Георг Кантор

Георг Кантор
Георг Кантор
	Кантор, гр. 1910 год
Рожденный	Георг Фердинанд Людвиг Филипп Кантор ; 3 марта 1845 г. ; Санкт-Петербург , Российская Империя
Умер	6 января 1918 г. (72 года) ; Галле , провинция Саксония, Германская империя
Национальность	Немецкий - Русский
Альма-матер	Швейцарский федеральный политехнический институт ; Берлинский университет ; Геттингенский университет ;
Известный	Теория множеств
Супруг	Валли Гуттманн ( м. 1874 г.)
Награды	Медаль Сильвестра (1904 г.)
	Научная карьера
Поля	Математика
Учреждения	Университет Галле
Тезис	О неопределенных уравнениях второй степени (1867 г.)
Докторантура	Серьезное горе ; Карл Вейерштрасс ;
Подпись

Георг Фердинанд Людвиг Филипп Кантор ( / ˈ k æ n t ɔːr / KAN -tor , Немецкий: [ˈɡeːɔʁk ˈfeʁdinant ˈluːtvɪç ˈfiːlɪp ˈkantoːɐ̯] ; 3 марта [ OS 19 февраля] 1845 г. - 6 января. ^[1]) был математиком, сыгравшим ключевую роль в создании теории множеств , ставшей фундаментальной теорией в математике. Кантор установил важность взаимно однозначного соответствия между членами двух множеств, определил бесконечные и хорошо упорядоченные множества и доказал, что действительных чисел больше, чем натуральных . Метод доказательства этой теоремы Кантора предполагает существование бесконечности бесконечностей . Он определил кардинальные и порядковые числа и их арифметику. Работы Кантора представляют большой философский интерес, и этот факт он хорошо осознавал. ^[2]

Кантора Первоначально теория трансфинитных чисел считалась противоречащей здравому смыслу и даже шокирующей. Это заставило его встретить сопротивление со стороны современников-математиков, таких как Леопольд Кронекер и Анри Пуанкаре. ^[3]и позже от Германа Вейля и Л. Э. Дж. Брауэра , а Людвиг Витгенштейн выдвигал философские возражения ; см. «Споры по поводу теории Кантора» . Кантор, набожный христианин-лютеранин . ^[4] считал, что эта теория была передана ему Богом. ^[5] Некоторые христианские богословы (особенно нео-схоласты ) видели в работе Кантора вызов уникальности абсолютной бесконечности в природе Бога. ^[6] - однажды приравняв теорию трансфинитных чисел к пантеизму. ^[7]– предложение, которое Кантор решительно отверг. Не все богословы были против теории Кантора; выдающийся философ-неосхоласт Константин Гутберлет поддерживал ее, а кардинал Иоганн Баптист Францелин принял ее как действительную теорию (после того, как Кантор сделал некоторые важные разъяснения). ^[8]

Возражения против работы Кантора иногда были резкими: публичная оппозиция и личные нападки Леопольда Кронекера включали описание Кантора как «научного шарлатана», «ренегата» и «развратителя молодежи». ^[9]Кронекер возражал против доказательств Кантора о том, что алгебраические числа счетны, а трансцендентные числа неисчислимы; эти результаты теперь включены в стандартную учебную программу по математике. Спустя десятилетия после смерти Кантора Витгенштейн сетовал на то, что математика «насквозь пронизана пагубными идиомами теории множеств», которые он отверг как «полную чепуху», «смехотворную» и «неправильную». ^[10] В повторяющихся приступах депрессии Кантора с 1884 года до конца его жизни обвиняли враждебное отношение многих его современников. ^[11] хотя некоторые объясняли эти эпизоды вероятными проявлениями биполярного расстройства . ^[12]

Резкая критика сопровождалась более поздними похвалами. В 1904 году Королевское общество наградило Кантора Медалью Сильвестра — высшей наградой, которую оно может удостоить за работу в области математики. ^[13] Давид Гильберт защищал его от критиков, заявляя: «Никто не сможет изгнать нас из рая, созданного Кантором». ^[14]^[15]

Биография [ править ]

Молодежь и учёба [ править ]

Георг Кантор родился в 1845 году в Санкт-Петербурге Российской империи и воспитывался в этом городе до одиннадцати лет. Старший из шести детей, он считался выдающимся скрипачом. Его дед Франц Бём (1788–1846) (брат скрипача Йозефа Бема ) был известным музыкантом и солистом Российского императорского оркестра. ^[16]Отец Кантора был членом Санкт-Петербургской фондовой биржи ; когда он заболел, семья переехала в Германию в 1856 году, сначала в Висбаден , затем во Франкфурт , в поисках более мягких зим, чем в Санкт-Петербурге. В 1860 году Кантор с отличием окончил Реальную школу в Дармштадте ; Были отмечены его исключительные способности в математике, в тригонометрии в частности . В августе 1862 года он окончил «Höhere Gewerbeschule Darmstadt», ныне Технический университет Дармштадта . ^[17]^[18]В 1862 году Кантор поступил в Швейцарский федеральный политехнический институт в Цюрихе. Получив значительное наследство после смерти отца в июне 1863 года, ^[19]Кантор перевелся в Берлинский университет , посещая лекции Леопольда Кронекера , Карла Вейерштрасса и Эрнста Куммера . Лето 1866 года он провел в Геттингенском университете , который тогда и позже был центром математических исследований. Кантор был хорошим студентом и получил докторскую степень в 1867 году. ^[19]^[20]

Преподаватель и исследователь [ править ]

Кантор защитил диссертацию по теории чисел в Берлинском университете в 1867 году. После недолгого преподавания в берлинской женской школе он поступил на работу в Университет Галле , где и провёл всю свою карьеру. Он был удостоен необходимой степени за свою диссертацию, в том числе по теории чисел, которую он представил в 1869 году после своего назначения в Университет Галле . ^[20]^[21]

В 1874 году Кантор женился на Валли Гутманн. У них было шестеро детей, последний (Рудольф) родился в 1886 году. Кантор смог содержать семью, несмотря на свою скромную академическую зарплату, благодаря наследству от отца. Во время своего медового месяца в горах Гарца Кантор провел много времени за математическими дискуссиями с Рихардом Дедекиндом , с которым он познакомился в Интерлакене в Швейцарии. двумя годами ранее во время отпуска.

Кантор получил звание экстраординарного профессора в 1872 году и стал профессором в 1879 году. ^[20]^[19]Получение последнего звания в возрасте 34 лет было выдающимся достижением, но Кантор желал получить кафедру в более престижном университете, в частности в Берлине, ведущем в то время университете Германии. Однако его работа встретила слишком сильное сопротивление, чтобы это стало возможным. ^[22] Кронекер, который возглавлял математику в Берлине до своей смерти в 1891 году, чувствовал себя все более неуютно от перспективы иметь Кантора в качестве коллеги. ^[23] воспринимая его как «развратителя молодежи» за то, что он преподавал свои идеи молодому поколению математиков. ^[24] Хуже того, Кронекер, авторитетная фигура в математическом сообществе и бывший профессор Кантора, в корне не согласился с направленностью работы Кантора с тех пор, как он намеренно отложил публикацию первой крупной публикации Кантора в 1874 году. ^[20]Кронекер, которого теперь считают одним из основателей конструктивной точки зрения в математике , не любил большую часть теории множеств Кантора, потому что она утверждала существование множеств, удовлетворяющих определенным свойствам, не приводя конкретных примеров множеств, члены которых действительно удовлетворяли этим свойствам. Всякий раз, когда Кантор подавал заявку на должность в Берлине, ему отказывали, и в этом процессе обычно участвовал Кронекер. ^[20] поэтому Кантор пришел к выводу, что позиция Кронекера сделает для него невозможным когда-либо покинуть Галле.

В 1881 году умер коллега Кантора по Галле Эдуард Гейне . Галле принял предложение Кантора предложить вакантное кресло Гейне Дедекинду, Генриху М. Веберу и Францу Мертенсу в таком порядке, но каждый из них отказался от кресла после того, как ему его предложили. В конце концов был назначен Фридрих Вангерин, но он никогда не был близок к Кантору.

В 1882 году математическая переписка между Кантором и Дедекиндом прекратилась, по-видимому, в результате того, что Дедекинд отказался от кафедры в Галле. ^[25]Кантор также начал еще одну важную переписку с Гёстой Миттаг-Леффлером в Швеции и вскоре начал публиковаться в журнале Миттаг-Леффлера Acta Mathematica . Но в 1885 году Миттаг-Леффлер был обеспокоен философским характером и новой терминологией статьи, которую Кантор представил в Acta . ^[26]Он попросил Кантора забрать статью из Acta, пока она находится в корректуре, написав, что это «... примерно на сто лет раньше». Кантор подчинился, но затем прекратил свои отношения и переписку с Миттаг-Леффлером, написав третьему лицу: «Если бы Миттаг-Леффлер добился своего, мне пришлось бы ждать до 1984 года, что казалось мне слишком большим требованием! . ... Но, конечно, я никогда больше не хочу ничего знать об Acta Mathematica ». ^[27]

Кантор перенес свой первый известный приступ депрессии в мае 1884 года. ^[19]^[28]Критика его работы тяготила его: в каждом из пятидесяти двух писем, которые он написал Миттаг-Леффлеру в 1884 году, упоминался Кронекер. Отрывок из одного из этих писем раскрывает ущерб, нанесенный самоуверенности Кантора:

... Не знаю, когда вернусь к продолжению научной работы. В данный момент я решительно ничего не могу с этим поделать и ограничиваюсь самой необходимой обязанностью моих лекций; насколько счастливее я был бы заниматься научной деятельностью, если бы у меня была необходимая умственная свежесть. ^[29]

Этот кризис заставил его обратиться к лекциям по философии, а не по математике. Он также начал интенсивное изучение елизаветинской литературы , думая, что могут быть доказательства того, что Фрэнсис Бэкон написал пьесы, приписываемые Уильяму Шекспиру (см. Вопрос об авторстве Шекспира ); в конечном итоге это привело к появлению двух брошюр, опубликованных в 1896 и 1897 годах. ^[30]

Вскоре после этого Кантор выздоровел и впоследствии внес дальнейший важный вклад, в том числе свой диагональный аргумент и теорему . Однако он так и не достиг высокого уровня своих замечательных работ 1874–1884 годов, даже после смерти Кронекера 29 декабря 1891 года. ^[20]В конце концов он искал и добился примирения с Кронекером. Тем не менее философские разногласия и трудности, разделявшие их, сохранялись.

В 1889 году Кантор сыграл важную роль в основании Немецкого математического общества . ^[20]и он председательствовал на ее первом собрании в Галле в 1891 году, где впервые представил свой диагональный аргумент; его репутация была достаточно сильной, несмотря на сопротивление Кронекера его работе, чтобы гарантировать, что он был избран первым президентом этого общества. Не обращая внимания на враждебность, которую Кронекер проявил по отношению к нему, Кантор пригласил его выступить на собрании, но Кронекер не смог этого сделать, потому что его жена умирала от травм, полученных в то время во время катания на лыжах. Георг Кантор также сыграл важную роль в создании первого Международного конгресса математиков , который состоялся в Цюрихе, Швейцария, в 1897 году. ^[20]

и смерть Спустя годы

После госпитализации Кантора в 1884 году нет никаких записей о том, что он снова находился в каком-либо санатории до 1899 года. ^[28] Вскоре после второй госпитализации 16 декабря внезапно скончался младший сын Кантора Рудольф (Кантор читал лекцию о своих взглядах на теорию Бэкона и Уильяма Шекспира ), и эта трагедия лишила Кантора большей части его страсти к математике. ^[31]Кантор снова был госпитализирован в 1903 году. Год спустя он был возмущен и взволнован докладом, представленным Юлиусом Кенигом на Третьем Международном конгрессе математиков . В статье была предпринята попытка доказать основных положений теории трансфинитных множеств ложность . Поскольку статья была зачитана перед его дочерьми и коллегами, Кантор счел себя публично униженным. ^[32] Хотя менее чем через день Эрнст Цермело продемонстрировал, что доказательство Кенига не удалось, Кантор остался потрясенным и на мгновение задал вопросы Богу. ^[13]Кантор всю оставшуюся жизнь страдал хронической депрессией, из-за чего его несколько раз освобождали от преподавания и неоднократно помещали в различные санатории. Событиям 1904 года предшествовала серия госпитализаций с интервалом в два-три года. ^[33] Однако он не отказался от математики полностью, читая лекции о парадоксах теории множеств ( парадокс Бурали-Форти , парадокс Кантора и парадокс Рассела ) на собрании Deutsche Mathematiker-Vereinigung в 1903 году и принимая участие в Международном конгрессе математиков в Гейдельберге. в 1904 году.

