Огастес Де Морган

Огастес Де Морган
Рожденный	( 1806-06-27 ) 27 июня 1806 г. Мадурай , Карнатик , президентство Мадраса (современная Индия)
Умер	18 марта 1871 г. (1871-03-18) (64 года) Лондон, Англия
Национальность	Британский
Альма-матер	Тринити-колледж , Кембридж
Известный	Законы де Моргана Алгебра Моргана Иерархия Моргана Алгебра отношений Универсальная алгебра
Научная карьера
Поля	Математик и логик
Учреждения	Университетский колледж Лондона Школа университетского колледжа
Научные консультанты	Джон Филипс Хигман Джордж Пикок Уильям Уэвелл
Известные студенты	Эдвард Рут Джеймс Джозеф Сильвестр Фредерик Гатри Уильям Стэнли Джевонс Джейкоб Уэйли Есть ловелас Уолтер Бэджхот Ричард Холт Хаттон Фрэнсис Гатри Стивен Джозеф Перри Нума Эдвард Хартог Генри Роско Артур Коэн Томас Ходжкин Джордж Джессел
Примечания
Он был отцом Уильяма Де Моргана .

Огастес Де Морган (1806–1871) — британский математик и логик, наиболее известный благодаря формулировке законов Де Моргана . Де Морган также известен тем, что ввёл термин « математическая индукция » и формализовал основные принципы индукции. Вклад де Моргана в логику использовался в теории множеств , теории вероятностей , информатике и других областях.

Биография

Детство

Огастес Де Морган родился в Мадурае , в Карнатик регионе индийском , в 1806 году. Его отцом был подполковник Джон Де Морган (1772–1816), который занимал различные должности на службе Ост-Индской компании , а мать, Элизабет (урожденная Додсон, 1776–1856), была дочерью Джона Додсона и внучкой. Джеймса Додсона , который вычислил таблицу антилогарифмов (обратных логарифмов ). Огастес Де Морган ослеп на один глаз через несколько месяцев после рождения. Его семья переехала в Англию, когда Августу было семь месяцев. Поскольку его отец и дед родились в Индии, де Морган обычно говорил, что он не был ни англичанином, ни шотландцем, ни ирландцем, а «непривязанным» британцем, используя технический термин, применяемый к студенту Оксфорда или Кембриджа , который не был член любого из колледжей.

Когда Де Моргану было десять лет, умер его отец. Его математические таланты оставались незамеченными до тех пор, пока ему не исполнилось четырнадцать, когда друг семьи обнаружил, что он тщательно рисует фигуру из одной из работ Евклида с помощью линейки и циркуля.

Среднее образование он получил у мистера Парсонса, студента Ориэл-колледжа в Оксфорде , который предпочитал классику математике. Мать Де Моргана была активным и страстным членом англиканской церкви и хотела, чтобы ее сын стал церковным чиновником, но к этому времени Де Морган начал проявлять свой нонконформный характер. Он стал атеистом.

В нашем языке есть слово, с которым я не буду путать этот предмет как из-за бесчестного использования этого слова в качестве обвинения, возлагаемого одной сектой на другую, так и из-за разнообразия значений, приписываемых ему. Я буду использовать слово «антидеизм» для обозначения мнения, что не существует Творца, который создал и поддерживает Вселенную.

- Огастес Де Морган, Эссе о вероятностях и их применении к жизненным непредвиденным обстоятельствам и страховым офисам.

Образование

В 1823 году, в возрасте шестнадцати лет, Де Морган поступил в Тринити-колледж в Кембридже . Там он встретил Джорджа Пикока и Уильяма Уэвелла , которые якобы стали его друзьями на всю жизнь. От Пикока он унаследовал интерес к обновлению алгебры, а от Уэвелла — к обновлению логики — двух предметов его будущей жизни. Его наставником в колледже был Джон Филипс Хигман .

В колледже он развлекательно играл на флейте и был известен в музыкальных клубах.

Он занял четвертое место в математическом трипо , что дало ему право на степень бакалавра искусств . Чтобы получить высшую степень магистра искусств и тем самым получить право на стипендию, ему нужно было сдать богословский тест. Де Морган сильно возражал против подписания такого теста, хотя он вырос в англиканской церкви. Примерно в 1875 году требование теологических тестов для получения ученых степеней было отменено Законом об Оксфордском и Кембриджском университетах 1859 года . Не имея возможности добиться прогресса в академических кругах, Де Морган поступил в Линкольнс-Инн, чтобы заняться юриспруденцией.

Карьера

, 1827–1831

Затем де Морган решил поселиться в Лондоне, поскольку он предпочитал преподавать математику чтению права. движение за основание Лондонского университета (ныне Университетского колледжа Лондона Примерно в это же время сформировалось ). Два древних университета — Оксфорд и Кембридж — были настолько охраняемы богословскими экзаменами, что ни один еврей или инакомыслящий за пределами англиканской церкви не мог поступить в качестве студента, а тем более быть назначенным на какую-либо должность. Группа либерально настроенных людей решила основать университет в Лондоне на основе принципа религиозного нейтралитета. Де Морган, которому тогда было 22 года, был назначен профессором математики. Его вводная лекция «Об изучении математики» представляет собой рассуждение об умственном образовании, имеющее непреходящую ценность, и недавно была переиздана в Соединенных Штатах.

