Теорема о хорошем порядке

В математике теорема о хорошем порядке , также известная как теорема Цермело , утверждает, что каждое множество может быть хорошо упорядочено . Множество X хорошо упорядочено в соответствии со строгим общим порядком , если каждое непустое подмножество X имеет наименьший элемент при упорядочении. Теорема о хорошем порядке вместе с леммой Цорна являются наиболее важными математическими утверждениями, которые эквивалентны аксиоме выбора (часто называемой AC, см. также Аксиому выбора § Эквиваленты ). ^[1]^[2] Эрнст Цермело представил аксиому выбора как «не вызывающий возражений логический принцип» для доказательства теоремы о хорошем порядке. ^[3] Из теоремы о хорошем порядке можно сделать вывод, что каждое множество подвержено трансфинитной индукции , которую математики считают мощным методом. ^[3] Одним из известных следствий теоремы является парадокс Банаха-Тарского .

История [ править ]

Георг Кантор считал теорему о хорошем порядке «фундаментальным принципом мышления». ^[4] Однако считается трудным или даже невозможным визуализировать правильное упорядочение $\mathbb {R}$ ; такая визуализация должна будет включать в себя аксиому выбора. ^[5]В 1904 году Дьюла Кениг заявил, что доказал, что такой порядок не может существовать. Несколько недель спустя Феликс Хаусдорф обнаружил ошибку в доказательстве. ^[6]Однако оказалось, что в логике первого порядка теорема о хорошем порядке эквивалентна аксиоме выбора в том смысле, что аксиомы Цермело – Френкеля с включенной аксиомой выбора достаточны для доказательства теоремы о хорошем порядке: и наоборот, аксиомы Цермело – Френкеля без аксиомы выбора, но с включенной теоремой о хорошем порядке, достаточны для доказательства аксиомы выбора. (То же самое относится и к лемме Цорна .) Однако в логике второго порядка теорема о хорошем порядке строго сильнее аксиомы выбора: из теоремы о хорошем порядке можно вывести аксиому выбора, но из аксиомы выбора выбора нельзя вывести теорему о хорошем порядке. ^[7]

Есть известная шутка по поводу этих трех утверждений и их относительной подданости интуиции:

Аксиома выбора, очевидно, верна, принцип хорошего порядка явно ложен, и кто может сказать о лемме Цорна ? ^[8]

Доказательство из аксиомы выбора [ править ]

Теорема о хорошем порядке следует из выбранной аксиомы следующим образом. ^[9]

Пусть множество, которое мы пытаемся хорошо упорядочить, будет $A$ , и разреши $f$ — функция выбора для семейства непустых подмножеств $A$ . Для каждого порядкового номера $\alpha$ , определить элемент $a_{\alpha }$ это в $A$ установив $a_{\alpha }\ =\ f(A\smallsetminus \{a_{\xi }\mid \xi <\alpha \})$ если это дополнение $A\smallsetminus \{a_{\xi }\mid \xi <\alpha \}$ непусто, или оставьте $a_{\alpha }$ не определено, если это так. То есть, $a_{\alpha }$ выбирается из множества элементов $A$ которым еще не присвоено место в порядке упорядочения (или не определено, если вся совокупность $A$ был успешно пронумерован). Тогда порядок $<$ на $A$ определяется $a_{\alpha }<a_{\beta }$ если и только если $\alpha <\beta$ (в обычном порядке ординалов) является правильным порядком $A$ по желанию, типа заказа $\sup\{\alpha \mid a_{\alpha }{\text{ is defined}}\}$ .

выбора аксиомы Доказательство

Аксиому выбора можно доказать на основе теоремы о хорошем порядке следующим образом.

Чтобы создать функцию выбора для набора непустых множеств,

E

, возьмем объединение множеств в

E

и назови это

X

. Существует четкая упорядоченность

X

; позволять

R

быть такой порядок. Функция, которая для каждого набора

S

из

E

связывает наименьший элемент

S

, как указано (ограничение на

S

из)

R

, — функция выбора для коллекции

E

.