В 1911 году Кантор был одним из выдающихся иностранных ученых, приглашенных на празднование 500-летия основания Университета Сент-Эндрюс в Шотландии. Кантор присутствовал, надеясь встретиться с Бертраном Расселом , чьи недавно опубликованные «Начала математики» неоднократно цитировали работы Кантора, но встреча не состоялась. В следующем году Сент-Эндрюс присвоил Кантору звание почетного доктора, но болезнь помешала ему получить эту степень лично.

Кантор вышел на пенсию в 1913 году, жил в бедности и страдал от недоедания во время Первой мировой войны . ^[34]Публичное празднование его 70-летия было отменено из-за войны. В июне 1917 года он в последний раз лег в санаторий и постоянно писал жене с просьбой отпустить ее домой. 6 января 1918 года в санатории, где он провел последний год своей жизни, у Георга Кантора случился смертельный сердечный приступ. ^[19]

Математическая работа [ править ]

Работа Кантора между 1874 и 1884 годами положила начало теории множеств . ^[35]До этой работы понятие множества было довольно элементарным и неявно использовалось с самого начала математики, начиная с идей Аристотеля . Никто не осознавал, что теория множеств имеет какое-то нетривиальное содержание. До Кантора существовали только конечные множества (которые легко понять) и «бесконечное» (которое считалось темой для философских, а не математических дискуссий). Доказав, что существует (бесконечно) множество возможных размеров бесконечных множеств, Кантор установил, что теория множеств нетривиальна и ее необходимо изучать. Теория множеств стала играть роль фундаментальной теории в современной математике в том смысле, что она интерпретирует утверждения о математических объектах (например, числах и функциях) из всех традиционных областей математики (таких как алгебра , анализ и топология) . ) в одной теории и предоставляет стандартный набор аксиом для их доказательства или опровержения. Основные понятия теории множеств сейчас используются во всей математике. ^[36]

В одной из первых своих работ ^[37]Кантор доказал, что множество действительных чисел «более многочисленно», чем множество натуральных чисел ; это впервые показало, что существуют бесконечные множества разных размеров . Он также был первым, кто оценил важность взаимно-однозначных соответствий (далее обозначаемых «соответствием 1-к-1») в теории множеств. Он использовал это понятие для определения конечных и бесконечных множеств , разделив последние на счетные (или счетно бесконечные) множества и несчетные множества (несчетно бесконечные множества). ^[38]

Кантор разработал важные концепции топологии и их связь с мощностью . Например, он показал, что множество Кантора , открытое Генри Джоном Стивеном Смитом в 1875 году, ^[39] , нигде не плотно но имеет ту же мощность, что и множество всех действительных чисел, тогда как рациональные числа всюду плотны, но счетны. Он также показал, что все счетные плотные линейные порядки без конечных точек порядково-изоморфны рациональным числам .

Кантор ввел фундаментальные конструкции в теории множеств, такие как множество множества A множество всех возможных подмножеств A. , которое представляет собой степенное Позже он доказал, что размер набора степеней A строго больше размера A , даже если A — бесконечное множество; этот результат вскоре стал известен как теорема Кантора . Кантор разработал целую теорию и арифметику бесконечных множеств , называемых кардиналами и ординалами , которая расширила арифметику натуральных чисел. Его обозначением кардинальных чисел была еврейская буква. $\aleph$ ( ℵ , алеф ) с индексом натурального числа; для порядковых номеров он использовал греческую букву $\omega$ ( ω , омега ). Это обозначение используется до сих пор.

Гипотеза континуума , выдвинутая Кантором, была представлена Дэвидом Гильбертом как первая из его двадцати трёх открытых задач в его выступлении на Международном конгрессе математиков 1900 года в Париже. Работа Кантора также привлекла положительное внимание, помимо знаменитого восхваления Гильберта. ^[15]Американский философ Чарльз Сандерс Пирс высоко оценил теорию множеств Кантора, а после публичных лекций, прочитанных Кантором на первом Международном конгрессе математиков, состоявшемся в Цюрихе в 1897 году, Адольф Гурвиц и Жак Адамар также выразили свое восхищение. На этом конгрессе Кантор возобновил дружбу и переписку с Дедекиндом. С 1905 года Кантор переписывался со своим британским поклонником и переводчиком Филипом Журденом по вопросам истории теории множеств и религиозных идей Кантора. Позже это было опубликовано, как и несколько его разъяснительных работ.

ряды и ординалы Теория чисел , тригонометрические

Первые десять статей Кантора были посвящены теории чисел , теме его диссертации. По предложению Эдуарда Гейне , профессора Галле, Кантор обратился к анализу . Гейне предложил Кантору решить открытую проблему , ускользнувшую от Питера Густава Лежена Дирихле , Рудольфа Липшица , Бернхарда Римана и самого Гейне: единственность представления функции тригонометрическими рядами . Кантор решил эту проблему в 1869 году. Именно во время работы над этой проблемой он обнаружил трансфинитные ординалы, которые встречаются как индексы n в n-м производном множестве S _n множества S нулей тригонометрического ряда. Учитывая тригонометрический ряд f(x) с S в качестве набора нулей, Кантор обнаружил процедуру, которая создавала еще один тригонометрический ряд, в котором S 1 был нулей _, где S ₁ — это набор предельных точек S набором . Если S _k+1 — множество предельных точек , _SK то он мог бы построить тригонометрический ряд, нули которого равны SK ₊₁ . Поскольку множества Sk _были замкнутыми, они содержали свои предельные точки и пересечение бесконечной убывающей последовательности множеств S , S ₁ , S ₂ , S ₃ ,... образовали предельное множество, которое мы теперь назвали бы S _ω , а затем он заметил, что S _ω также должно иметь набор предельных точек S _ω+1 , и скоро. У него были примеры, которые можно было продолжать бесконечно, и вот возникла естественная бесконечная последовательность бесконечных чисел ω , ω + 1, ω + 2,... ^[40]

Между 1870 и 1872 годами Кантор опубликовал еще несколько статей о тригонометрических рядах, а также статью, определяющую иррациональные числа как сходящиеся последовательности рациональных чисел . Дедекинд, с которым Кантор подружился в 1872 году, позже в том же году процитировал эту статью, в статье, где он впервые изложил свое знаменитое определение действительных чисел с помощью дедекиндовых сокращений . Расширяя понятие числа посредством своей революционной концепции бесконечной мощности, Кантор парадоксальным образом выступал против теорий бесконечно малых своих современников Отто Штольца и Поля дю Буа-Реймона , описывая их одновременно как «мерзость» и холерную палочку « математика". ^[41] Кантор также опубликовал ошибочное «доказательство» несогласованности бесконечно малых величин . ^[42]

Теория множеств [ править ]

Начало теории множеств как раздела математики часто отмечается публикацией статьи Кантора 1874 года : ^[35] «О свойстве совокупности всех действительных алгебраических чисел». ^[44]Эта статья была первой, в которой было дано строгое доказательство того, что существует более одного вида бесконечности. Раньше все бесконечные коллекции неявно считались равночисленными ( то есть «одинакового размера» или имеющих одинаковое количество элементов). ^[45]Кантор доказал, что набор действительных чисел и набор натуральных чисел неравнозначны. Другими словами, действительные числа неисчислимы . Его доказательство отличается от диагонального аргумента , который он дал в 1891 году. ^[46]Статья Кантора содержит также новый метод построения трансцендентных чисел . Трансцендентные числа были впервые построены Жозефом Лиувиллем в 1844 году. ^[47]

Кантор установил эти результаты, используя две конструкции. Его первая конструкция показывает, как записывать действительные алгебраические числа. ^[48]как последовательность a ₁ , a ₂ , a ₃ , .... Другими словами, действительные алгебраические числа счетны. Свою вторую конструкцию Кантор начинает с любой последовательности действительных чисел. Используя эту последовательность, он строит вложенные интервалы которых , пересечение содержит действительное число, отсутствующее в последовательности. Поскольку любую последовательность действительных чисел можно использовать для построения действительного числа, не входящего в эту последовательность, действительные числа не могут быть записаны как последовательность, то есть действительные числа не являются счетными. Применяя свою конструкцию к последовательности действительных алгебраических чисел, Кантор получает трансцендентное число. Кантор указывает, что его конструкции доказывают больше, а именно, они дают новое доказательство теоремы Лиувилля: каждый интервал содержит бесконечно много трансцендентных чисел. ^[49] Следующая статья Кантора содержит конструкцию, доказывающую, что множество трансцендентных чисел обладает той же «силой» (см. ниже), что и множество действительных чисел. ^[50]

серию из шести статей, Между 1879 и 1884 годами Кантор опубликовал в журнале Mathematische Annalen которые вместе составили введение в его теорию множеств. В то же время росло сопротивление идеям Кантора во главе с Леопольдом Кронекером, который признавал математические концепции только в том случае, если их можно было построить за конечное число шагов из натуральных чисел, которые он считал интуитивно заданными. Для Кронекера иерархия бесконечностей Кантора была неприемлема, поскольку принятие концепции актуальной бесконечности открыло бы дверь парадоксам, которые поставили бы под сомнение обоснованность математики в целом. ^[51] Кантор также представил набор Кантора В этот период .

Пятая статья из этой серии, « Grundlagen einer allgemeinen Mannigfaltigkeitslehre» (« Основы общей теории агрегатов» ), опубликованная в 1883 году, ^[52]была самой важной из шести и была также опубликована отдельной монографией . Он содержал ответ Кантора своим критикам и показывал, что трансфинитные числа являются систематическим расширением натуральных чисел. Он начинается с определения хорошо упорядоченных множеств. порядковые числа Затем вводятся как типы порядка хорошо упорядоченных множеств. Затем Кантор определяет сложение и умножение кардинальных и порядковых чисел. В 1885 году Кантор расширил свою теорию типов порядков так, что порядковые числа стали просто частным случаем типов порядков.

В 1891 году он опубликовал статью, содержащую свой элегантный «диагональный аргумент» в пользу существования несчетного множества. Он применил ту же идею для доказательства теоремы Кантора : мощность степенного множества множества A строго больше A. мощности Это установило богатство иерархии бесконечных множеств, а также кардинальной и порядковой арифметики , определенной Кантором. Его аргумент является фундаментальным в решении проблемы остановки и доказательстве первой теоремы Гёделя о неполноте . Кантор написал гипотезу Гольдбаха в 1894 году.