Лондонский университет был новым учреждением, и отношения между Советом управления, Сенатом профессоров и студентами не были четко определены. Между профессором анатомии и его студентами возник спор, и из-за действий совета несколько профессоров ушли в отставку во главе с Де Морганом. Был назначен еще один профессор математики, который утонул через несколько лет. Де Моргану предложили вернуться в свое кресло, где он пробыл тридцать лет.

Общество распространения полезных знаний

Та же самая группа реформаторов, возглавляемая лордом Брумом , выдающимся шотландцем в науке и политике, основавшим Лондонский университет, основала Общество распространения полезных знаний примерно в то же время . Его целью было распространение научных знаний с помощью дешевых и ясно написанных трактатов лучших писателей того времени. Одним из наиболее объемных и эффективных авторов был Де Морган. Он написал «Дифференциальное и интегральное исчисление» , которое было опубликовано Обществом, а также одну шестую часть статей в « Penny Cyclopedia» . Когда Де Морган переехал жить в Лондон, он нашел близкого друга в лице Уильяма Френда . Оба были арифметиками и актуариями , и их религиозные взгляды были в чем-то схожи, хотя их математические взгляды различались из-за отказа Френда от использования отрицательных чисел. Френд жил в тогдашнем пригороде Лондона, в загородном доме, который раньше занимал Даниэль Дефо и Исаак Уоттс . Де Морган со своей флейтой был желанным гостем.

Частный репетитор

После своего первого ухода из Лондонского университета Де Морган начал работать частным репетитором. Одним из его первых учеников был Джейкоб Уэйли . Он обучал Аду Лавлейс с 1840 по 1842 год, в основном заочно.

Королевское астрономическое общество

Де Морган стал сотрудничать с Лондонским астрономическим обществом в 1928 году. Он был назначен почетным секретарем в 1931 году, когда оно получило Королевскую хартию и стало Королевским астрономическим обществом . Он будет оставаться секретарем в течение 18 лет и активно участвовать в жизни Общества в течение 30 лет.

, 1836–1866

Лондонский университет, профессором которого был Де Морган, отличался от Лондонского университета . Примерно десять лет спустя правительство основало Лондонский университет с целью присуждения ученых степеней после экзаменов без какого-либо права проживания. Таким образом, Лондонский университет стал филиалом Лондонского университета в качестве педагогического колледжа, и его название было изменено на Университетский колледж.

Во время учебы в Университетском колледже Де Морган был весьма успешным учителем математики. Его стиль заключался в том, чтобы читать лекции в течение часа, и в конце каждой лекции он предлагал ряд задач и примеров, иллюстрирующих тему лекции; его студенты должны были работать над ними и приносить ему результаты, которые он просматривал и возвращал исправленными перед следующей лекцией. По мнению Де Моргана, глубокое понимание математических принципов было гораздо важнее, чем способность аналитически применять полупонятые принципы к конкретным случаям.

В этот период он также продвигал работы индийского математика-самоучки Рамчундры , которого называли Рамануджаном Де Моргана . Он руководил публикацией в Лондоне книги Рамчундры « Трактат о проблемах максимумов и минимумов» в 1859 году. В предисловии к этому изданию Де Морган писал:

Изучая эту работу, я увидел в ней не просто заслуги, достойные поощрения, но заслуги особого рода, поощрение которых, как мне казалось, могло способствовать усилиям туземцев, направленным на восстановление туземного разума в Индии.

В том же предисловии он признал свое знание индийской логической традиции и позже, в 1860 году, снова написал о ее значении:

«Две расы, основавшие математику, представители санскрита и греческого языка, были двумя, которые независимо сформировали системы логики.

Хотя сложность индийской логической мысли была доведена до сведения западных математиков рядом авторов, начиная с конца 18 века, неизвестно, оказало ли это какое-либо влияние на собственные работы Де Моргана. Мэри Буль , однако, заявила о глубоком влиянии — через своего дядю Джорджа Эвереста — на индийскую мысль в целом и индийскую логику, в частности, на Джорджа Буля , а также на Де Моргана и Чарльза Бэббиджа :

Подумайте, каким должен был быть эффект интенсивной индуизации трех таких людей, как Бэббидж, Де Морган и Джордж Буль, на математическую атмосферу 1830–1865 годов. Какую роль он сыграл в создании векторного анализа и математики, с помощью которых сейчас проводятся исследования в физической науке?

Джонардон Ганери заметил, что именно в этот период середины девятнадцатого века, на который указала Мэри Буль, Джордж Буль и Огастес Де Морган впервые применили алгебраические идеи к формулированию логики ( алгебраическая логика и булева логика ) и предложили что эти деятели, вероятно, были осведомлены об индийской системе логики и, в свою очередь, что их осознание недостатков пропозициональной логики в том виде, в котором она была тогда сформулирована, возможно, способствовало их желанию выйти за рамки своей собственной логической традиции.

математическое

Артур Каупер Раньярд и Джордж Кэмпбелл Де Морган, сын Де Моргана, задумали основать математическое общество в Лондоне, где математические статьи будут не только приниматься (как в Королевском обществе ), но также читаться и обсуждаться. Первое собрание Лондонского математического общества состоялось в Университетском колледже в 1865 году. Де Морган был первым президентом, а его сын - первым секретарем. Среди первых членов были Бенджамин Гомпертц , личный друг Де Моргана, и Джеймс Джозеф Сильвестр , бывший ученик Де Моргана.

