Логика

Эта статья посвящена изучению правильных рассуждений. Чтобы узнать о других значениях, см. Логика (значения) и Логик (значения) .

«Логично» и «Логически» перенаправляются сюда. Чтобы узнать о рэпере, см. Logic (рэпер) . Чтобы узнать о британской компании, см. «Логически (компания)» .

Логика изучает действительные формы вывода, такие как modus ponens .

Логика – это изучение правильных рассуждений . Он включает в себя как формальную , так и неформальную логику . Формальная логика – это изучение дедуктивно обоснованных выводов или логических истин . Он исследует, как выводы следуют из посылок только благодаря структуре аргументов, независимо от их темы и содержания. Неформальная логика связана с неформальными заблуждениями , критическим мышлением и теорией аргументации . Он исследует аргументы, выраженные на естественном языке , тогда как формальная логика использует формальный язык . При использовании в качестве исчисляемого существительного термин «логика» относится к логической формальной системе , которая формулирует систему доказательства . Логика играет центральную роль во многих областях, таких как философия , математика , информатика и лингвистика .

Логика изучает аргументы, которые состоят из набора посылок и заключения. Примером может служить аргумент от посылок «сегодня воскресенье» и «если сегодня воскресенье, то мне не нужно работать» до вывода «мне не нужно работать». Посылки и выводы выражают предположения или утверждения, которые могут быть истинными или ложными. Важной особенностью предложений является их внутренняя структура. Например, сложные предложения состоят из более простых предложений, связанных логическим словарем , например $\land$ ( и ) или $\to$ ( если... то ). В простых предложениях также есть части, например «воскресенье» или «работа» в примере. Истинность предложения обычно зависит от значений всех его частей. Однако это не относится к логически истинным суждениям. Они истинны только благодаря своей логической структуре, независимой от конкретных значений отдельных частей.

Аргументы могут быть как правильными, так и неверными. Аргумент правилен, если его предпосылки подтверждают его вывод. Дедуктивные аргументы имеют самую сильную форму поддержки: если их посылки верны, то и их выводы также должны быть верными. Это не относится к амплиативным аргументам, которые приводят к действительно новой информации, не найденной в посылках. Многие аргументы в повседневном дискурсе и науке являются амплиативными аргументами. Они делятся на индуктивные и абдуктивные аргументы. Индуктивные аргументы представляют собой статистические обобщения, например, вывод о том, что все вороны черные, на основе многих индивидуальных наблюдений за черными воронами. Абдуктивные аргументы — это выводы о наилучшем объяснении, например, когда врач приходит к выводу, что у пациента есть определенное заболевание, которое объясняет симптомы, от которых он страдает. Аргументы, которые не соответствуют стандартам правильного рассуждения, часто содержат заблуждения . Системы логики представляют собой теоретическую основу для оценки правильности аргументов.

Логику изучают с античных времен . Ранние подходы включают аристотелевскую логику , логику стоиков , ньяю и мохизм . Аристотелевская логика фокусируется на рассуждениях в форме силлогизмов . Она считалась основной системой логики в западном мире, пока ее не заменила современная формальная логика, корни которой лежат в работах математиков конца XIX века, таких как Готтлоб Фреге . Сегодня наиболее используемой системой является классическая логика . Она состоит из логики высказываний и логики первого порядка . Пропозициональная логика рассматривает только логические отношения между полными предложениями. Логика первого порядка также учитывает внутренние части предложений, такие как предикаты и кванторы . Расширенная логика принимает основные интуиции классической логики и распространяет ее на другие области, такие как метафизика , этика и эпистемология . С другой стороны, девиантная логика отвергает некоторые классические интуиции и предлагает альтернативные объяснения основных законов логики.

Определение

Слово «логика» происходит от греческого слова «logos», которое имеет множество переводов, таких как разум , дискурс или язык . Логика традиционно определяется как изучение законов мышления или правильных рассуждений . и обычно понимается в терминах умозаключений или аргументов . Рассуждение – это деятельность по выведению умозаключений. Аргументы — это внешнее выражение умозаключений. Аргумент – это совокупность посылок и заключения. Логику интересует, верны ли аргументы, т. е. подтверждают ли их предпосылки вывод. Эти общие характеристики применимы к логике в самом широком смысле, т. е. как к формальной , так и к неформальной логике, поскольку обе они связаны с оценкой правильности аргументов. Формальная логика является традиционно доминирующей областью, и некоторые логики ограничивают логику формальной логикой.