В 1895 и 1897 годах Кантор опубликовал статью, состоящую из двух частей, в Mathematische Annalen под Феликса Кляйна редакцией ; это были его последние значительные работы по теории множеств. ^[53]Первая статья начинается с определения множества, подмножества и т. д. способами, которые сейчас в значительной степени приемлемы. Рассмотрены кардинальная и порядковая арифметика. Кантор хотел, чтобы вторая статья включала доказательство гипотезы континуума, но ему пришлось ограничиться изложением своей теории хорошо упорядоченных множеств и порядковых чисел. Кантор пытается доказать, что если A и B — множества, где A эквивалентно подмножеству B , а B эквивалентно подмножеству A , то A и B эквивалентны. Эрнст Шредер сформулировал эту теорему чуть раньше, но его доказательство, как и доказательство Кантора, было ошибочным. Феликс Бернштейн представил правильное доказательство в своей докторской диссертации 1898 года; отсюда и название теорема Кантора-Бернштейна-Шредера .

Переписка один на один [ править ]

Статья Кантора в Крелле 1874 года была первой, в которой использовалось понятие соответствия 1-к-1 , хотя он не использовал эту фразу. Затем он начал искать соответствие 1:1 между точками единичного квадрата и точками единичного отрезка . В письме 1877 года Ричарду Дедекинду Кантор доказал гораздо более сильный результат: для любого положительного целого числа n существует соответствие 1 к 1 между точками на единичном отрезке прямой и всеми точками в n -мерном пространстве . Об этом открытии Кантор писал Дедекинду: « Je le vois, mais je ne le crois pas! » («Я вижу это, но не верю!») ^[54] Результат, который он нашел столь поразительным, имеет значение для геометрии и понятия измерения .

В 1878 году Кантор представил в Crelle's Journal еще одну статью, в которой точно определил понятие соответствия 1-к-1 и ввел понятие « мощности » (термин, который он взял у Якоба Штайнера ) или «эквивалентности» множеств: два набора эквивалентны (имеют одинаковую мощность), если между ними существует соответствие 1:1. Кантор определил счетные множества (или счетные множества) как множества, которые можно поставить в соответствие 1-к-1 с натуральными числами , и доказал, что рациональные числа счетны. Он также доказал, что n -мерное евклидово пространство R ^нимеет ту же мощность, что и числа R , как и счетное бесконечное произведение копий R. действительные Хотя он свободно использовал счетность как концепцию, он не писал слова «счетность» до 1883 года. Кантор также обсудил свои мысли о размерности , подчеркнув, что его отображение между единичным интервалом и единичным квадратом не было непрерывным .

Эта статья вызвала недовольство Кронекера, и Кантор хотел отозвать ее; однако Дедекинд убедил его не делать этого, и Карл Вейерштрасс поддержал публикацию. ^[55] Тем не менее Кантор больше никогда ничего не подавал Креллю.

Гипотеза континуума

Кантор был первым, кто сформулировал то, что позже стало известно как гипотеза континуума или CH: не существует множества, мощность которого была бы больше, чем у натуральных чисел, и меньше, чем у действительных чисел (или, что то же самое, мощность вещественных чисел точно равна алеф-один, а не просто алеф -один). Кантор верил в истинность гипотезы континуума и в течение многих лет доказать тщетно пытался ее . Его неспособность доказать гипотезу континуума вызвала у него значительную тревогу. ^[11]

Трудности, с которыми Кантор столкнулся при доказательстве гипотезы континуума, были подчеркнуты более поздними достижениями в области математики: результат Курта Гёделя 1940 года и результат Пола Коэна 1963 года вместе подразумевают, что гипотезу континуума нельзя ни доказать, ни опровергнуть с использованием стандарта Цермело– Теория множеств Френкеля плюс аксиома выбора (комбинация, называемая « ZFC »). ^[56]

бесконечности, хорошем порядке парадоксы и Теорема об абсолютной

В 1883 году Кантор разделил бесконечное на трансфинитное и абсолютное . ^[57]

Трансфинитное увеличивается по величине, а абсолютное не увеличивается. Например, ординал α является трансфинитным, потому что его можно увеличить до α + 1. С другой стороны, ординалы образуют абсолютно бесконечную последовательность, которую нельзя увеличить по величине, поскольку к ней нет более крупных ординалов. ^[58] В 1883 году Кантор также ввел принцип упорядоченности «любое множество может быть упорядочено» и заявил, что это «закон мышления». ^[59]

Кантор расширил свою работу об абсолютной бесконечности, используя ее в доказательстве. Примерно в 1895 году он начал рассматривать свой принцип хорошего порядка как теорему и попытался ее доказать. В 1899 году он отправил Дедекинду доказательство эквивалентной теоремы об алефе: мощность каждого бесконечного множества есть алеф . ^[60]Во-первых, он определил два типа кратностей: согласованные кратности (множества) и несовместные кратности (абсолютно бесконечные кратности). Затем он предположил, что ординалы образуют множество, доказал, что это приводит к противоречию, и пришел к выводу, что ординалы образуют противоречивую кратность. Он использовал эту противоречивую множественность для доказательства теоремы алеф. ^[61] В 1932 году Цермело раскритиковал конструкцию доказательства Кантора. ^[62]

Кантор избежал парадоксов , признав, что существует два типа множественностей. В его теории множеств, когда предполагается, что ординалы образуют множество, возникающее противоречие подразумевает только то, что ординалы образуют несовместимую кратность. Напротив, Бертран Рассел рассматривал все коллекции как наборы, что приводит к парадоксам. В теории множеств Рассела ординалы образуют множество, поэтому возникающее противоречие означает, что теория противоречива . С 1901 по 1903 год Рассел обнаружил три парадокса, подразумевающие противоречивость его теории множеств: парадокс Бурали-Форти (который только что упоминался), парадокс Кантора и парадокс Рассела . ^[63] Рассел назвал парадоксы в честь Чезаре Бурали-Форти и Кантора, хотя ни один из них не верил, что обнаружил парадоксы. ^[64]

В 1908 году Цермело опубликовал свою систему аксиом теории множеств . У него было две мотивации для разработки системы аксиом: устранение парадоксов и обеспечение доказательства теоремы о хорошем порядке . ^[65] Цермело доказал эту теорему в 1904 году, используя аксиому выбора , но его доказательство подверглось критике по ряду причин. ^[66]Его ответ на критику включал его систему аксиом и новое доказательство теоремы о хорошем порядке. Его аксиомы поддерживают это новое доказательство и устраняют парадоксы, ограничивая образование множеств. ^[67]

В 1923 году Джон фон Нейман разработал систему аксиом, которая устраняет парадоксы, используя подход, аналогичный подходу Кантора, а именно, идентифицируя коллекции, которые не являются множествами, и обрабатывая их по-другому. Фон Нейман утверждал, что класс слишком велик, чтобы быть множеством, если его можно привести во взаимно однозначное соответствие с классом всех множеств. Он определил множество как класс, который является членом некоторого класса, и сформулировал аксиому: класс не является множеством тогда и только тогда, когда между ним и классом всех множеств существует взаимно однозначное соответствие. Эта аксиома подразумевает, что эти большие классы не являются множествами, что устраняет парадоксы, поскольку они не могут быть членами какого-либо класса. ^[68]Фон Нейман также использовал свою аксиому для доказательства теоремы о хорошем порядке: как и Кантор, он предположил, что ординалы образуют множество. Полученное противоречие означает, что класс всех ординалов не является множеством. Тогда его аксиома обеспечивает взаимно однозначное соответствие между этим классом и классом всех множеств. Это соответствие хорошо упорядочивает класс всех множеств, из чего следует теорема о хорошем порядке. ^[69] В 1930 году Цермело определил модели теории множеств, удовлетворяющие аксиоме фон Неймана . ^[70]

Кантора математика Философия, религия, литература и

Концепция существования актуальной бесконечности была важной общей проблемой в сфере математики, философии и религии. Сохранение ортодоксальности отношений между Богом и математикой, хотя и не в той форме, которую придерживались его критики, долгое время было заботой Кантора. ^[71] Он прямо обратился к этому пересечению этих дисциплин во введении к своей книге « Grundlagen einer allgemeinen Mannigfaltigkeitslehre» , где подчеркнул связь между своим взглядом на бесконечное и философским. ^[72] Для Кантора его математические взгляды были неразрывно связаны с их философскими и теологическими последствиями – он отождествлял абсолютную бесконечность с Богом, ^[73] и он считал, что его работа о трансфинитных числах была непосредственно передана ему Богом, который избрал Кантора, чтобы открыть их миру. ^[5] Он был набожным лютеранином, чьи явные христианские убеждения сформировали его философию науки. ^[74] Джозеф Добен проследил влияние христианских убеждений Кантора на развитие теории трансфинитных множеств. ^[75]^[76]

Споры среди математиков возникли из противоположных взглядов философии математики на природу актуальной бесконечности. Некоторые придерживались мнения, что бесконечность — это абстракция, математически необоснованная, и отрицали ее существование. ^[77]Математики трех основных школ мысли ( конструктивизм и два его ответвления, интуиционизм и финитизм ) выступили против теорий Кантора в этом вопросе. Для конструктивистов, таких как Кронекер, это отрицание актуальной бесконечности проистекает из фундаментального несогласия с идеей о том, что неконструктивные доказательства, такие как диагональный аргумент Кантора, являются достаточным доказательством того, что что-то существует, вместо этого утверждая, что конструктивные доказательства требуются . Интуиционизм также отвергает идею о том, что актуальная бесконечность является выражением какой-либо реальности, но приходит к решению другим путем, чем конструктивизм. Во-первых, аргумент Кантора опирается на логику, чтобы доказать существование трансфинитных чисел как реальной математической сущности, тогда как интуиционисты считают, что математические сущности не могут быть сведены к логическим суждениям, а вместо этого возникают в интуиции разума. ^[78] Во-вторых, понятие бесконечности как выражения реальности само по себе недопустимо в интуиционизме, поскольку человеческий разум не может интуитивно построить бесконечное множество. ^[79]Такие математики, как Л. Э. Дж. Брауэр и особенно Анри Пуанкаре, заняли интуиционистскую позицию против работ Кантора. Наконец, атаки Витгенштейна были финитистскими: он считал, что диагональный аргумент Кантора объединяет интенционал набора кардинальных или действительных чисел с его расширением , таким образом объединяя концепцию правил создания набора с фактическим набором. ^[10]

Некоторые христианские богословы рассматривали работу Кантора как вызов уникальности абсолютной бесконечности в природе Бога. ^[6] В частности, мыслители -неотомисты видели в существовании реальной бесконечности, состоящей из чего-то иного, чем Бог, угрозу «исключительным притязаниям Бога на высшую бесконечность». ^[80] Кантор твердо верил, что эта точка зрения является неправильным толкованием бесконечности, и был убежден, что теория множеств может помочь исправить эту ошибку: ^[81] «...трансфинитные виды в такой же степени находятся в распоряжении намерений Творца и Его абсолютной безграничной воли, как и конечные числа.». ^[82] Выдающийся немецкий философ-неосхоласт Константин Гутберлет был сторонником такой теории, считая, что она не противоречит природе Бога. ^[8]

Кантор также считал, что его теория трансфинитных чисел противоречит как материализму , так и детерминизму , и был шокирован, когда понял, что он был единственным преподавателем в Галле, который не придерживался детерминистских философских убеждений. ^[83]

Для Кантора было важно, чтобы его философия давала «органическое объяснение» природы, и в своей книге «Grundlagen» 1883 года он сказал, что такое объяснение может быть получено только путем использования ресурсов философии Спинозы и Лейбница. ^[84]Делая эти заявления, Кантор, возможно, находился под влиянием Ф. А. Тренделенбурга Спинозы , курсы лекций которого он посещал в Берлине, а Кантор, в свою очередь, написал латинский комментарий к первой книге «Этики» . Тренделенбург также был экспертом Кантора Habilitationsschrift . ^[85]^[86]