Личная жизнь

Август был одним из семи детей, четверо из которых дожили до взрослого возраста. Этими братьями и сестрами были Элиза (1801–1836), вышедшая замуж за Льюиса Хенсли, хирурга, живущего в Бате; Джордж (1808–1890), адвокат, женившийся на Жозефине, дочери вице-адмирала Джозайи Когхилла, 3-го баронета Когхилла; и Кэмпбелл Грейг (1811–1876), хирург из больницы Миддлсекса.

Осенью 1837 года Де Морган женился на Софии Элизабет Френд (1809–1892), старшей дочери Уильяма Френда (1757–1841), и Саре Блэкберн (1779–?), внучке Фрэнсиса Блэкберна (1705–1787). Архидиакон Кливлендский.

У Де Моргана было три сына и четыре дочери, в том числе автор сказок Мэри Де Морган . Его старшим сыном был гончар Уильям Де Морган . Его второй сын, Джордж, получил отличие по математике в Университетском колледже и Лондонском университете.

Де Морган был полон личных особенностей. По случаю назначения его друга, лорда Брума, на пост ректора Эдинбургского университета Сенат предложил присвоить ему почетную степень доктора права. Д.; он отказался от этой чести как неправильное название. Он с юмором описывал себя, используя латинскую фразу « Homo paucarum literarum » (малописьменный человек), отражая его скромность в отношении своего обширного вклада в математику и логику.

Он не любил провинцию за пределами Лондона, и пока его семья наслаждалась морским отдыхом, а люди науки развлекались на заседании Британской ассоциации в деревне, он оставался в жарких и пыльных библиотеках мегаполиса. Он говорил, что чувствовал себя Сократом , который заявлял, что чем дальше он от Афин , тем дальше он от счастья. Он никогда не стремился стать членом Королевского общества и никогда не присутствовал на собраниях Общества; он сказал, что у него нет общих идей или симпатий с физическим философом. Его такое поведение, возможно, объяснялось его физической немощью, которая не позволяла ему быть ни наблюдателем, ни экспериментатором. Он никогда не голосовал на выборах и никогда не посещал Палату общин , Лондонский Тауэр или Вестминстерское аббатство .

пенсию и

Огастес Де Морган.

В 1866 году освободилась кафедра ментальной философии в Университетском колледже. Джеймс Мартино , священнослужитель -унитарианец и профессор ментальной философии, был формально рекомендован Сенатом в совет, но в совете были некоторые, кто возражал против священнослужителя-унитарианца, а другие возражали против теистической философии. Был назначен мирянин школы Бэйна и Спенсера . Де Морган посчитал, что старые стандарты религиозного нейтралитета были отменены, и немедленно подал в отставку. Ему было сейчас 60 лет. Его ученики обеспечили ему пенсию в размере 500 фунтов стерлингов в год, но последовали несчастья. Два года спустя умер его сын Джордж – «младший Бернулли», как Август любил слышать, как он его называл, намекая на выдающихся отца и сына-математика с таким именем. За этим ударом последовала смерть дочери. Через пять лет после ухода из Университетского колледжа Де Морган умер от нервного истощения 18 марта 1871 года.

Работает

Де Морган был плодовитым писателем, написав более 600 статей только в Penny Cyclopedia. Главным образом благодаря усилиям Пикока и Уэвелла в Кембридже было открыто Философское общество , и Де Морган внес в его состав четыре мемуара по основам алгебры и столько же по формальной логике. Лучшее изложение его взглядов на алгебру можно найти в книге « Тригонометрия и двойная алгебра» , опубликованной в 1849 году, а его ранний взгляд на формальную логику можно найти в книге, опубликованной в 1847 году. Его самая выдающаяся работа называется « Бюджет парадоксов »; первоначально оно появилось в виде писем в колонках журнала «Атенеум» ; он был переработан и расширен Де Морганом в последние годы его жизни и опубликован посмертно его вдовой.

Переписка

Де Морган был блестящим и остроумным писателем, как полемистом, так и корреспондентом. В его время процветали два сэра Уильяма Гамильтона, которых часто смешивали. Одним из них был Уильям Гамильтон , шотландец, профессор логики и метафизики Эдинбургского университета ; другой был рыцарем (то есть завоевавшим этот титул), ирландцем, профессором астрономии Дублинского университета.

Да будет вам известно, что я обнаружил, что вы и другой сэр У.Х. являетесь по отношению ко мне противоположными полюсами (интеллектуально и морально, поскольку шотландский баронет — это белый медведь, а вы, я собирался сказать, — полярный джентльмен). ). Когда я отправляю небольшое расследование в Эдинбург, WH в этом роде говорит, что я взял его у него. Когда я посылаю вам одну, вы берете ее у меня, обобщаете ее с первого взгляда, даруете ее, таким образом, обобщенной обществу в целом, и делаете меня вторым открывателем известной теоремы.

Переписка Де Моргана с У. Р. Гамильтоном математиком продолжалась более двадцати четырех лет; он содержит дискуссии не только по математическим вопросам, но и по темам, представляющим общий интерес. Оно отмечено сердечностью со стороны Гамильтона и остроумием со стороны Де Моргана. Ниже приведен образец:

Гамильтон писал:

Моя копия работы Беркли не моя; Как и Беркли, вы знаете, я ирландец.