Формальная логика

Дополнительная информация: Формальная система.

Формальная логика также известна как символическая логика и широко используется в математической логике . Он использует формальный подход к изучению рассуждений: он заменяет конкретные выражения абстрактными символами, чтобы исследовать логическую форму аргументов независимо от их конкретного содержания. В этом смысле он нейтральен по отношению к теме, поскольку касается только абстрактной структуры аргументов, а не их конкретного содержания.

Формальная логика заинтересована в дедуктивно обоснованных аргументах, для которых истинность их посылок обеспечивает истинность их выводов. Это означает, что посылки не могут быть истинными, а вывод — ложным. Для действительных аргументов логическая структура посылок и заключения следует шаблону, называемому правилом вывода . Например, modus ponens — это правило вывода, согласно которому все аргументы вида «(1) p , (2) если p , то q , (3) следовательно, q термины p и q. » действительны, независимо от того, что обозначают для. В этом смысле формальную логику можно определить как науку о достоверных выводах. Альтернативное определение рассматривает логику как исследование логических истин . Предложение логически истинно, если его истинность зависит только от используемого в нем логического словаря. Это означает, что оно истинно во всех возможных мирах и при всех интерпретациях его нелогических терминов, таких как утверждение «либо идет дождь, либо его нет». Эти два определения формальной логики не идентичны, но тесно связаны. Например, если вывод от p к q дедуктивно верен, то утверждение «если p, то q » является логической истиной.

Формальная логика должна переводить аргументы естественного языка на формальный язык, например логику первого порядка, чтобы оценить, являются ли они действительными. В этом примере буква «c» представляет Кармен, а буквы «M» и «T» означают «мексиканца» и «учителя». Символ «∧» имеет значение «и».

Формальная логика использует формальные языки для выражения и анализа аргументов. Обычно у них очень ограниченный словарный запас и точные синтаксические правила . Эти правила определяют, как их символы можно комбинировать для построения предложений, так называемых правильно построенных формул . Эта простота и точность формальной логики позволяют формулировать точные правила вывода. Они определяют, является ли данный аргумент действительным. Из-за использования формального языка аргументы на естественном языке не могут быть изучены напрямую. Вместо этого их необходимо перевести на формальный язык, прежде чем можно будет оценить их достоверность.

Термин «логика» также может использоваться в несколько ином смысле как исчисляемое существительное. В этом смысле логика представляет собой логическую формальную систему. Различные логики отличаются друг от друга правилами вывода, которые они принимают за действительные, и формальными языками, используемыми для их выражения. Начиная с конца 19 века, было предложено множество новых формальных систем. Существуют разногласия относительно того, что делает формальную систему логикой. Например, было высказано предположение, что только логически завершенные системы, такие как логика первого порядка , могут считаться логиками. По этим причинам некоторые теоретики отрицают, что логика высшего порядка является логикой в ​​строгом смысле слова.

Неформальная логика

Основная статья: Неформальная логика

В широком смысле логика включает в себя как формальную, так и неформальную логику. Неформальная логика использует неформальные критерии и стандарты для анализа и оценки правильности аргументов. Основное внимание уделяется повседневному дискурсу. Его развитие было вызвано трудностями применения идей формальной логики к аргументам на естественном языке. В связи с этим он рассматривает проблемы, которые формальная логика сама по себе не способна решить. Оба предоставляют критерии для оценки правильности аргументов и отличия их от ошибочных.