В 1888 году Кантор опубликовал свою переписку с несколькими философами о философских последствиях своей теории множеств. В обширной попытке убедить других христианских мыслителей и авторитетов принять его взгляды, Кантор переписывался с христианскими философами, такими как Тильман Пеш и Джозеф Хонтхайм . ^[87] а также теологи, такие как кардинал Иоганн Баптист Франзелин , который однажды ответил, приравняв теорию трансфинитных чисел к пантеизму . ^[7] Хотя позже этот кардинал признал теорию обоснованной, благодаря некоторым разъяснениям Кантора. ^[8] Кантор даже отправил одно письмо непосредственно самому Папе Льву XIII и адресовал ему несколько брошюр. ^[81]

Философия Кантора о природе чисел привела его к утверждению веры в свободу математики постулировать и доказывать концепции вне сферы физических явлений, как выражения внутренней реальности. Единственные ограничения этой метафизической системы заключаются в том, что все математические понятия должны быть лишены внутренних противоречий и следовать из существующих определений, аксиом и теорем. Это убеждение резюмировано в его утверждении, что «суть математики — это ее свобода». ^[88] Эти идеи аналогичны идеям Эдмунда Гуссерля , с которым Кантор встретился в Галле. ^[89]

Между тем, сам Кантор был яростным противником бесконечно малых величин , называя их одновременно «мерзостью» и « холерной палочкой математики». ^[41]

Статья Кантора 1883 года показывает, что он хорошо осознавал оппозицию, с которой сталкивались его идеи: «... Я осознаю, что в этом начинании я ставлю себя в определенную оппозицию широко распространенным взглядам на математическую бесконечность и мнениям, часто защищаемым о природе чисел». ^[90]

Поэтому он уделяет много места оправданию своей ранней работы, утверждая, что математические понятия могут быть свободно введены до тех пор, пока они свободны от противоречий и определены в терминах ранее принятых понятий. Он также цитирует Аристотеля, Рене Декарта , Джорджа Беркли , Готфрида Лейбница и Бернара Больцано о бесконечности. Вместо этого он всегда решительно отвергал философию Иммануила Канта как в области философии математики, так и в области метафизики. Он разделял девиз Б. Рассела «Кант или Кантор» и определял Канта «того софистического филистера , который так мало знал математику». ^[91]

Родословная Кантора [ править ]

Бабушка и дедушка Кантора по отцовской линии были из Копенгагена и бежали в Россию из-за срыва наполеоновских войн . Прямых сведений о них очень мало. ^[92]Отец Кантора, Георг Вальдемар Кантор, получил образование в лютеранской миссии в Санкт-Петербурге, и его переписка с сыном показывает, что они оба были набожными лютеранами. О происхождении и образовании Георга Вальдемара достоверно известно очень мало. ^[93]Мать Кантора, Мария Анна Бём, была австро-венгеркой , родившейся в Санкт-Петербурге и крещенной католичкой ; она обратилась в протестантизм после замужества . Однако есть письмо брата Кантора Луи их матери, в котором говорится:

Хотя мы десять раз произошли от евреев и как бы я ни был в принципе за равноправие евреев, в общественной жизни я предпочитаю христиан... ^[93]

(«Даже если мы десять раз произошли от евреев, и хотя я в принципе полностью поддерживаю равные права для евреев, в общественной жизни я предпочитаю христиан...»), что можно было бы прочитать как подразумевающее, что она была еврейского происхождения. ^[94]

По словам биографов Эрика Темпла Белла , Кантор имел еврейское происхождение, хотя оба родителя были крещены. ^[95]В статье 1971 года, озаглавленной «К биографии Георга Кантора», британский историк математики Айвор Граттан-Гиннесс упоминает (« Анналы науки 27», стр. 345–391, 1971), что ему не удалось найти доказательства еврейского происхождения. (Он также утверждает, что жена Кантора, Валли Гуттманн, была еврейкой).

В письме, написанном Полу Таннери в 1896 году (Paul Tannery, Memoires Scientifique 13 Correspondence, Gauthier-Villars, Paris, 1934, стр. 306), Кантор утверждает, что его бабушка и дедушка по отцовской линии были членами сефардской еврейской общины Копенгагена. В частности, Кантор заявляет, описывая своего отца: «Er ist aber in Kopenhagen geboren, von israelitischen Eltern, die der dortigen portugisischen Judengemeinde...» («Он родился в Копенгагене в семье евреев (буквально: «израильтян») из местная португальско-еврейская община».) ^[96] Кроме того, двоюродный дедушка Кантора по материнской линии, ^[97] Венгерский скрипач Йозеф Бём был описан как еврей, ^[98] это может означать, что мать Кантора, по крайней мере частично, происходила из венгерской еврейской общины. ^[99]

В письме Бертрану Расселу Кантор описал свое происхождение и самовосприятие следующим образом:

Ни мой отец, ни моя мать не были немецкой крови, первая из них была датчанкой, родившейся в Копенгагене, моя мать австро-венгерского происхождения. Вы должны знать, сэр, что я не обычный Жермен , поскольку я родился 3 марта 1845 года в Сент-Питерборо, столице России, но я поехал туда со своими отцом, матерью, братьями и сестрой, которым в 1856 году было одиннадцать лет. , в Германию. ^[100]

В 1930-е годы были документально подтверждены заявления, ставившие под сомнение еврейское происхождение:

Чаще [то есть, чем происхождение матери] обсуждался вопрос о том, был ли Георг Кантор еврейского происхождения. Об этом сообщается в сообщении Датского генеалогического института в Копенгагене от 1937 года относительно его отца: «Настоящим засвидетельствовано, что Георг Вольдемар Кантор, 1809 или 1814 года рождения, не присутствует в реестрах еврейской общины, и что он совершенно без сомнения не был евреем...» ^[93]

Биографии [ править ]

До 1970-х годов основными академическими публикациями о Канторе были две короткие монографии Артура Морица Шёнфлиса (1927) – в основном переписка с Миттаг-Леффлером – и Френкеля (1930). Оба были во вторых и третьих руках; ни один из них не имел особого отношения к своей личной жизни. Этот пробел был в значительной степени заполнен книгой Эрика Темпла Белла « Математики» (1937), которую один из современных биографов Кантора описывает как «возможно, самую широко читаемую современную книгу по истории математики »; и как «один из худших». ^[101]Белл представляет отношения Кантора с отцом как Эдипа , разногласия Кантора с Кронекером как ссору между двумя евреями, а безумие Кантора как романтическое отчаяние из-за его неспособности добиться признания своей математики. Граттан-Гиннесс (1971) обнаружил, что ни одно из этих утверждений не соответствует действительности, но их можно найти во многих книгах того периода из-за отсутствия какого-либо другого повествования. Существуют и другие легенды, не зависящие от Белла, в том числе легенда, в которой отец Кантора назван подкидышем, отправленным в Санкт-Петербург неизвестными родителями. ^[102] Критика книги Белла содержится в Джозефа Добена . биографии ^[103] Добен пишет:

Кантор посвятил часть своей наиболее оскорбительной переписки, а также часть «Beiträge » нападкам на то, что он однажды назвал « бесконечно малой холерной бациллой математики», которая распространилась из Германии благодаря работам Томаэ , дю Буа Реймона. и Штольц , чтобы заразить итальянскую математику... Любое принятие бесконечно малых обязательно означало, что его собственная теория чисел была неполной. Таким образом, принять работы Томаэ, дю Буа-Реймона, Штольца и Веронезе означало отрицать совершенство собственного творения Кантора. Понятно, что Кантор развернул тщательную кампанию по дискредитации творчества Веронезе всеми возможными способами. ^[104]

См. также [ править ]

Примечания [ править ]