Де Морган ответил:

Ваша фраза "моя копия не моя" - это не бык . В английском языке совершенно нормально использовать одно и то же слово в двух разных значениях в одном предложении, особенно когда оно употребляется. Несоответствие языка не является быком, поскольку оно выражает смысл. Но несоответствие идей (как в случае с ирландцем, который тянул веревку и, обнаружив, что она не дотянулась, закричал, что кто-то отрезал ее другой конец) — это настоящая бычья.

Тригонометрия и двойная алгебра

Работа Де Моргана под названием «Тригонометрия и двойная алгебра». состоит из двух частей, первая из которых представляет собой трактат по тригонометрии , а вторая — трактат по обобщенной алгебре, которую он назвал «двойной алгеброй». Первым этапом развития алгебры является арифметика только натуральные числа и символы таких операций, как + , × , где используются и т. д. Следующий этап — универсальная арифметика , где вместо чисел появляются буквы, чтобы универсально обозначать числа, и процессы проводятся без знания значений символов. Пусть a и b обозначают любые натуральные числа. Выражение типа a − b все еще может быть невозможным, поэтому в универсальной арифметике всегда есть оговорка, если операция возможна . Третий этап — одиночная алгебра , где символ может обозначать количество в прямом или обратном направлении и адекватно представлен отрезками прямой, проходящей через начало координат. Отрицательные величины тогда уже невозможны; они представлены обратным сегментом. Но невозможность все же остается в последней части такого выражения, как a + b √ −1 , возникающий при решении квадратного уравнения. Четвертый этап – двойная алгебра . Алгебраический символ обозначает, вообще, отрезок прямой в данной плоскости. Это двойной символ, поскольку он включает в себя две характеристики, а именно длину и направление, а √ −1 интерпретируется как обозначение квадранта. Тогда выражение a + b √ −1 представляет линию на плоскости, имеющую абсциссу a и ординату b . Арган и Уоррен до сих пор занимались двойной алгеброй, но они не смогли интерпретировать на основе этой теории такое выражение, как e ^{a √ −1} . Де Морган попытался это сделать, приведя такое выражение к форме b + q √ −1 , и считал, что показал, что его всегда можно привести таким образом. Примечателен тот факт, что эта двойная алгебра удовлетворяет всем перечисленным выше фундаментальным законам, и, поскольку каждая, казалось бы, невозможная комбинация символов была интерпретирована, она выглядит как полная форма алгебры. В главе 6 он представил гиперболические функции и обсудил связь между общей и гиперболической тригонометрией .

Если приведенная выше теория верна, то следующим этапом развития должна стать тройная алгебра, и если a + b √ −1 действительно представляет линию в данной плоскости, должно быть возможно найти третий член, который, добавленный к вышеизложенное будет представлять собой линию в пространстве. Арган и некоторые другие догадались, что это a + b √ −1 + c √ −1. ^{√ −1} , хотя это противоречит установленной Эйлером истине о том, что √ −1 ^{√ −1} = и ^-p/2 . Де Морган и многие другие усердно работали над этой проблемой, но из этого ничего не вышло, пока проблемой не занялся Гамильтон. Теперь мы ясно видим причину: символ двойной алгебры обозначает не длину и направление, а множитель и угол . В нем углы приурочены к одной плоскости. Следовательно, следующим этапом будет четверная алгебра , когда ось плоскости будет сделана переменной. И это дает ответ на первый вопрос: двойная алгебра — это не что иное, как аналитическая плоская тригонометрия, и именно поэтому она оказалась естественным анализом переменных токов. Но Де Морган никогда не заходил так далеко. Он умер с убеждением, что «двойная алгебра должна оставаться полным развитием концепций арифметики, поскольку речь идет о тех символах, которые непосредственно предполагает арифметика».

В главе II книги II, следуя цитированному выше отрывку о теории символической алгебры, Де Морган приступает к описанию основных символов алгебры, а также к описанию законов алгебры. Символы $0$, $1$, $+$, $-$, $\times$, $\div$, $()$⁽⁾ и буквы; только они, все остальные являются производными. Как объясняет Де Морган, последний из этих символов представляет собой написание последнего выражения надстрочным индексом поверх и после первого. Его перечень фундаментальных законов разбит на четырнадцать разделов, но некоторые из них представляют собой просто определения. Предыдущий список символов относится к первой из этих глав. Собственно законы можно свести к следующим, которые, как он признает, не все независимы друг от друга, «но несимметричный характер показательной операции и отсутствие связующего процесса $+$ и $\times$ ... делает необходимым изложить их отдельно»:

1. Законы идентичности. $a=0+a=1\times a$, $=a+0=a-0=a\times 1=a\div 1$, $=0+1\times a$
2. Закон знаков. $+(+a)=+a,$ $+(-a)=-a,$ $-(+a)=-a,$ $-(-a)=+a,$ $\times (\times a)=\times a,$ $\times (\div a)=\div a,$ $\div (\times a)=\div a,$ $\div (\div a)=\times a$
3. Коммутативный закон. $a+b=b+a,$ $a\times b=b\times a$
4. Распределительный закон. $a(b+c)=ab+ac,$ $a(b-c)=ab-ac,$ $(b+c)\div a=(b\div a)+(c\div a),$ $(b-c)\div a=(b\div a)-(c\div a)$
5. Индексные законы. $a^{0}=1,$ $a^{1}=a,$ $(a\times b)^{c}=a^{c}\times b^{c},$ $a^{b}\times a^{c}=a^{b+c},$ $(a^{b})^{c}=a^{b\times c}$