Было предложено множество характеристик неформальной логики, но нет общего согласия относительно ее точного определения. Самый буквальный подход рассматривает термины «формальный» и «неформальный» как применимые к языку, используемому для выражения аргументов. С этой точки зрения неформальная логика изучает аргументы, сформулированные на неформальном или естественном языке. Формальная логика может исследовать их только косвенно, сначала переводя на формальный язык, тогда как неформальная логика исследует их в их первоначальной форме. С этой точки зрения аргумент «Птицы летают. Твити — птица. Следовательно, Твити летает». принадлежит естественному языку и исследуется неформальной логикой. Но формальный перевод" (1) $\forall x(Bird(x)\to Flies(x))$; (2) $Bird(Tweety)$; (3) $Flies(Tweety)$" изучается формальной логикой. Изучение аргументов естественного языка сопряжено с различными трудностями. Например, выражения естественного языка часто двусмысленны, расплывчаты и зависят от контекста. Другой подход определяет неформальную логику в широком смысле как нормативное исследование стандартов, критериев и процедур аргументации. В этом смысле он включает вопросы о роли рациональности , критического мышления и психологии аргументации.

Другая характеристика отождествляет неформальную логику с изучением недедуктивных аргументов. В этом смысле он контрастирует с дедуктивными рассуждениями, рассматриваемыми формальной логикой. Недедуктивные аргументы делают вывод вероятным, но не гарантируют его истинности. Примером может служить индуктивный аргумент от эмпирического наблюдения о том, что «все вороны, которых я видел до сих пор, черные» до вывода «все вороны черные».

Следующий подход состоит в том, чтобы определить неформальную логику как исследование неформальных заблуждений . Неформальные заблуждения – это неверные аргументы, в которых присутствуют ошибки в содержании и контексте аргумента. предполагает ложная дилемма Например, ошибку в содержании, исключающую жизнеспособные варианты. Так обстоит дело с заблуждением «ты либо с нами, либо против нас; ты не с нами, следовательно, ты против нас». Некоторые теоретики утверждают, что формальная логика изучает общую форму аргументов, а неформальная логика изучает конкретные случаи аргументов. значение содержательных понятий Другой подход состоит в том, чтобы утверждать, что формальная логика учитывает только роль логических констант для правильных выводов, в то время как неформальная логика также принимает во внимание . Дальнейшие подходы сосредоточены на обсуждении логических тем с формальными приемами или без них, а также на роли эпистемологии в оценке аргументов.

Основные понятия

и

и

Основные статьи: Предпосылка и логическое следствие

Посылки и выводы являются основными частями умозаключений или аргументов и поэтому играют центральную роль в логике. В случае правильного вывода или правильного аргумента вывод следует из посылок или, другими словами, предпосылки поддерживают вывод. Например, предпосылки «Марс красный» и «Марс — планета» подтверждают вывод «Марс — красная планета». Для большинства типов логики принято, что посылки и выводы должны быть носителями истины . Это означает, что они имеют истинностное значение : они либо истинны, либо ложны. Современная философия обычно рассматривает их либо как предложения , либо как предложения . Предложения являются обозначениями предложений и обычно рассматриваются как абстрактные объекты . Например, английское предложение «дерево зеленое» отличается от немецкого предложения «der Baum ist grün», но оба выражают одно и то же предложение.

Пропозициональные теории посылок и заключений часто подвергаются критике, поскольку они опираются на абстрактные объекты. Например, философы-натуралисты обычно отвергают существование абстрактных объектов. Другие аргументы касаются проблем, связанных с определением критериев тождественности предложений. Этих возражений можно избежать, если рассматривать посылки и выводы не как предложения, а как предложения, то есть как конкретные лингвистические объекты, подобные символам, изображенным на странице книги. Но этот подход сопряжен с новыми проблемами: предложения часто контекстно-зависимы и двусмысленны, а это означает, что достоверность аргумента будет зависеть не только от его частей, но также от его контекста и от того, как он интерпретируется. Другой подход состоит в том, чтобы понимать предпосылки и выводы в психологических терминах как мысли или суждения. Эта позиция известна как психологизм . Это широко обсуждалось на рубеже 20-го века, но сегодня оно не получило широкого признания.