^ Граттан-Гиннесс 2000 , с. 351.
^ Биографический материал в этой статье в основном взят из Dauben 1979 . Grattan-Guinness 1971 и Purkert and Ilgauds 1985 . Полезными дополнительными источниками являются
^ Даубен 2004 , с. 1.
^ Добен, Джозеф Уоррен (1979). Георг Кантор «Математика и философия бесконечного» . Пресса Принстонского университета. стр. введение. ISBN 9780691024479 .
^ Перейти обратно: ^а ^б Даубен 2004 , стр. 8, 11, 12–13.
^ Перейти обратно: ^а ^б Даубен 1977 , с. 86; Даубен 1979 , стр. 120, 143.
^ Перейти обратно: ^а ^б Даубен 1977 , с. 102.
^ Перейти обратно: ^а ^б ^с Даубен 1979 , гл. 6.
^ Даубен 2004 , с. 1; Даубен 1977 , с. 89 15н .
^ Перейти обратно: ^а ^б Родыч 2007г .
^ Перейти обратно: ^а ^б Даубен 1979 , с. 280: «... традиция, ставшая популярной благодаря Артуру Морицу Шенфлису, обвиняла настойчивую критику Кронекера и неспособность Кантора подтвердить свою гипотезу континуума» в повторяющихся приступах депрессии Кантора.
^ Даубен 2004 , с. 1. Текст включает цитату 1964 года психиатра Карла Поллитта, одного из врачей, осматривавших Кантора в Галле Нервенклиник, который назвал психическое заболевание Кантора «циклической маниакально-депрессивным расстройством».
^ Перейти обратно: ^а ^б Даубен 1979 , с. 248.
^ Гильберт (1926 , стр. 170): «Никто не должен быть в состоянии изгнать нас из рая, который создал для нас Кантор». (Буквально: «Из рая, который создал для нас Кантор, никто не должен иметь возможности нас изгнать».)
^ Перейти обратно: ^а ^б Рид, Констанс (1996). Гильберт . Нью-Йорк: Springer-Verlag. п. 177 . ISBN 978-0-387-04999-1 .
^ ru: The musical encyclopedia (Музыкальная энциклопедия) .
^ «Георг Кантор (1845-1918)» . www-groups.dcs.st-and.ac.uk . Проверено 14 сентября 2019 г.
^ Георг Кантор 1845-1918 . Биркгаузер. 1985. ISBN 978-3764317706 .
^ Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д ^Это «Жизнеописание Кантора» . www-history.mcs.st-andrews.ac.uk . Проверено 6 октября 2017 г.
^ Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д ^Это ^ж ^г ^час Бруно, Леонард К.; Бейкер, Лоуренс В. (1999). Математика и математики: история математических открытий во всем мире . Детройт, Мичиган: UX L. p. 54 . ISBN 978-0787638139 . OCLC 41497065 .
^ О'Коннор, Джон Дж; Робертсон, Эдмунд Ф. (1998). «Георг Фердинанд Людвиг Филипп Кантор» . MacTutor История математики.
^ Даубен 1979 , с. 163.
^ Даубен 1979 , с. 34.
^ Даубен 1977 , с. 89 15н.
^ Даубен 1979 , стр. 2–3; Граттан-Гиннесс 1971 , стр. 354–355.
^ Даубен 1979 , с. 138.
^ Даубен 1979 , с. 139.
^ Перейти обратно: ^а ^б Даубен 1979 , с. 282.
^ Даубен 1979 , с. 136; Граттан-Гиннесс 1971 , стр. 376–377. Письмо от 21 июня 1884 г.
^ Даубен 1979 , стр. 281–283.
^ Даубен 1979 , с. 283.
^ Обсуждение статьи Кенига см. Dauben 1979 , стр. 248–250. Реакцию Кантора см. Dauben 1979 , стр. 248, 283.
^ Даубен 1979 , стр. 283–284.
^ Даубен 1979 , с. 284.
^ Перейти обратно: ^а ^б Джонсон, Филипп Э. (1972). «Происхождение и развитие теории множеств». Двухлетний математический журнал колледжа . 3 (1): 55–62. дои : 10.2307/3026799 . JSTOR 3026799 .
^ Суппес, Патрик (1972). Аксиоматическая теория множеств . Дувр. п. 1. ISBN 9780486616308 . За некоторыми редкими исключениями, сущности, которые изучаются и анализируются в математике, можно рассматривать как определенные наборы или классы объектов... Как следствие, многие фундаментальные вопросы о природе математики могут быть сведены к вопросам теории множеств.
^ Кантор 1874 г.
^ — Счётное множество это множество, которое либо конечно, либо счётно; следовательно, счетные множества являются бесконечными счетными множествами. Однако эта терминология не используется повсеместно, и иногда слово «счетный» используется как синоним слова «счетный».
^ Набор Кантора перед Американской математической ассоциацией Кантора
^ Кук, Роджер (1993). «Уникальность тригонометрических рядов и описательная теория множеств, 1870–1985». Архив истории точных наук . 45 (4): 281. дои : 10.1007/BF01886630 . S2CID 122744778 .
^ Перейти обратно: ^а ^б Кац, Карин Усади; Кац, Михаил Георгиевич (2012). «Бюрджессианская критика номиналистических тенденций в современной математике и ее историографии». Основы науки . 17 (1): 51–89. arXiv : 1104.0375 . дои : 10.1007/s10699-011-9223-1 . S2CID 119250310 .
^ Эрлих, П. (2006). «Возникновение неархимедовой математики и корни заблуждения. I. Возникновение неархимедовой системы величин» (PDF) . Арх. Хист. Точная наука . 60 (1): 1–121. дои : 10.1007/s00407-005-0102-4 . S2CID 123157068 . Архивировано из оригинала (PDF) 15 февраля 2013 г.
↑ Это близко соответствует первой части статьи Кантора 1891 года.
^ Кантор 1874 . Английский перевод: Эвальд 1996 , стр. 840–843.
^ Например, геометрические задачи, поставленные Галилеем и Джоном Дунсом Скотом, предполагали, что все бесконечные множества равночисленны - см. Мур, AW (апрель 1995 г.). «Краткая история бесконечности». Научный американец . 272 (4): 112–116 (114). Бибкод : 1995SciAm.272d.112M . doi : 10.1038/scientificamerican0495-112 .
^ Эту и дополнительную информацию о математической важности работы Кантора по теории множеств см., например, Suppes 1972 .
↑ Лиувилл, Джозеф (13 мая 1844 г.). О существовании трансцендентных чисел .
^ Действительные алгебраические числа — это действительные корни полиномиальных уравнений с целыми коэффициентами .
^ Более подробную информацию о статье Кантора см. в первой статье Георга Кантора по теории множеств и Грей, Роберт (1994). «Георг Кантор и трансцендентные числа» (PDF) . Американский математический ежемесячник . 101 (9): 819–832. дои : 10.2307/2975129 . JSTOR 2975129 . . Грей (стр. 821–822) описывает компьютерную программу, которая использует конструкции Кантора для генерации трансцендентного числа.
^ Конструкция Кантора начинается с набора трансценденталов T и удаляет счетное подмножество { t _n } (например, t _n = e /n ). Назовите этот набор T ₀ . Тогда Т = Т ₀ ∪ { т _п } = Т ₀ ∪ { т _{2 п -1} } ∪ { т _{2 п} }. Множество вещественных чисел R = T ∪ { a _n } = T ₀ ∪ { t _n } ∪ { a _n }, где a _n — последовательность действительных алгебраических чисел. Таким образом, и T , и R представляют собой объединение трех попарно непересекающихся множеств: T ₀ и двух счетных множеств. Взаимно-однозначное соответствие между T и R задается функцией: f ( t ) = t , если t ∈ T ₀ , f ( t _{2 n -1} ) = t _n и f ( t _{2 n} ) = a _н . Кантор фактически применял свою конструкцию к иррациональным, а не к трансцендентным числам, но он знал, что она применима к любому множеству, образованному удалением счетного числа чисел из множества действительных чисел ( Кантор 1879 , стр. 4).
^ Даубен 1977 , с. 89.
^ Кантор 1883 .
^ Кантор (1895) , Кантор (1897) . Английский перевод — Cantor 1955 .
^ Уоллес, Дэвид Фостер (2003). Все и даже больше: компактная история бесконечности . Нью-Йорк: WW Norton and Company. п. 259 . ISBN 978-0-393-00338-3 .
^ Даубен 1979 , стр. 69, 324 63n . Статья была представлена в июле 1877 года. Дедекинд поддержал ее, но отложил публикацию из-за противодействия Кронекера. Вейерштрасс активно поддерживал это.
^ Некоторые математики считают, что эти результаты решили проблему, и, самое большее, допускают возможность исследовать формальные следствия CH или его отрицания, или аксиом, которые подразумевают одно из них. Другие продолжают искать «естественные» или «правдоподобные» аксиомы, которые, будучи добавлены в ZFC, позволят либо доказать, либо опровергнуть CH, или даже получить прямые доказательства за или против самого CH; среди наиболее выдающихся из них — У. Хью Вудин . В одной из последних статей Гёделя утверждается, что CH ложен и что континуум имеет мощность Алеф-2.
^ Кантор 1883 , стр. 587–588; Английский перевод: Эвальд 1996 , стр. 916–917.
^ Халлетт 1986 , стр. 41–42.
^ Мур 1982 , с. 42.
^ Мур 1982 , с. 51. Доказательство эквивалентности: если множество упорядочено, то его мощность равна алефу, поскольку алефы являются кардиналами хорошо упорядоченных множеств. Если мощность множества равна алефу, то оно может быть вполне упорядоченным, поскольку между ним и упорядоченным множеством, определяющим алеф, существует взаимно однозначное соответствие.
^ Халлетт 1986 , стр. 166–169.
^ Доказательство Кантора, которое является доказательством от противного , начинается с предположения, что существует множество S , мощность которого не является алефом. Функция от ординалов до S строится путем последовательного выбора разных элементов S для каждого ординала. Если в этой конструкции закончились элементы, то функция хорошо упорядочивает множество S . Это означает, что мощность S является алефом, что противоречит предположению о S . Следовательно, функция взаимно однозначно отображает все ординалы в S . функции Образ представляет собой противоречивую подмножественность, содержащуюся в S , поэтому множество S представляет собой противоречивую кратность, что является противоречием. Цермело раскритиковал конструкцию Кантора: «интуиция времени применяется здесь к процессу, который выходит за рамки любой интуиции, и постулируется фиктивная сущность, в отношении которой предполагается, что она может делать последовательные произвольные выборы». ( Халлетт 1986 , стр. 169–170.)
^ Мур 1988 , стр. 52–53; Мур и Гарсиадиего 1981 , стр. 330–331.
^ Мур и Гарсиадиего 1981 , стр. 101-1. 331, 343; Пуркерт 1989 , с. 56.
^ Мур 1982 , стр. 158–160. Мур утверждает, что последнее было его основной мотивацией.
^ Мур посвящает этой критике главу: «Цермело и его критики (1904–1908)», Moore 1982 , стр. 85–141.
^ Мур 1982 , с. 158–160. Цермело 1908 , стр. 101-1. 263–264; Английский перевод: ван Хейеноорт, 1967 , с. 202.
^ Халлетт 1986 , стр. 288, 290–291. Кантор указывал, что противоречивые множественности сталкиваются с одним и тем же ограничением: они не могут быть членами какой-либо множественности. ( Халлетт 1986 , стр. 286.)
^ Халлетт 1986 , стр. 291–292.
^ Цермело 1930 ; Английский перевод: Эвальд 1996 , стр. 1208–1233.
^ Даубен 1979 , с. 295.
^ Даубен 1979 , с. 120.
^ Халлетт 1986 , с. 13. Сравните с сочинениями Фомы Аквинского .
^ Хедман, Брюс (1993). «Концепция бесконечности Кантора: последствия бесконечности для случайностей» . Перспективы науки и христианской веры . 45 (1): 8–16 . Проверено 5 марта 2020 г.
^ Добен, Джозеф Уоррен (1979). Георг Кантор: Его математика и философия бесконечного . Издательство Принстонского университета. дои : 10.2307/j.ctv10crfh1 . ISBN 9780691024479 . JSTOR j.ctv10crfh1 . S2CID 241372960 .
^ Добен, Джозеф Уоррен (1978). «Георг Кантор: Персональная матрица его математики» . Исида . 69 (4): 548. дои : 10.1086/352113 . JSTOR 231091 . ПМИД 387662 . S2CID 26155985 . Проверено 5 марта 2020 г. Религиозное измерение, которое Кантор приписывал своим трансфинитным числам, не следует сбрасывать со счетов как отклонение. Это также не следует забывать или отделять от его существования как математика. Теологическая сторона теории множеств Кантора, хотя, возможно, и не имеет отношения к пониманию ее математического содержания, тем не менее важна для полного понимания его теории и того, почему она развивалась на ранних стадиях именно так.
^ Даубен 1979 , с. 225
^ Даубен 1979 , с. 266.
^ Снаппер, Эрнст (1979). «Три кризиса в математике: логицизм, интуиционизм и формализм» (PDF) . Журнал «Математика» . 524 (4): 207–216. дои : 10.1080/0025570X.1979.11976784 . Архивировано из оригинала (PDF) 15 августа 2012 года . Проверено 2 апреля 2013 г.
^ Давенпорт, Энн А. (1997). «Католики, катары и концепция бесконечности в тринадцатом веке». Исида . 88 (2): 263–295. дои : 10.1086/383692 . JSTOR 236574 . S2CID 154486558 .
^ Перейти обратно: ^а ^б Даубен 1977 , с. 85.
^ Кантор 1932 , с. 404. Перевод в Добене 1977 , с. 95.
^ Даубен 1979 , с. 296.
^ Ньюстед, Энн (2009). «Кантор о бесконечности в природе, числе и божественном разуме» . Американский католический философский ежеквартальный журнал . 83 (4): 533–553. дои : 10.5840/acpq200983444 .
^ Ньюстед, Энн (2009). «Кантор о бесконечности в природе, числе и божественном разуме». Американский католический философский ежеквартальный журнал . 84 (3): 535.
^ Феррейрос, Хосе (2004). «Мотивы, лежащие в основе теории множеств Кантора — физические, биологические и философские вопросы» (PDF) . Наука в контексте . 17 (1–2): 49–83. дои : 10.1017/S0269889704000055 . ПМИД 15359485 . S2CID 19040786 . Архивировано (PDF) из оригинала 21 сентября 2020 года.
^ Даубен 1979 , с. 144.
^ Даубен 1977 , стр. 91–93.
^ О Канторе, Гуссерле и Готлобе Фреге см. Хилл и Розадо Хэддок (2000).
^ " Даубен 1979 , стр. 96.
^ Рассел, Бертран Автобиография Бертрана Рассела , Джорджа Аллена и Анвина Ltd., 1971 (Лондон), том. 1, с. 217.
↑ Например , единственным свидетельством Граттан-Гиннесса о дате смерти деда является то, что он подписал документы на помолвке своего сына.
^ Перейти обратно: ^а ^б ^с Пуркерт и Ильгаудс 1985 , с. 15.
^ Дополнительную информацию см.: Даубен 1979 , с. 1 и примечания; Grattan-Guinness 1971 , стр. 350–352 и примечания; Пуркерт и Илгаудс 1985 ; письмо взято из Aczel 2000 , стр. 93–94, из поездки Луи в Чикаго в 1863 году. На немецком, как и на английском, неясно, включен ли получатель.
^ Люди математики: жизнь и достижения великих математиков от Зенона до Пуанкаре , 1937, ET Bell
^ Таннери, Поль (1934) Memoirs Scientifique 13 Переписка , Готье-Виллар, Париж, стр. 1934. 306.
^ Даубен 1979 , с. 274.
^ Мендельсон, Эзра (редактор) (1993) Современные евреи и их музыкальные программы , Oxford University Press, стр. 9.
^ Знаем ли мы их?: Портретная галерея известных венгров еврейского происхождения , Иштван Ремени Гинес Ex Libris, (Будапешт, 1997), страницы 132–133.
^ Рассел, Бертран. Автобиография , т. я, с. 229. На английском языке в оригинале; курсив также как в оригинале.
^ Граттан-Гиннесс 1971 , с. 350.
^ Grattan-Guinness 1971 (цитата со стр. 350, примечание), Dauben 1979 , стр. 1 и примечания. (Еврейские стереотипы Белла, похоже, были удалены из некоторых послевоенных изданий.)
^ Даубен 1979
^ Добен, Дж.: Развитие канторовской теории множеств, стр. ~ 181–219. См. стр. 216–217. В Босе, Х.; Банн, Р.; Добен, Дж.; Граттан-Гиннесс , И.; Хокинс, Т.; Педерсен, К. От исчисления к теории множеств, 1630–1910. Вступительная история. Под редакцией И. Граттан-Гиннесса. Джеральд Дакворт и Ко. Лтд., Лондон, 1980 г.