Де Морган утверждает, что дал полный список законов, которым должны подчиняться символы алгебры, поскольку он говорит: «Любая система символов, которая подчиняется этим правилам и никаким другим, за исключением случаев, когда они образованы комбинацией этих правил и которая использует предшествующие символы и никакие другие, за исключением новых символов, изобретенных в виде сокращений комбинаций этих символов, — это символическая алгебра ». С его точки зрения, ни один из вышеперечисленных принципов не является правилом; это формальные законы, то есть произвольно выбранные отношения, которым должны подчиняться алгебраические символы. Он не упоминает о законе, на который уже указывал Григорий, а именно: $(a+b)+c=a+(b+c),(ab)c=a(bc)$и которому впоследствии было дано название « Закон об ассоциации» . Если коммутативный закон не работает, ассоциативный закон может оставаться в силе; но не наоборот . Символисту или формалисту прискорбно, что в универсальной арифметике $m^{n}$ не равен $n^{m}$; ибо тогда коммутативный закон имел бы полную силу. Почему он не дает этому полную свободу? Потому что основы алгебры, в конце концов, реальны, а не формальны, материальны, а не символичны. Для формалистов операции с индексами чрезвычайно упорны, вследствие чего некоторые не принимают их во внимание, а относят к прикладной математике. Дать перечень законов, которым должны подчиняться символы алгебры, — задача невыполнимая, и она немало напоминает задачу тех философов, которые пытаются дать инвентаризацию априорного знания разума.

Теория алгебры Джорджа Пикока была значительно усовершенствована Д. Ф. Грегори , более молодым членом Кембриджской школы, который делал упор не на постоянстве эквивалентных форм, а на постоянстве некоторых формальных законов. Эта новая теория алгебры как науки о символах и законах их сочетания была доведена до логического завершения Де Морганом, и его учению по этому предмету до сих пор следуют английские алгебраисты в целом. Так, Джордж Кристал основывает свой «Учебник алгебры» на теории Де Моргана, хотя внимательный читатель может заметить, что он практически отказывается от нее, когда берется за тему бесконечных рядов. Теория де Моргана изложена в книге II, главе II, озаглавленной «О символической алгебре», он пишет:

Отказываясь от значений символов, мы также отказываемся от значений слов, которые их описывают. Таким образом , сложение в настоящее время является звуком, лишенным смысла. Это способ сочетания, представленный $+$; когда $+$получает свое значение, то же самое получит и слово « сложение» . Очень важно, чтобы изучающий имел в виду, что, за одним исключением , ни одно слово или знак арифметики или алгебры не имеет ни одного атома значения во всей этой главе, предметом которой являются символы и законы их сочетания, дающие символическое значение. алгебра , которая впоследствии может стать грамматикой ста различных значимых алгебр . Если бы кто-нибудь стал утверждать, что $+$ и $-$ может означать награду и наказание, и $A$, $B$, $C$и т. д. могут обозначать добродетели и пороки, читатель может верить ему или противоречить ему, как ему заблагорассудится, — но не за пределами этой главы.

Единственным отмеченным выше исключением, которое имеет некоторый смысл, является знак $=$ помещается между двумя символами, как в $A=B$. Это указывает на то, что два символа имеют одинаковое результирующее значение, несмотря на разные шаги. Что $A$ и $B$, если количества, представляют собой одно и то же количество количества; что если операции, то они имеют одинаковый эффект и т. д.

Формальная логика

Дополнительная информация: законы Де Моргана.

Когда в Кембриджском университете возобновилось изучение математики, возобновилось и изучение логики. Движущим духом был Уэвелл, магистр Тринити-колледжа, основными трудами которого были « История индуктивных наук» и «Философия индуктивных наук» . Несомненно, в своих логических исследованиях Де Морган находился под влиянием Уэвелла, но другими влиятельными современниками были сэр Уильям Роуэн Гамильтон в Дублине и Джордж Буль в Корке. Работа де Моргана « Формальная логика» , опубликованная в 1847 году, принципиально примечательна разработкой численно определенного силлогизма . Последователи Аристотеля говорят, что из двух частных положений, таких как « Некоторые М являются А» и «Некоторые М являются Б», ничего не следует с необходимостью об отношении А и Б. Но они идут дальше и говорят, что для того, чтобы какое-либо отношение между А и В могло возникнуть с необходимостью, средний термин должен быть взят универсально в одной из посылок. Де Морган отметил, что большинство М — это А, а большинство М — В, из этого по необходимости следует, что некоторые А являются Б, и он сформулировал численно определенный силлогизм, который придает этому принципу точную количественную форму. Предположим, что число M равно $m$, из М, являющихся А, есть $a$, а из M, являющихся B, есть $b$; тогда есть по крайней мере $(a+b-m)$А это Б. Предположим, что число душ на борту парохода составило 1000, что 500 находились в салоне, а 700 погибли. Отсюда неизбежно следует, что погибло не менее 700 + 500 – 1000, то есть 200, пассажиров салона. Этого единственного принципа достаточно, чтобы доказать справедливость всех аристотелевских настроений. Следовательно, это фундаментальный принцип необходимых рассуждений.

