Кардинальное задание фон Неймана

Кардинальное фон Неймана присвоение — это кардинальное присвоение , в котором используются порядковые числа . Для хорошо упорядоченного множества U мы определяем его кардинальное число как наименьшее порядковое число, U равнозначное , используя определение порядкового числа фон Неймана. Точнее:

$|U|=\mathrm {card} (U)=\inf\{\alpha \in \mathrm {ON} \ |\ \alpha =_{c}U\},$

где ON — класс ординалов. Этот порядковый номер также называют начальным порядковым номером кардинала.

То, что такой ординал существует и является единственным, гарантируется тем фактом, что U хорошо упорядочиваем и что класс ординалов хорошо упорядочен, используя аксиому замены . При полной аксиоме выбора каждое множество вполне упорядочиваемо , поэтому каждое множество имеет кардинал; мы упорядочиваем кардиналы, используя унаследованный порядок от порядковых чисел. Легко найти, что это совпадает с порядком через ≤ _c . Это правильный порядок кардинальных чисел.

Начальный ординал кардинала

Каждый ординал имеет связанный с ним кардинал , его мощность, полученную простым забвением порядка. Любое хорошо упорядоченное множество, имеющее этот порядковый номер в качестве типа порядка, имеет одинаковую мощность. Наименьший порядковый номер, мощность которого равна данному кардиналу, называется начальным порядковым номером этого кардинала. Каждый конечный порядковый номер ( натуральное число ) является начальным, но большинство бесконечных порядковых номеров не являются начальными. Аксиома выбора эквивалентна утверждению, что каждое множество может быть хорошо упорядочено, т.е. что каждый кардинал имеет начальный порядковый номер. В этом случае традиционно кардинальное число отождествляют с его начальным порядковым номером, и мы говорим, что начальный порядковый номер является кардинальным.

The $\alpha$-й бесконечный начальный ординал записан $\omega _{\alpha }$. Его мощность записана $\aleph _{\alpha }$ ( $\alpha$-е число алефа ). Например, мощность $\omega _{0}=\omega$ является $\aleph _{0}$, что также является мощностью $\omega ^{2}$, $\omega ^{\omega }$, и $\epsilon _{0}$(все являются счетными ординалами). Итак, мы идентифицируем $\omega _{\alpha }$ с $\aleph _{\alpha }$, за исключением того, что обозначение $\aleph _{\alpha }$ используется для записи кардиналов, а $\omega _{\alpha }$для написания ординалов. Это важно, поскольку арифметика с кардинальными числами отличается от арифметики с порядковыми числами , например $\aleph _{\alpha }^{2}$ =  $\aleph _{\alpha }$ тогда как $\omega _{\alpha }^{2}$ > $\omega _{\alpha }$. Также, $\omega _{1}$ - наименьший несчетный ординал (чтобы убедиться в его существовании, рассмотрим множество классов эквивалентности правильного порядка натуральных чисел; каждый такой правильный порядок определяет счетный ординал, а $\omega _{1}$ — тип ордера этого набора), $\omega _{2}$ наименьший порядковый номер, мощность которого больше $\aleph _{1}$и так далее, и $\omega _{\omega }$ это предел $\omega _{n}$ для натуральных чисел $n$ (любой предел кардиналов является кардиналом, поэтому этот предел действительно является первым кардиналом после всех $\omega _{n}$).

Бесконечные начальные ординалы являются предельными ординалами. Используя порядковую арифметику, $\alpha <\omega _{\beta }$ подразумевает $\alpha +\omega _{\beta }=\omega _{\beta }$, и 1 ≤ α < ω _β влечет α · ω _β = ω _{β , а 2 ≤ α < ω β влечет α · ω β = ω β} , а 2 ≤ α < ω _β влечет α · ω β = ω β ^{ох _б} знак равно ω _β . Используя иерархию Веблена , β ≠ 0 и α < ω _β подразумевают $\varphi _{\alpha }(\omega _{\beta })=\omega _{\beta }\,$и _{ω β} знак равно ω _β . Действительно, можно пойти намного дальше этого. Таким образом, как порядковый номер, бесконечный начальный порядковый номер является чрезвычайно сильным пределом.

См. также

• Число Алеф

Ссылки

• Ю. Н. Мошовакис. Заметки по теории множеств (Springer, 1994), с. 198