Ссылки [ править ]

Добен, Джозеф В. (1977). «Георг Кантор и Папа Лев XIII: математика, теология и бесконечное». Журнал истории идей . 38 (1): 85–108. дои : 10.2307/2708842 . JSTOR 2708842 . .
Добен, Джозеф В. (1979). [Недоступно на archive.org] Георг Кантор: его математика и философия бесконечности . Бостон: Издательство Гарвардского университета. ISBN 978-0-691-02447-9 . .
Даубен, Джозеф (2004) [1993]. Георг Кантор и битва за теорию трансфинитных множеств (PDF) . Материалы 9-й конференции ACMS (Вестмонт-Колледж, Санта-Барбара, Калифорния). стр. 1–22. Архивировано (PDF) из оригинала 23 января 2018 года. Интернет-версия опубликована в журнале ACMS 2004. Однако обратите внимание, что латинская цитата Кантора, описанная в этой статье как знакомый отрывок из Библии, на самом деле взята из работ Сенеки и никакого намека на божественное откровение.
Эвальд, Уильям Б., изд. (1996). От Иммануила Канта до Давида Гильберта: Справочник по основам математики . Нью-Йорк: Издательство Оксфордского университета. ISBN 978-0-19-853271-2 . .
Граттан-Гиннесс, Айвор (1971). «К биографии Георга Кантора». Анналы науки . 27 (4): 345–391. дои : 10.1080/00033797100203837 . .
Граттан-Гиннесс, Айвор (2000). В поисках математических корней: 1870–1940 гг . Издательство Принстонского университета. ISBN 978-0-691-05858-0 . .
Халлетт, Майкл (1986). Канторианская теория множеств и ограничение размера . Нью-Йорк: Издательство Оксфордского университета. ISBN 978-0-19-853283-5 . .
Мур, Грегори Х. (1982). Аксиома выбора Цермело: ее истоки, развитие и влияние . Спрингер. ISBN 978-1-4613-9480-8 . .
Мур, Грегори Х. (1988). «Корни парадокса Рассела» . Рассел: Журнал исследований Бертрана Рассела . 8 : 46–56. дои : 10.15173/russell.v8i1.1732 . .
Мур, Грегори Х.; Гарсиадиего, Александр (1981). «Парадокс Бурали-Форти: переоценка его истоков » история Математическая 8 (3): 319–350. дои : 10.1016/0315-0860(81)90070-7 . .
Пуркерт, Уолтер (1989). «Взгляды Кантора на основания математики ». В Роу, Дэвид Э.; Макклири, Джон (ред.). История современной математики, Том 1 . Академическая пресса. стр. 49–65 . ISBN 978-0-12-599662-4 . .
Пуркерт, Уолтер; Ильгаудс, Ханс Иоахим (1985). Георг Кантор: 1845–1918 . Биркхойзер . ISBN 978-0-8176-1770-7 . .
Суппес, Патрик (1972) [1960]. Аксиоматическая теория множеств . Нью-Йорк: Дувр. ISBN 978-0-486-61630-8 . . Хотя изложение является скорее аксиоматическим, чем наивным, Суппес доказывает и обсуждает многие результаты Кантора, что демонстрирует непреходящее значение Кантора для построения фундаментальной математики.
Цермело, Эрнст (1908). «Исследования оснований теории множеств I» . Математические летописи . 65 (2): 261–281. дои : 10.1007/bf01449999 . S2CID 120085563 . .
Цермело, Эрнст (1930). «О пределах и диапазонах множеств: новые исследования основ теории множеств» (PDF) . Фундамента Математика . 16 :29–47. дои : 10.4064/fm-16-1-29-47 . Архивировано (PDF) оригинала 28 июня 2004 г. .
ван Хейеноорт, Жан (1967). От Фреге до Геделя: Справочник по математической логике, 1879–1931 . Издательство Гарвардского университета. ISBN 978-0-674-32449-7 . .

Библиография [ править ]

К более старым источникам о жизни Кантора следует относиться с осторожностью. См. раздел § Биографии выше.

Основная литература на английском языке [ править ]

Кантор, Георг (1955) [1915]. Филип Журден (ред.). Вклад в создание теории трансфинитных чисел . Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 978-0-486-60045-1 . .

Основная литература на немецком языке [ править ]

Кантор, Джордж (1874). «О свойстве воплощения всех действительных алгебраических чисел» (PDF) . Журнал чистой и прикладной математики . 1874 (77): 258–262. дои : 10.1515/crll.1874.77.258 . S2CID 199545885 . Архивировано (PDF) из оригинала 7 октября 2017 г.
Кантор, Джордж (1878). «Вклад в теорию разнообразия» . Журнал чистой и прикладной математики . 1878 (84): 242–258. doi : 10.1515/crelle-1878-18788413 . .
Георг Кантор (1879). «О бесконечных линейных точечных многообразиях (1)» . Математические летописи . 15 (1): 1–7. дои : 10.1007/bf01444101 . S2CID 179177510 .
Георг Кантор (1880). «О бесконечных линейных точечных многообразиях (2)» . Математические летописи . 17 (3): 355–358. дои : 10.1007/bf01446232 . S2CID 179177438 .
Георг Кантор (1882). «О бесконечных линейных точечных многообразиях (3)» . Математические летописи . 20 (1): 113–121. дои : 10.1007/bf01443330 . S2CID 177809016 .
Георг Кантор (1883). «О бесконечных линейных точечных многообразиях (4)» . Математические летописи . 21 (1): 51–58. дои : 10.1007/bf01442612 . S2CID 179177480 .
Георг Кантор (1883). «О бесконечных линейных точечных многообразиях (5)» . Математические летописи . 21 (4): 545–591. дои : 10.1007/bf01446819 . S2CID 121930608 . Опубликовано отдельно как: Основы общей теории разнообразия .
Георг Кантор (1884). «О бесконечных линейных точечных многообразиях (6)» . Математические летописи . 23 (4): 453–488. дои : 10.1007/BF01446598 . S2CID 179178052 .
Георг Кантор (1891). «Об элементарном вопросе теории разнообразия» (PDF) . Годовой отчет Немецкой ассоциации математиков . 1 :75-78. Архивировано (PDF) из оригинала 1 января 2018 г.
Кантор, Джордж (1895). «Вклад в обоснование трансфинитной теории множеств (1)» . Математические летописи . 46 (4): 481–512. дои : 10.1007/bf02124929 . S2CID 177801164 . Архивировано из оригинала 23 апреля 2014 года.
Кантор, Джордж (1897). «Вклад в обоснование трансфинитной теории множеств (2)» . Математические летописи . 49 (2): 207–246. дои : 10.1007/bf01444205 . S2CID 121665994 .
Кантор, Джордж (1932). Эрнст Цермело (ред.). «Сборник трактатов математического и философского содержания» . Берлин: Шпрингер. Архивировано из оригинала 3 февраля 2014 года . Почти все, что написал Кантор. включены выдержки из его переписки с Дедекиндом (стр. 443–451) и биографии Кантора Френкеля (стр. 452–483). В приложении

Вторичная литература [ править ]

Аксель, Амир Д. (2000). Тайна Алеф: математика, каббала и поиск бесконечности . Нью-Йорк: Издательство «Четыре стены, восемь окон». . ISBN 0-7607-7778-0 . Популярная трактовка бесконечности, в которой часто упоминается Кантор.
Добен, Джозеф В. (июнь 1983 г.). «Георг Кантор и истоки теории трансфинитных множеств». Научный американец . 248 (6): 122–131. Бибкод : 1983SciAm.248f.122D . doi : 10.1038/scientificamerican0683-122 .
Феррейрос, Хосе (2007). Лабиринт мысли: история теории множеств и ее роль в математической мысли . Базель, Швейцария: Биркхойзер. . ISBN 3-7643-8349-6 Содержит подробное описание вклада Кантора и Дедекинда в теорию множеств.
Халмош, Пол (1998) [1960]. Наивная теория множеств . Нью-Йорк и Берлин: Спрингер. . ISBN 3-540-90092-6
Гильберт, Дэвид (1926). «О Бесконечном» . Математические летописи . 95 : 161-190. дои : 10.1007/BF01206605 . S2CID 121888793 .
Хилл, Колорадо; Розадо Хэддок, GE (2000). Гуссерль или Фреге? Смысл, объективность и математика . Чикаго: Открытый суд. . ISBN 0-8126-9538-0 Три главы и 18 статей о Канторе.
Мешковски, Герберт (1983). Георг Кантор, Жизнь, работа и влияние (Георг Кантор, Жизнь, работа и влияние, на немецком языке) . Видег, Брауншвейг.
Ньюстед, Энн (2009). «Кантор о бесконечности в природе, числе и божественном разуме» [1] , American Catholic Philosophical Quarterly , 83 (4): 532–553, https://doi.org/10.5840/acpq200983444 . Признавая новаторскую историческую работу Добена, в этой статье далее подробно обсуждается отношение Кантора к философии Спинозы и Лейбница, а также его участие в Pantheismusstreit . Кратко упоминается об обучении Кантора у Ф.А.Тренделенбурга.
Пенроуз, Роджер (2004). Дорога к реальности . Альфред А. Кнопф. . ISBN 0-679-77631-1 Глава 16 иллюстрирует, как канторианское мышление интригует ведущего современного физика-теоретика .
Ракер, Руди (2005) [1982]. Бесконечность и разум . Издательство Принстонского университета. . ISBN 0-553-25531-2 Рассматривает темы, аналогичные Aczel, но более подробно.
Родыч, Виктор (2007). «Философия математики Витгенштейна» . В Эдварде Н. Залте (ред.). Стэнфордская энциклопедия философии . Лаборатория метафизических исследований Стэнфордского университета. .
Леонида Лаццари, «Бесконечное ди Кантора» . Издательство Питагора, Болонья, 2008 г.

Внешние ссылки [ править ]

Цитаты, связанные с Георгом Кантором, в Wikiquote
СМИ, связанные с Георгом Кантором, на Викискладе?
Работы Георга Кантора или о нем в Internet Archive
О'Коннор, Джон Дж.; Робертсон, Эдмунд Ф. , «Георг Кантор» , Архив истории математики MacTutor , Университет Сент-Эндрюс
О'Коннор, Джон Дж.; Робертсон, Эдмунд Ф. , «История теории множеств» , Архив истории математики MacTutor , Университет Сент-Эндрюс. В основном посвящен достижениям Кантора.
Георг Кантор , britannica.com
Стэнфордская энциклопедия философии : теория множеств Томаса Джеха . Раннее развитие теории множеств Хосе Феррейроса.
«Канторовые бесконечности», анализ статьи Кантора 1874 года BibNum (для английской версии нажмите «à télécharger») . В этом анализе есть ошибка. В нем правильно сформулирована теорема Кантора 1: Алгебраические числа можно считать. Однако он неправильно формулирует свою теорему 2: Действительные числа не подлежат подсчету. Далее говорится: «Кантор отмечает, что теоремы 1 и 2, взятые вместе, позволяют повторно продемонстрировать существование неалгебраических действительных чисел…» Эта демонстрация существования неконструктивна . Правильно сформулированная теорема 2 гласит: учитывая последовательность действительных чисел, можно определить действительное число, которого нет в этой последовательности. В совокупности теорема 1 и эта теорема 2 дают неалгебраическое число. Кантор также использовал теорему 2, чтобы доказать, что действительные числа нельзя сосчитать. См. первую статью Кантора по теории множеств или «Георг Кантор и трансцендентные числа» .