К тому времени Де Морган добился большого прогресса, введя количественную оценку условий . В то время сэр Уильям Гамильтон преподавал в Эдинбурге доктрину количественной оценки предиката, и между ними завязалась переписка. Однако вскоре де Морган понял, что количественная оценка Гамильтона носит другой характер; что это означало, например, замену двух форм. Целое А является целым Б , а целое А является частью Б для аристотелевской формы. Все А есть Б. Гамильтон думал, что он поместил краеугольный камень в аристотелевскую арку, как он это выразил. Хотя это, должно быть, была любопытная арка, которая могла простоять 2000 лет без замкового камня, как следствие, у него не было места для нововведений Де Моргана. Он обвинил Де Моргана в плагиате, и споры бушевали в течение многих лет в колонках «Атенеума» и в публикациях двух писателей.

Мемуары по логике, которые Де Морган внес в журнал «Труды Кембриджского философского общества» после публикации его книги « Формальная логика» , безусловно, являются наиболее важным вкладом, который он внес в науку, особенно его четвертые мемуары, в которых он начинает работу в области логики. широкое поле «логики родственников».

Бюджет парадоксов

Во введении к «Бюджету парадоксов» Де Морган объясняет, что он подразумевает под этим словом:

Очень многие люди, начиная с появления математического метода, каждый сам за себя критиковали его прямые и косвенные последствия. Я буду называть каждого из этих людей парадоксом , а его систему — парадоксом . Я использую это слово в старом смысле: парадокс — это нечто, отличающееся от общего мнения либо по предмету, либо по методу, либо по заключению. Многие из выдвинутых вещей теперь будут называться «вывертами» , что является самым близким словом к старому парадоксу . Но есть та разница, что, называя вещь крючком, мы имеем в виду относиться к ней легкомысленно; это не было необходимым чувством парадокса. Так, в XVI веке многие говорили о движении Земли как о парадоксе Коперника и высоко ценили изобретательность этой теории, а некоторые, я думаю, даже склонялись к ней. В семнадцатом веке лишение смысла имело место, по крайней мере, в Англии.

Как отличить здравого парадокса от ложного парадокса? Де Морган предлагает следующий тест:

То, как парадоксатор проявит себя в смысле смысла или бессмыслицы, будет зависеть не от того, что он утверждает, а от того, получил ли он или не получил достаточные знания о том, что было сделано другими, особенно о способе делая это, предварительное изобретение знания для себя ... Новое знание, когда оно имеет какую-либо цель, должно прийти через созерцание старого знания во всем, что касается мышления; механическое приспособление иногда, но не очень часто, ускользает от этого правила. Все люди, которых теперь называют первооткрывателями, во всех вопросах, управляемых мыслью, были людьми, сведущими в умах своих предшественников и сведущими в том, что было до них. Нет ни одного исключения.

Бюджет состоит из обзора большой коллекции парадоксальных книг, которую Де Морган накопил в собственной библиотеке частично путем покупки на книжных прилавках, частично из книг , присланных ему на рецензию, и частично из книг, присланных ему авторами. Он дает следующую классификацию: квадратуры круга, трисекторы угла, удвоители куба, конструкторы вечного двигателя, ниспровергатели гравитации, застойники земли и строители вселенной. Вы еще найдете экземпляры всех этих классов в Новом Свете и в новом веке. Де Морган делится своими личными знаниями о парадоксах.

Я подозреваю, что знаю об английском языке больше, чем любой мужчина в Британии. Я никогда не вел никакого счета: но я знаю, что год за годом? и меньше в последние годы, чем в более раннее время? – Ежегодно я беседовал более чем с пятью, приводя более ста пятидесяти образцов. В этом я уверен, что это моя вина, если их не было тысячи. Никто не знает, как они роятся, кроме тех, к кому они естественным образом прибегают. Они принадлежат ко всем рангам и профессиям, всех возрастов и характеров. Они очень серьёзные люди, и их цель — добросовестное распространение своих парадоксов. Очень многие (а точнее, масса) неграмотны, многие растрачивают свои средства и находятся в нищете или приближаются к ней. Эти первооткрыватели презирают друг друга.

Парадоксом, которому Де Морган сделал комплимент, который Ахиллес сделал Гектору – снова и снова таскать его по стенам, – был Джеймс Смит, успешный торговец из Ливерпуля. Он нашел $\pi =3{\tfrac {1}{8}}$. Его способ рассуждения представлял собой любопытную карикатуру на доведение до абсурда Евклида. Он сказал, пусть $\pi =3{\tfrac {1}{8}}$, а затем показал, что при этом предположении любое другое значение $\pi$должно быть абсурдно. Следовательно, $\pi =3{\tfrac {1}{8}}$это истинная ценность. Ниже приводится образец того, как Де Морган тащился по стенам Трои:

Мистер Смит продолжает писать мне длинные письма, на которые намекает, что я должен ответить. В своей последней из 31 тщательно исписанной стороны бумаги он сообщает мне, ссылаясь на мое упрямое молчание, что, хотя я считаю себя и других считаю математическим Голиафом, я решил играть в математическую улитку и продолжать внутри моей оболочки. Математическая улитка ! Это не может быть так называемая вещь, регулирующая бой часов; поскольку это означало бы, что я должен заставить г-на Смита определять истинное время суток, чего я ни в коем случае не стал бы делать с часами, которые в каждом часе прибавляют 19 секунд с точностью до ложного квадратичного значения $\pi$. Но он осмеливается сказать мне, что камешки из пращи простой истины и здравого смысла в конечном итоге расколют мою скорлупу и выведут меня из строя . Забавна путаница образов: Голиаф, чтобы избежать опасности, превращается в улитку. $\pi =3{\tfrac {1}{8}}$и Джеймс Смит, эсквайр, из Совета доков Мерси: и вывели из строя гальку из пращи. Если бы Голиаф заполз в раковину улитки, Давид разбил бы филистимлянина ногой. Есть что-то вроде скромности в предположении, что камешек с трещинчатой ​​раковиной еще не подействовал; можно было подумать, что пращник уже запел бы – И трижды [и на одну восьмую] я разгромил всех своих врагов, И трижды [и на одну восьмую] я убил убитых.

В области чистой математики Де Морган мог легко отличить ложное от истинного парадокса, но в области физики он не был столь опытен. Его тесть был парадоксом, и его жена была парадоксом, и, по мнению философов-физиков, сам Де Морган едва спасся. Его жена написала книгу, описывающую явления спиритизма, стуканья по столу, столоверчения и т. д., а Де Морган написал предисловие, в котором сообщил, что знает некоторые из утверждаемых фактов, верит другим на основании показаний, но не притворяется чтобы узнать , были ли они вызваны духами или имели какое-то неизвестное и невообразимое происхождение. В этой альтернативе он исключил обычные материальные причины. Фарадей прочитал лекцию о спиритуализме , в которой заявил, что в исследовании мы должны исходить из идеи того, что физически возможно, а что невозможно; Де Морган не поверил этому.

Отношения

Де Морган разработал исчисление отношений в своей «Программе предлагаемой системы логики» (1966: 208–46), впервые опубликованной в 1860 году. Де Морган смог показать, что рассуждения с помощью силлогизмов можно заменить составлением отношений . Исчисление было описано как логика родственников Чарльзом Сандерсом Пирсом , который восхищался Де Морганом и встретился с ним незадолго до его смерти. Дальнейшее исчисление было расширено в третьем томе книги Эрнста Шредера « Vorlesungen über die Algebra der Logik» . Бинарные отношения , особенно теория порядка , оказались критически важными для Principia Mathematica Бертрана Рассела и Альфреда Норта Уайтхеда . В свою очередь, это исчисление стало предметом многих дальнейших работ, начиная с 1940 года, Альфреда Тарского и его коллег и студентов из Калифорнийского университета .

Спиритизм

Де Морган позже в своей жизни заинтересовался явлением спиритизма . В 1849 году он исследовал ясновидение и был впечатлен этим предметом. Позже он проводил расследования паранормальных явлений в своем собственном доме вместе с американским медиумом Марией Хейден. Результаты этих расследований позже были опубликованы его женой Софией. Де Морган считал, что его карьера как ученого могла бы пострадать, если бы он обнаружил свой интерес к изучению спиритизма, поэтому он помог опубликовать книгу анонимно. Книга была опубликована в 1863 году под названием « От материи к духу: результат десятилетнего опыта духовных проявлений» .

По словам историка Джанет Оппенгейм , жена Де Моргана София была убежденной спиритуалисткой, но Де Морган разделял третью позицию в отношении спиритуалистических явлений, которую Оппенгейм определил как «выжидательную позицию»; он не был ни верующим, ни скептиком. Вместо этого его точка зрения заключалась в том, что методология физических наук не исключает автоматически психические явления и что такие явления со временем могут быть объяснены возможным существованием природных сил, которые физики еще не определили.

В предисловии к книге « От материи к духу» (1863 г.) Де Морган заявил:

Полагая весьма вероятным, что Вселенная может содержать несколько агентов – скажем, полмиллиона – о которых никто ничего не знает, я не могу не подозревать, что небольшая часть этих агентов – скажем, пять тысяч – могут быть по-разному компетентны в производстве все [спиритуалистические] явления или может быть вполне подходящим среди них. Физические объяснения, которые я видел, просты, но совершенно недостаточны: спиритуалистическая гипотеза достаточна, но чрезвычайно трудна. Время и мысль решат, второй потребует от первого дополнительных результатов испытаний.

Психический исследователь Джон Белофф писал, что Де Морган был первым известным ученым в Великобритании, который проявил интерес к изучению спиритизма, и его исследования повлияли на решение Уильяма Крукса также изучать спиритизм. Белофф также утверждает, что Де Морган был атеистом , и поэтому его отстранили от должности в Оксфорде или Кембридже.

Наследие

Помимо его математического наследия, штаб-квартира Лондонского математического общества называется Домом Де Моргана, а главной наградой, присуждаемой Обществом, является медаль Де Моргана .

Студенческое общество математического факультета Университетского колледжа Лондона называется Обществом Огастеса Де Моргана.

лунный кратер Де Морган В его честь назван .

