, противоречащая аксиоме выбора». Вестник Польской академии наук, Серия математических, астрономических и физических наук . 10 :1–3. ISSN   0001-4117 . МР   0140430 .
• Мисельский, Ян ; Сверчковский, Станислав (1964). «Об измеримости по Лебегу и аксиоме определенности» . Фонд. Математика . 54 : 67–71. дои : 10.4064/fm-54-1-67-71 .
• Вудин, В. Хью (1988). «Сверхкомпактные кардиналы, множества вещественных чисел и слабооднородные деревья» . Труды Национальной академии наук Соединенных Штатов Америки . 85 (18): 6587–6591. Бибкод : 1988PNAS...85.6587W . дои : 10.1073/pnas.85.18.6587 . ПМК   282022 . ПМИД   16593979 .
• Мартин, Дональд А .; Стил, Джон Р. (январь 1989 г.). «Доказательство проективной детерминированности» . Журнал Американского математического общества . 2 (1): 71–125. дои : 10.2307/1990913 . JSTOR   1990913 .
• Джех, Томас (2002). Теория множеств, издание третьего тысячелетия (переработанное и дополненное) . Спрингер. ISBN  978-3-540-44085-7 .
• Канамори, Акихиро (2008). Высшее Бесконечное (2-е изд.). Springer Science & Business Media. ISBN  978-3-540-88866-6 .
• Мошовакис, Яннис Н. (2009). Описательная теория множеств (PDF) (2-е изд.). Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество. ISBN  978-0-8218-4813-5 . Архивировано (PDF) из оригинала 12 ноября 2014 г.

Дальнейшее чтение

• Филипп Роде, О расширениях аксиомы детерминированности , диссертация, факультет математики, Боннский университет, Германия, 2001 г.
• Телгарский, Р. Дж. Топологические игры: к 50-летию игры Банаха-Мазура , Rocky Mountain J. Math. 17 (1987), стр. 227–276. (3,19 МБ)
• «Большие кардиналы и решительность» в Стэнфордской энциклопедии философии