[1] Граттан-Гиннесс 2000 , с. 351.

[2] Биографический материал в этой статье в основном взят из Dauben 1979 . Grattan-Guinness 1971 и Purkert and Ilgauds 1985 . Полезными дополнительными источниками являются

[3] Даубен 2004 , с. 1.

[4] Добен, Джозеф Уоррен (1979). Георг Кантор «Математика и философия бесконечного» . Пресса Принстонского университета. стр. введение. ISBN 9780691024479 .

[xdpfir-5] Перейти обратно: ^а ^б Даубен 2004 , стр. 8, 11, 12–13.

[nuozkv-6] Перейти обратно: ^а ^б Даубен 1977 , с. 86; Даубен 1979 , стр. 120, 143.

[daub77102-7] Перейти обратно: ^а ^б Даубен 1977 , с. 102.

[FOOTNOTEDauben1979chpt._6-8] Перейти обратно: ^а ^б ^с Даубен 1979 , гл. 6.

[9] Даубен 2004 , с. 1; Даубен 1977 , с. 89 15н .

[FOOTNOTERodych2007-10] Перейти обратно: ^а ^б Родыч 2007г .

[daub280-11] Перейти обратно: ^а ^б Даубен 1979 , с. 280: «... традиция, ставшая популярной благодаря Артуру Морицу Шенфлису, обвиняла настойчивую критику Кронекера и неспособность Кантора подтвердить свою гипотезу континуума» в повторяющихся приступах депрессии Кантора.

[bipolar-12] Даубен 2004 , с. 1. Текст включает цитату 1964 года психиатра Карла Поллитта, одного из врачей, осматривавших Кантора в Галле Нервенклиник, который назвал психическое заболевание Кантора «циклической маниакально-депрессивным расстройством».

[daub248-13] Перейти обратно: ^а ^б Даубен 1979 , с. 248.

[14] Гильберт (1926 , стр. 170): «Никто не должен быть в состоянии изгнать нас из рая, который создал для нас Кантор». (Буквально: «Из рая, который создал для нас Кантор, никто не должен иметь возможности нас изгнать».)

[encomium-15] Перейти обратно: ^а ^б Рид, Констанс (1996). Гильберт . Нью-Йорк: Springer-Verlag. п. 177 . ISBN 978-0-387-04999-1 .

[16] ru: The musical encyclopedia (Музыкальная энциклопедия) .

[17] «Георг Кантор (1845-1918)» . www-groups.dcs.st-and.ac.uk . Проверено 14 сентября 2019 г.

[18] Георг Кантор 1845-1918 . Биркгаузер. 1985. ISBN 978-3764317706 .

[:0-19] Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д ^Это «Жизнеописание Кантора» . www-history.mcs.st-andrews.ac.uk . Проверено 6 октября 2017 г.

[:1-20] Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д ^Это ^ж ^г ^час Бруно, Леонард К.; Бейкер, Лоуренс В. (1999). Математика и математики: история математических открытий во всем мире . Детройт, Мичиган: UX L. p. 54 . ISBN 978-0787638139 . OCLC 41497065 .

[21] О'Коннор, Джон Дж; Робертсон, Эдмунд Ф. (1998). «Георг Фердинанд Людвиг Филипп Кантор» . MacTutor История математики.

[daub163-22] Даубен 1979 , с. 163.

[daub34-23] Даубен 1979 , с. 34.

[24] Даубен 1977 , с. 89 15н.

[25] Даубен 1979 , стр. 2–3; Граттан-Гиннесс 1971 , стр. 354–355.

[daub138-26] Даубен 1979 , с. 138.

[daub139-27] Даубен 1979 , с. 139.

[daub282-28] Перейти обратно: ^а ^б Даубен 1979 , с. 282.

[29] Даубен 1979 , с. 136; Граттан-Гиннесс 1971 , стр. 376–377. Письмо от 21 июня 1884 г.

[30] Даубен 1979 , стр. 281–283.

[daub283-31] Даубен 1979 , с. 283.

[32] Обсуждение статьи Кенига см. Dauben 1979 , стр. 248–250. Реакцию Кантора см. Dauben 1979 , стр. 248, 283.

[33] Даубен 1979 , стр. 283–284.

[daub284-34] Даубен 1979 , с. 284.

[Johnson_p._55-35] Перейти обратно: ^а ^б Джонсон, Филипп Э. (1972). «Происхождение и развитие теории множеств». Двухлетний математический журнал колледжа . 3 (1): 55–62. дои : 10.2307/3026799 . JSTOR 3026799 .

[36] Суппес, Патрик (1972). Аксиоматическая теория множеств . Дувр. п. 1. ISBN 9780486616308 . За некоторыми редкими исключениями, сущности, которые изучаются и анализируются в математике, можно рассматривать как определенные наборы или классы объектов... Как следствие, многие фундаментальные вопросы о природе математики могут быть сведены к вопросам теории множеств.

[37] Кантор 1874 г.

[38] — Счётное множество это множество, которое либо конечно, либо счётно; следовательно, счетные множества являются бесконечными счетными множествами. Однако эта терминология не используется повсеместно, и иногда слово «счетный» используется как синоним слова «счетный».

[39] Набор Кантора перед Американской математической ассоциацией Кантора

[40] Кук, Роджер (1993). «Уникальность тригонометрических рядов и описательная теория множеств, 1870–1985». Архив истории точных наук . 45 (4): 281. дои : 10.1007/BF01886630 . S2CID 122744778 .

[Infinitesimal-41] Перейти обратно: ^а ^б Кац, Карин Усади; Кац, Михаил Георгиевич (2012). «Бюрджессианская критика номиналистических тенденций в современной математике и ее историографии». Основы науки . 17 (1): 51–89. arXiv : 1104.0375 . дои : 10.1007/s10699-011-9223-1 . S2CID 119250310 .

[42] Эрлих, П. (2006). «Возникновение неархимедовой математики и корни заблуждения. I. Возникновение неархимедовой системы величин» (PDF) . Арх. Хист. Точная наука . 60 (1): 1–121. дои : 10.1007/s00407-005-0102-4 . S2CID 123157068 . Архивировано из оригинала (PDF) 15 февраля 2013 г.

[43] Это близко соответствует первой части статьи Кантора 1891 года.

[44] Кантор 1874 . Английский перевод: Эвальд 1996 , стр. 840–843.

[45] Например, геометрические задачи, поставленные Галилеем и Джоном Дунсом Скотом, предполагали, что все бесконечные множества равночисленны - см. Мур, AW (апрель 1995 г.). «Краткая история бесконечности». Научный американец . 272 (4): 112–116 (114). Бибкод : 1995SciAm.272d.112M . doi : 10.1038/scientificamerican0495-112 .

[46] Эту и дополнительную информацию о математической важности работы Кантора по теории множеств см., например, Suppes 1972 .

[47] Лиувилл, Джозеф (13 мая 1844 г.). О существовании трансцендентных чисел .

[48] Действительные алгебраические числа — это действительные корни полиномиальных уравнений с целыми коэффициентами .

[49] Более подробную информацию о статье Кантора см. в первой статье Георга Кантора по теории множеств и Грей, Роберт (1994). «Георг Кантор и трансцендентные числа» (PDF) . Американский математический ежемесячник . 101 (9): 819–832. дои : 10.2307/2975129 . JSTOR 2975129 . . Грей (стр. 821–822) описывает компьютерную программу, которая использует конструкции Кантора для генерации трансцендентного числа.

[50] Конструкция Кантора начинается с набора трансценденталов T и удаляет счетное подмножество { t _n } (например, t _n = e /n ). Назовите этот набор T ₀ . Тогда Т = Т ₀ ∪ { т _п } = Т ₀ ∪ { т _{2 п -1} } ∪ { т _{2 п} }. Множество вещественных чисел R = T ∪ { a _n } = T ₀ ∪ { t _n } ∪ { a _n }, где a _n — последовательность действительных алгебраических чисел. Таким образом, и T , и R представляют собой объединение трех попарно непересекающихся множеств: T ₀ и двух счетных множеств. Взаимно-однозначное соответствие между T и R задается функцией: f ( t ) = t , если t ∈ T ₀ , f ( t _{2 n -1} ) = t _n и f ( t _{2 n} ) = a _н . Кантор фактически применял свою конструкцию к иррациональным, а не к трансцендентным числам, но он знал, что она применима к любому множеству, образованному удалением счетного числа чисел из множества действительных чисел ( Кантор 1879 , стр. 4).

[popeleo-51] Даубен 1977 , с. 89.

[52] Кантор 1883 .

[53] Кантор (1895) , Кантор (1897) . Английский перевод — Cantor 1955 .

[54] Уоллес, Дэвид Фостер (2003). Все и даже больше: компактная история бесконечности . Нью-Йорк: WW Norton and Company. п. 259 . ISBN 978-0-393-00338-3 .

[55] Даубен 1979 , стр. 69, 324 63n . Статья была представлена в июле 1877 года. Дедекинд поддержал ее, но отложил публикацию из-за противодействия Кронекера. Вейерштрасс активно поддерживал это.

[56] Некоторые математики считают, что эти результаты решили проблему, и, самое большее, допускают возможность исследовать формальные следствия CH или его отрицания, или аксиом, которые подразумевают одно из них. Другие продолжают искать «естественные» или «правдоподобные» аксиомы, которые, будучи добавлены в ZFC, позволят либо доказать, либо опровергнуть CH, или даже получить прямые доказательства за или против самого CH; среди наиболее выдающихся из них — У. Хью Вудин . В одной из последних статей Гёделя утверждается, что CH ложен и что континуум имеет мощность Алеф-2.

[57] Кантор 1883 , стр. 587–588; Английский перевод: Эвальд 1996 , стр. 916–917.

[58] Халлетт 1986 , стр. 41–42.

[59] Мур 1982 , с. 42.

[60] Мур 1982 , с. 51. Доказательство эквивалентности: если множество упорядочено, то его мощность равна алефу, поскольку алефы являются кардиналами хорошо упорядоченных множеств. Если мощность множества равна алефу, то оно может быть вполне упорядоченным, поскольку между ним и упорядоченным множеством, определяющим алеф, существует взаимно однозначное соответствие.

[61] Халлетт 1986 , стр. 166–169.

[62] Доказательство Кантора, которое является доказательством от противного , начинается с предположения, что существует множество S , мощность которого не является алефом. Функция от ординалов до S строится путем последовательного выбора разных элементов S для каждого ординала. Если в этой конструкции закончились элементы, то функция хорошо упорядочивает множество S . Это означает, что мощность S является алефом, что противоречит предположению о S . Следовательно, функция взаимно однозначно отображает все ординалы в S . функции Образ представляет собой противоречивую подмножественность, содержащуюся в S , поэтому множество S представляет собой противоречивую кратность, что является противоречием. Цермело раскритиковал конструкцию Кантора: «интуиция времени применяется здесь к процессу, который выходит за рамки любой интуиции, и постулируется фиктивная сущность, в отношении которой предполагается, что она может делать последовательные произвольные выборы». ( Халлетт 1986 , стр. 169–170.)

[63] Мур 1988 , стр. 52–53; Мур и Гарсиадиего 1981 , стр. 330–331.

[64] Мур и Гарсиадиего 1981 , стр. 101-1. 331, 343; Пуркерт 1989 , с. 56.