Внутренняя структура

Посылки и выводы имеют внутреннюю структуру. Как предложения или предложения, они могут быть как простыми, так и сложными. В состав сложного предложения входят другие предложения, которые связаны друг с другом посредством пропозициональных связок, таких как «и» или «если… то». Простые предложения, напротив, не имеют пропозициональных частей. Но их также можно представить как имеющие внутреннюю структуру: они состоят из субпредложенных частей, подобно сингулярным терминам и предикатам . Например, простое предложение «Марс красный» можно образовать, применив предикат «красный» к единственному слову «Марс». Напротив, сложное предложение «Марс красный, а Венера белая» составлено из двух простых предложений, соединенных пропозициональной связкой «и».

Истинность утверждения зависит, по крайней мере частично, от его составляющих. Для сложных предложений, образованных с помощью истинностно-функциональных пропозициональных связок, их истинность зависит только от истинностных значений их частей. Но это отношение более сложное в случае простых предложений и их субпредставительных частей. Эти субпредставительные части имеют собственное значение, например, относятся к объектам или классам объектов. Истинность простого предложения, которое они формируют, зависит от их отношения к реальности, т. е. от того, на что похожи объекты, на которые они ссылаются. Эту тему изучают теории референции .

Логическая истина

Основная статья: Логическая истина

Некоторые сложные предложения истинны независимо от содержательных значений их частей. В классической логике, например, сложное предложение «либо Марс красный, либо Марс не красный» истинно независимо от того, истинны или ложны его части, как простое предложение «Марс красный». В таких случаях истина называется логической истиной: предложение логически истинно, если его истинность зависит только от используемого в нем логического словаря. Это означает, что это верно при всех интерпретациях его нелогических терминов. В некоторых модальных логиках это означает, что предложение истинно во всех возможных мирах. Некоторые теоретики определяют логику как исследование логических истин.

Таблицы истинности

Таблицы истинности можно использовать, чтобы показать, как работают логические связки или как значения истинности сложных предложений зависят от их частей. У них есть столбец для каждой входной переменной. Каждая строка соответствует одной возможной комбинации значений истинности, которые могут принимать эти переменные; для таблиц истинности, представленных в английской литературе, символы «T» и «F» или «1» и «0» обычно используются в качестве сокращений для значений истинности «истина» и «ложь». В первых столбцах представлены все возможные комбинации истинностных значений для входных переменных. Записи в других столбцах представляют значения истинности соответствующих выражений, определенные входными значениями. Например, выражение « $p\land q$" использует логическую связку $\land$ ( и ). Его можно использовать для выражения предложения типа «вчера было воскресенье, и погода была хорошая». Это верно только в том случае, если обе его входные переменные $p$ («вчера было воскресенье») и $q$ («погода была хорошая»), это правда. Во всех остальных случаях выражение в целом ложно. Другими важными логическими связями являются $\lnot$ ( нет ), $\lor$ ( или ), $\to$ ( если... то ) и $\uparrow$ ( Sheffer stroke ). Учитывая условное суждение $p\to q$, можно составить таблицы истинности его обратного $q\to p$, его инверсия ( $\lnot p\to \lnot q$) , и его контрапозитив ( $\lnot q\to \lnot p$) . Таблицы истинности также могут быть определены для более сложных выражений, в которых используются несколько пропозициональных связок.

Таблица истинности различных выражений

п	д	п ∧ q	п ∨ q	п → д	¬p → ¬q	п $\uparrow$ д
Т	Т	Т	Т	Т	Т	Ф
Т	Ф	Ф	Т	Ф	Т	Т
Ф	Т	Ф	Т	Т	Ф	Т
Ф	Ф	Ф	Ф	Т	Т	Т

Аргументы и выводы

Основные статьи: Аргумент и вывод

Логика обычно определяется с точки зрения аргументов или выводов как исследование их правильности. Аргумент – это совокупность посылок и заключения. Вывод – это процесс рассуждения от этих посылок к заключению. Но в логике эти термины часто используются как взаимозаменяемые. Аргументы являются правильными или неправильными в зависимости от того, подтверждают ли их предпосылки их вывод. С другой стороны, предпосылки и выводы могут быть истинными или ложными в зависимости от того, соответствуют ли они реальности. В формальной логике здравый аргумент — это аргумент, который одновременно верен и имеет только истинные предпосылки. Иногда различают простые и сложные аргументы. Сложный аргумент состоит из цепочки простых аргументов. Это означает, что заключение одного аргумента выступает в качестве предпосылки для последующих аргументов. Чтобы сложный аргумент был успешным, каждое звено цепи должно быть успешным.