Избранные произведения

• Объяснение гномической проекции сферы . Лондон: Болдуин. 1836.
• Элементы тригонометрии и тригонометрического анализа . Лондон: Тейлор и Уолтон. 1837а.
• Элементы алгебры . Лондон: Тейлор и Уолтон. 1837б.
• Эссе о вероятностях и их применении к жизненным непредвиденным обстоятельствам и страховым конторам . Лондон: Лонгман, Орм, Браун, Грин и Лонгманс. 1838.
• Элементы арифметики . Лондон: Тейлор и Уолтон. 1840а.
• Первые понятия логики, подготовка к изучению геометрии . Лондон: Тейлор и Уолтон. 1840б.
• Дифференциальное и интегральное исчисление . Лондон: Болдуин. 1842.
• Глобусы, Небесные и Земные . Лондон: Малби и компания, 1845 г.
• Формальная логика или исчисление умозаключений, необходимых и вероятных . Лондон: Тейлор и Уолтон. 1847.
• Тригонометрия и двойная алгебра . Лондон: Тейлор, Уолтон и Малбери. 1849.
• Программа предлагаемой системы логики . Лондон: Уолтон и Малбери. 1860.
• Бюджет парадоксов . Лондон: Лонгманс, Грин. 1872.

См. также

• История сериала Гранди
• Закон Мерфи
• Квадратура круга

Ссылки

Источники

• В данную статью включен текст из этого источника, находящегося в свободном доступе . Макфарлейн, Александр (1916). Лекции о десяти британских математиках девятнадцатого века (PDF) . Нью-Йорк: Джон Уайли и сыновья.
• Белофф, Джон (1997). Парапсихология: краткая история . Пэлгрейв Макмиллан. ISBN  978-0-312-17376-0 . Он кажется маловероятным новообращенным, учитывая, что его атеистические взгляды лишили его возможности работать в Оксфорде или Кембридже, но его увлечение спиритизмом было отчасти связано с его женой Софией.
• Конклин, Грофф (март 1955 г.). «5-звездочная полка Галактики» . Галактическая научная фантастика .
• Де Морган, София Элизабет; Де Морган, Август (1882). Мемуары Огастеса де Моргана: с отрывками из его писем . Лонгманс, Грин и компания. ISBN  978-1-108-01447-2 . Итак, вы назвали меня атеистом-бродягой, воображая, что Вольтер был атеистом: на самом деле он был теистом до фанатизма и в такой же степени антиреволюционером.
• Холлингс, Кристофер; Мартин, Урсула; Райс, Адриан (2017). «Математическая переписка Лавлейс-Де Морган: критическая переоценка» . История Математики . 44 (3): 202–231. дои : 10.1016/j.hm.2017.04.001 .
• Карпинский, Луи (1916). «Обзор: Бюджет парадоксов (2-е изд.) Огастеса Де Моргана» . Бык. амер. Математика. Соц . 22 (9): 468–471. дои : 10.1090/s0002-9904-1916-02839-4 .
• Меррилл, Дэниел Д. (2012). Огастес де Морган и логика отношений . Springer Science & Business Media. ISBN  978-94-009-2047-7 .
• Нельсон, Джеффри К. (1969). Спиритуализм и общество . Рутледж и К. Пол. ISBN  9780710062529 .
• Оппенгейм, Джанет (1985). Другой мир: спиритуализм и психические исследования в Англии, 1850–1914 гг . п. 335. ИСБН  0-521-34767-Х .
• Райс, Адриан Клиффорд (1997). Огастес Де Морган и развитие университетской математики в Лондоне в девятнадцатом веке (Диссертация). Миддлсексский университет.
• Ричардс, Джоан Л. (1987). «Огюст Де Морган, история математики и основы алгебры» . Исида . 78 (1): 6–30. дои : 10.1086/354328 .
• Симмонс, Шарлотта (2011). «Огастус Де Морган за кулисами» . Математический журнал колледжа . 42 (1): 33–40. дои : 10.4169/college.math.j.42.1.033 .
• https://www.britannica.com/biography/Augustus-De-Morgan

Дальнейшее чтение

• Джевонс, Уильям Стэнли (1878). «Огастус Де Морган» . энциклопедия Британская Том. VII (9-е изд.). стр. 64–67.
• Де Морган, София Элизабет (1882). Мемуары Огастеса Де Моргана . Лондон: Лонгманс, Грин и компания. Огастес Де Морган.
• Стивен, Лесли , изд. (1888). «Де Морган, Август» . Словарь национальной биографии . Том. 14. Лондон: Смит, Элдер и компания.
•  Кузен, Джон Уильям (1910), « Де Морган, Август », Краткий биографический словарь английской литературы , Лондон: JM Dent & Sons - через Wikisource
• Де Морган, А., 1966. Логика: о силлогизме и других логических произведениях . Хит, П., изд. Рутледж. Полезный сборник важных работ Де Моргана по логике.
• Граттан-Гиннесс, Айвор (2000). В поисках математических корней 1870–1940 гг . Издательство Принстонского университета.

Внешние ссылки

• Работы Огастеса Де Моргана в Project Gutenberg
• Работы Огастеса Де Моргана или о нем в Internet Archive
• Работы Огастеса Де Моргана в LibriVox (аудиокниги, являющиеся общественным достоянием)
• О'Коннор, Джон Дж.; Робертсон, Эдмунд Ф. , «Огюст Де Морган» , Архив истории математики MacTutor , Университет Сент-Эндрюс
• Документы Огастеса Де Моргана, хранящиеся в Сенатской библиотеке Лондонского университета.
• Библиотека Огастеса Де Моргана
• «Архивные материалы, касающиеся Огастеса Де Моргана» . Национальный архив Великобритании .
• Портреты Огастеса Де Моргана в Национальной портретной галерее, Лондон