Существенным моментом этого доказательства является то, что оно включает только один произвольный выбор, а именно: $R$ ; применяя теорему о хорошем порядке к каждому члену $S$ из $E$ по отдельности не сработало бы, поскольку теорема лишь утверждает существование хорошего порядка и выбора для каждого $S$ хороший порядок потребует такого же большого количества вариантов выбора, как и простой выбор элемента из каждого $S$ . В частности, если $E$ содержит несчетное количество множеств, поэтому согласно аксиомам теории множеств Цермело-Френкеля без аксиомы выбора не допускается принятие всех несчетных вариантов выбора.

Примечания [ править ]

^ Кучма, Марек (2009). Введение в теорию функциональных уравнений и неравенств . Берлин: Шпрингер. п. 14. ISBN 978-3-7643-8748-8 .
^ Хазевинкель, Мишель (2001). Энциклопедия математики: Приложение . Берлин: Шпрингер. п. 458. ИСБН 1-4020-0198-3 .
^ Перейти обратно: ^а ^б Тьерри, Виалар (1945). Справочник по математике . Нордерштедт: Шпрингер. п. 23. ISBN 978-2-95-519901-5 .
^ Георг Кантор (1883), «О бесконечных линейных точечных многообразиях», Mathematical Annals 21, стр. 545–591.
^ Шеппард, Барнаби (2014). Логика бесконечности . Издательство Кембриджского университета. п. 174. ИСБН 978-1-1070-5831-6 .
^ Плоткин, Дж. М. (2005), «Введение в «концепцию мощности в теории множеств» », Хаусдорф об упорядоченных множествах , История математики, том. 25, Американское математическое общество, стр. 23–30, ISBN. 9780821890516
^ Шапиро, Стюарт (1991). Основания без фундаментализма: аргументы в пользу логики второго порядка . Нью-Йорк: Издательство Оксфордского университета. ISBN 0-19-853391-8 .
^ Кранц, Стивен Г. (2002), «Аксиома выбора», в книге Кранц, Стивен Г. (ред.), Справочник по логике и методам доказательства для компьютерных наук , Birkhäuser Boston, стр. 121–126, doi : 10.1007/ 978-1-4612-0115-1_9 , ISBN 9781461201151
^ Джех, Томас (2002). Теория множеств (издание третьего тысячелетия) . Спрингер . п. 48. ИСБН 978-3-540-44085-7 .

Внешние ссылки [ править ]

Доказательство системы Mizar : http://mizar.org/version/current/html/wellord2.html

[1] Кучма, Марек (2009). Введение в теорию функциональных уравнений и неравенств . Берлин: Шпрингер. п. 14. ISBN 978-3-7643-8748-8 .

[2] Хазевинкель, Мишель (2001). Энциклопедия математики: Приложение . Берлин: Шпрингер. п. 458. ИСБН 1-4020-0198-3 .

[zer-3] Перейти обратно: ^а ^б Тьерри, Виалар (1945). Справочник по математике . Нордерштедт: Шпрингер. п. 23. ISBN 978-2-95-519901-5 .

[4] Георг Кантор (1883), «О бесконечных линейных точечных многообразиях», Mathematical Annals 21, стр. 545–591.

[5] Шеппард, Барнаби (2014). Логика бесконечности . Издательство Кембриджского университета. п. 174. ИСБН 978-1-1070-5831-6 .

[6] Плоткин, Дж. М. (2005), «Введение в «концепцию мощности в теории множеств» », Хаусдорф об упорядоченных множествах , История математики, том. 25, Американское математическое общество, стр. 23–30, ISBN. 9780821890516

[7] Шапиро, Стюарт (1991). Основания без фундаментализма: аргументы в пользу логики второго порядка . Нью-Йорк: Издательство Оксфордского университета. ISBN 0-19-853391-8 .

[8] Кранц, Стивен Г. (2002), «Аксиома выбора», в книге Кранц, Стивен Г. (ред.), Справочник по логике и методам доказательства для компьютерных наук , Birkhäuser Boston, стр. 121–126, doi : 10.1007/ 978-1-4612-0115-1_9 , ISBN 9781461201151

[9] Джех, Томас (2002). Теория множеств (издание третьего тысячелетия) . Спрингер . п. 48. ИСБН 978-3-540-44085-7 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

История [ править ]

Доказательство из аксиомы выбора [ править ]

выбора аксиомы Доказательство ​

Примечания [ править ]

Внешние ссылки [ править ]

выбора аксиомы Доказательство