[65] Мур 1982 , стр. 158–160. Мур утверждает, что последнее было его основной мотивацией.

[66] Мур посвящает этой критике главу: «Цермело и его критики (1904–1908)», Moore 1982 , стр. 85–141.

[67] Мур 1982 , с. 158–160. Цермело 1908 , стр. 101-1. 263–264; Английский перевод: ван Хейеноорт, 1967 , с. 202.

[68] Халлетт 1986 , стр. 288, 290–291. Кантор указывал, что противоречивые множественности сталкиваются с одним и тем же ограничением: они не могут быть членами какой-либо множественности. ( Халлетт 1986 , стр. 286.)

[69] Халлетт 1986 , стр. 291–292.

[70] Цермело 1930 ; Английский перевод: Эвальд 1996 , стр. 1208–1233.

[daub295-71] Даубен 1979 , с. 295.

[72] Даубен 1979 , с. 120.

[73] Халлетт 1986 , с. 13. Сравните с сочинениями Фомы Аквинского .

[74] Хедман, Брюс (1993). «Концепция бесконечности Кантора: последствия бесконечности для случайностей» . Перспективы науки и христианской веры . 45 (1): 8–16 . Проверено 5 марта 2020 г.

[75] Добен, Джозеф Уоррен (1979). Георг Кантор: Его математика и философия бесконечного . Издательство Принстонского университета. дои : 10.2307/j.ctv10crfh1 . ISBN 9780691024479 . JSTOR j.ctv10crfh1 . S2CID 241372960 .

[76] Добен, Джозеф Уоррен (1978). «Георг Кантор: Персональная матрица его математики» . Исида . 69 (4): 548. дои : 10.1086/352113 . JSTOR 231091 . ПМИД 387662 . S2CID 26155985 . Проверено 5 марта 2020 г. Религиозное измерение, которое Кантор приписывал своим трансфинитным числам, не следует сбрасывать со счетов как отклонение. Это также не следует забывать или отделять от его существования как математика. Теологическая сторона теории множеств Кантора, хотя, возможно, и не имеет отношения к пониманию ее математического содержания, тем не менее важна для полного понимания его теории и того, почему она развивалась на ранних стадиях именно так.

[daub225-77] Даубен 1979 , с. 225

[daub266-78] Даубен 1979 , с. 266.

[79] Снаппер, Эрнст (1979). «Три кризиса в математике: логицизм, интуиционизм и формализм» (PDF) . Журнал «Математика» . 524 (4): 207–216. дои : 10.1080/0025570X.1979.11976784 . Архивировано из оригинала (PDF) 15 августа 2012 года . Проверено 2 апреля 2013 г.

[80] Давенпорт, Энн А. (1997). «Католики, катары и концепция бесконечности в тринадцатом веке». Исида . 88 (2): 263–295. дои : 10.1086/383692 . JSTOR 236574 . S2CID 154486558 .

[daub7785-81] Перейти обратно: ^а ^б Даубен 1977 , с. 85.

[82] Кантор 1932 , с. 404. Перевод в Добене 1977 , с. 95.

[daub296-83] Даубен 1979 , с. 296.

[84] Ньюстед, Энн (2009). «Кантор о бесконечности в природе, числе и божественном разуме» . Американский католический философский ежеквартальный журнал . 83 (4): 533–553. дои : 10.5840/acpq200983444 .

[85] Ньюстед, Энн (2009). «Кантор о бесконечности в природе, числе и божественном разуме». Американский католический философский ежеквартальный журнал . 84 (3): 535.

[86] Феррейрос, Хосе (2004). «Мотивы, лежащие в основе теории множеств Кантора — физические, биологические и философские вопросы» (PDF) . Наука в контексте . 17 (1–2): 49–83. дои : 10.1017/S0269889704000055 . ПМИД 15359485 . S2CID 19040786 . Архивировано (PDF) из оригинала 21 сентября 2020 года.

[87] Даубен 1979 , с. 144.

[88] Даубен 1977 , стр. 91–93.

[89] О Канторе, Гуссерле и Готлобе Фреге см. Хилл и Розадо Хэддок (2000).

[daub96-90] " Даубен 1979 , стр. 96.

[91] Рассел, Бертран Автобиография Бертрана Рассела , Джорджа Аллена и Анвина Ltd., 1971 (Лондон), том. 1, с. 217.

[92] Например , единственным свидетельством Граттан-Гиннесса о дате смерти деда является то, что он подписал документы на помолвке своего сына.

[pi87-93] Перейти обратно: ^а ^б ^с Пуркерт и Ильгаудс 1985 , с. 15.

[94] Дополнительную информацию см.: Даубен 1979 , с. 1 и примечания; Grattan-Guinness 1971 , стр. 350–352 и примечания; Пуркерт и Илгаудс 1985 ; письмо взято из Aczel 2000 , стр. 93–94, из поездки Луи в Чикаго в 1863 году. На немецком, как и на английском, неясно, включен ли получатель.

[95] Люди математики: жизнь и достижения великих математиков от Зенона до Пуанкаре , 1937, ET Bell

[96] Таннери, Поль (1934) Memoirs Scientifique 13 Переписка , Готье-Виллар, Париж, стр. 1934. 306.

[97] Даубен 1979 , с. 274.

[98] Мендельсон, Эзра (редактор) (1993) Современные евреи и их музыкальные программы , Oxford University Press, стр. 9.

[99] Знаем ли мы их?: Портретная галерея известных венгров еврейского происхождения , Иштван Ремени Гинес Ex Libris, (Будапешт, 1997), страницы 132–133.

[100] Рассел, Бертран. Автобиография , т. я, с. 229. На английском языке в оригинале; курсив также как в оригинале.

[101] Граттан-Гиннесс 1971 , с. 350.

[102] Grattan-Guinness 1971 (цитата со стр. 350, примечание), Dauben 1979 , стр. 1 и примечания. (Еврейские стереотипы Белла, похоже, были удалены из некоторых послевоенных изданий.)

[103] Даубен 1979

[104] Добен, Дж.: Развитие канторовской теории множеств, стр. ~ 181–219. См. стр. 216–217. В Босе, Х.; Банн, Р.; Добен, Дж.; Граттан-Гиннесс , И.; Хокинс, Т.; Педерсен, К. От исчисления к теории множеств, 1630–1910. Вступительная история. Под редакцией И. Граттан-Гиннесса. Джеральд Дакворт и Ко. Лтд., Лондон, 1980 г.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]

[20]

[21]

[22]

[23]

[24]

[25]

[26]

[27]

[28]

[29]

[30]

[31]

[32]

[33]

[34]

[35]

[36]

[37]

[38]

[39]

[40]

[41]

[42]

[43]

[44]

[45]

[46]

[47]

[48]

[49]

[50]

[51]

[52]

[53]

[54]

[55]

[56]

[57]

[58]

[59]

[60]

[61]

[62]

[63]

[64]

[65]

[66]

[67]

[68]

[69]

[70]

[71]

[72]

[73]

[74]

[75]

[76]

[77]

[78]

[79]

[80]

[81]

[82]

[83]

[84]

[85]

[86]

[87]

[88]

[89]

[90]

[91]

[92]

[93]

[94]

[95]

[96]

[97]

[98]

[99]

[100]

v т Это Фракталы
Characteristics	Fractal dimensions Assouad Box-counting Higuchi Correlation Hausdorff Packing Topological Recursion Self-similarity
Iterated function system	Barnsley fern Cantor set Koch snowflake Menger sponge Sierpinski carpet Sierpinski triangle Apollonian gasket Fibonacci word Space-filling curve Blancmange curve De Rham curve Minkowski Dragon curve Hilbert curve Koch curve Lévy C curve Moore curve Peano curve Sierpiński curve Z-order curve String T-square n-flake Vicsek fractal Hexaflake Gosper curve Pythagoras tree Weierstrass function
Strange attractor	Multifractal system
L-system	Fractal canopy Space-filling curve H tree
Escape-time fractals	Burning Ship fractal Julia set Filled Newton fractal Douady rabbit Lyapunov fractal Mandelbrot set Misiurewicz point Multibrot set Newton fractal Tricorn Mandelbox Mandelbulb
Rendering techniques	Buddhabrot Orbit trap Pickover stalk
Random fractals	Brownian motion Brownian tree Brownian motor Fractal landscape Lévy flight Percolation theory Self-avoiding walk
People	Michael Barnsley Georg Cantor Bill Gosper Felix Hausdorff Desmond Paul Henry Gaston Julia Helge von Koch Paul Lévy Aleksandr Lyapunov Benoit Mandelbrot Hamid Naderi Yeganeh Lewis Fry Richardson Wacław Sierpiński
Other	"How Long Is the Coast of Britain?" Coastline paradox Fractal art List of fractals by Hausdorff dimension The Fractal Geometry of Nature (1982 book) The Beauty of Fractals (1986 book) Chaos: Making a New Science (1987 book) Kaleidoscope Chaos theory

v т Это Теория множеств
Overview	Set (mathematics)
Axioms	Adjunction Choice countable dependent global Constructibility (V=L) Determinacy Extensionality Infinity Limitation of size Pairing Power set Regularity Union Martin's axiom Axiom schema replacement specification
Operations	Cartesian product Complement (i.e. set difference) De Morgan's laws Disjoint union Identities Intersection Power set Symmetric difference Union
Concepts Methods	Almost Cardinality Cardinal number (large) Class Constructible universe Continuum hypothesis Diagonal argument Element ordered pair tuple Family Forcing One-to-one correspondence Ordinal number Set-builder notation Transfinite induction Venn diagram
Set types	Amorphous Countable Empty Finite (hereditarily) Filter base subbase Ultrafilter Fuzzy Infinite (Dedekind-infinite) Recursive Singleton Subset · Superset Transitive Uncountable Universal
Theories	Alternative Axiomatic Naive Cantor's theorem Zermelo General Principia Mathematica New Foundations Zermelo–Fraenkel von Neumann–Bernays–Gödel Morse–Kelley Kripke–Platek Tarski–Grothendieck
Paradoxes Problems	Russell's paradox Suslin's problem Burali-Forti paradox
Set theorists	Paul Bernays Georg Cantor Paul Cohen Richard Dedekind Abraham Fraenkel Kurt Gödel Thomas Jech John von Neumann Willard Quine Bertrand Russell Thoralf Skolem Ernst Zermelo

v т Это Бесконечность ( $\infty$ )
History	Ananta (infinite) Apeiron Controversy over Cantor's theory Galileo's paradox Hilbert's paradox of the Grand Hotel Infinity (philosophy) Paradoxes of infinity Paradoxes of set theory
Branches of mathematics	Complex analysis Internal set theory Nonstandard analysis Set theory Synthetic differential geometry
Formalizations of infinity	0.999... Absolute infinite Actual infinity Aleph number Beth number Cardinal numbers Cardinality of the continuum Dedekind-infinite set Directed infinity Division by zero (Complex infinity) Epsilon number Gimel function Hilbert space Hyperreal numbers Infinite set Infinitesimal Ordinal numbers Point at infinity Regular cardinal Sphere at infinity (Kleinian group) Supertask Surreal numbers Transfinite numbers
Geometries	Differential geometry of surfaces Möbius plane Möbius transformation Riemannian manifold
Mathematicians	Georg Cantor David Hilbert Gottfried Wilhelm Leibniz August Ferdinand Möbius Bernhard Riemann Abraham Robinson

Базы данных авторитетного контроля
International	FAST ISNI VIAF WorldCat
National	Norway Chile Spain France BnF data Germany Italy Israel United States Sweden Latvia Japan Czech Republic Australia Greece Croatia Netherlands Poland Portugal
Academics	CiNii Leopoldina MathSciNet Mathematics Genealogy Project zbMATH
People	Deutsche Biographie Trove
Other	SNAC IdRef