Терминология аргументов, используемая в логике

Аргументы и выводы либо правильные, либо неправильные. Если они правы, то их предпосылки подтверждают их вывод. В неправильном случае эта поддержка отсутствует. Оно может принимать разные формы, соответствующие разным типам рассуждений . Самая сильная форма поддержки соответствует дедуктивному рассуждению . Но даже аргументы, которые не являются дедуктивно обоснованными, могут по-прежнему оставаться хорошими аргументами, поскольку их предпосылки обеспечивают недедуктивную поддержку их выводов. термин амплиативное или индуктивное рассуждение . В таких случаях используется Дедуктивные аргументы связаны с формальной логикой в ​​отличие от отношений между амплиативными аргументами и неформальной логикой.

Дедуктивный

Дедуктивно валидный аргумент — это аргумент, посылки которого гарантируют истинность его вывода. Например, аргумент «(1) все лягушки являются амфибиями; (2) ни одна кошка не является амфибией; (3) следовательно, ни одна кошка не является лягушкой» дедуктивно верен. Для дедуктивной валидности не имеет значения, верны ли на самом деле посылки или вывод. Таким образом, аргумент «(1) все лягушки являются млекопитающими; (2) ни одна кошка не является млекопитающим; (3) следовательно, ни одна кошка не является лягушкой» также действителен, поскольку вывод обязательно следует из посылок.

Согласно влиятельной точке зрения Альфреда Тарского , дедуктивные аргументы имеют три существенные особенности: (1) они формальны, т. е. зависят только от формы посылок и заключения; (2) они априорны, т.е. не требуется никакого чувственного опыта, чтобы определить, имеют ли они место; (3) они модальны, т. е. выполняются по логической необходимости для данных предложений, независимо от каких-либо других обстоятельств.

Из-за первой особенности — ориентации на формальность — дедуктивный вывод обычно отождествляют с правилами вывода. Правила вывода определяют форму посылок и вывода: как они должны быть структурированы, чтобы вывод был действительным. Аргументы, не подчиняющиеся никаким правилам вывода, дедуктивно недействительны. Modus ponens — это известное правило вывода. Оно имеет вид « p ; если p , то q ; следовательно, q ». Зная, что только что прошел дождь ( $p$) и что после дождя улицы мокрые ( $p\to q$), можно использовать modus ponens, чтобы сделать вывод, что улицы мокрые ( $q$).

Третью особенность можно выразить, заявив, что дедуктивно верные выводы сохраняют истину: не может быть, чтобы посылки были истинными, а заключение было ложным. Из-за этой особенности часто утверждают, что дедуктивные выводы неинформативны, поскольку вывод не может привести к новой информации, еще не присутствующей в посылках. Но этот пункт не всегда принимается, поскольку это означало бы, например, что большая часть математики неинформативна. Другая характеристика различает информацию о поверхности и глубине. Поверхностная информация предложения — это информация, которую оно представляет явно. Информация о глубине – это совокупность информации, содержащейся в предложении как явно, так и неявно. Согласно этой точке зрения, дедуктивные выводы неинформативны на глубинном уровне. Но они могут быть очень информативными на поверхностном уровне, делая неявную информацию явной. Это происходит, например, в математических доказательствах.

Амплатив

Амплиативные аргументы — это аргументы, выводы которых содержат дополнительную информацию, отсутствующую в их посылках. В этом отношении они более интересны, поскольку содержат информацию на глубинном уровне и мыслитель может узнать что-то действительно новое. Но за эту особенность приходится платить определенную цену: предпосылки поддерживают вывод в том смысле, что они делают его истинность более вероятной, но не гарантируют его истинность. Это означает, что вывод амплиативного аргумента может быть ложным, даже если все его посылки истинны. Эта характеристика тесно связана с немонотонностью и осуществимостью : может возникнуть необходимость отказаться от предыдущего вывода при получении новой информации или в свете сделанных новых выводов. Амплиативное рассуждение играет центральную роль во многих аргументах, встречающихся в повседневном дискурсе и науке. Амплиативные аргументы не являются автоматически неверными. Вместо этого они просто следуют разным стандартам правильности. Поддержка, которую они оказывают своим выводам, обычно выражается в разной степени. Это означает, что сильные амплиативные аргументы делают вывод очень вероятным, тогда как слабые менее надежны. Как следствие, грань между правильными и неправильными аргументами в некоторых случаях размыта, например, когда предпосылки предлагают слабую, но немаловажную поддержку. Это контрастирует с дедуктивными аргументами, которые либо действительны, либо недействительны, и между ними нет ничего промежуточного.

Терминология, используемая для классификации амплиативных аргументов, непоследовательна. Некоторые авторы, такие как Джеймс Хоторн, используют термин « индукция » для обозначения всех форм недедуктивных аргументов. Но в более узком смысле индукция — это лишь один из типов амплиативных аргументов наряду с абдуктивными аргументами . Некоторые философы, такие как Лео Гроарк, также допускают кондуктивные аргументы. как еще один тип. В этом узком смысле индукцию часто определяют как форму статистического обобщения. В этом случае предпосылками индуктивного аргумента являются множество отдельных наблюдений, все из которых демонстрируют определенную закономерность. Таким образом, выводом является общий закон, согласно которому эта закономерность всегда действует. В этом смысле можно сделать вывод, что «все слоны серые», основываясь на прошлых наблюдениях за цветом слонов. Близкородственная форма индуктивного вывода имеет в качестве вывода не общий закон, а еще один конкретный пример, например, когда делается вывод, что слон, которого вы еще не видели, тоже серый. Некоторые теоретики, такие как Игорь Дувен, утверждают, что индуктивные выводы основаны только на статистических соображениях. Таким образом, их можно отличить от абдуктивного вывода.

Абдуктивный вывод может учитывать или не учитывать статистические наблюдения. В любом случае посылки поддерживают вывод, поскольку вывод является лучшим объяснением того, почему посылки верны. В этом смысле похищение также называют выводом к лучшему объяснению . Например, если предположить, что ранним утром на кухне стоит тарелка с сухарями, можно сделать вывод, что ваш сосед по дому перекусил в полночь и слишком устал, чтобы убирать со стола. Этот вывод оправдан, поскольку является лучшим объяснением нынешнего состояния кухни. Для похищения недостаточно того, чтобы заключение объясняло посылки. Например, вывод о том, что грабитель ворвался в дом прошлой ночью, проголодался на работе и перекусил в полночь, также может объяснить состояние кухни. Но этот вывод неоправдан, поскольку не является лучшим и наиболее вероятным объяснением.

Заблуждения

Не все аргументы соответствуют стандартам правильного рассуждения. Когда они этого не делают, их обычно называют заблуждениями . Их центральный аспект не в том, что их вывод ложен, а в том, что в рассуждениях, ведущих к этому заключению, есть некоторый изъян. Таким образом, аргумент «сегодня солнечно; следовательно, у пауков восемь ног» ошибочен, хотя вывод верен. Некоторые теоретики, такие как Джон Стюарт Милль , дают более ограничительное определение заблуждений, дополнительно требуя, чтобы они выглядели правильными. Таким образом, можно отличить подлинные заблуждения от простых ошибок рассуждений, вызванных невнимательностью. Это объясняет, почему люди склонны совершать заблуждения: потому что в них есть заманчивый элемент, который соблазняет людей совершать и принимать их. Однако эта ссылка на внешность спорна, поскольку она принадлежит области психологии , а не логики, и потому что внешность может быть разной для разных людей.

Дилемма молодой Америки: буду ли я мудрым и великим или богатым и могущественным? (плакат 1901 года) Это пример ложной дилеммы : неформальное заблуждение, использующее дизъюнктивную предпосылку, исключающую жизнеспособные альтернативы.

Заблуждения обычно делят на формальные и неформальные заблуждения. Для формальных ошибок источник ошибки находится в форме аргумента. Например, отрицание антецедента является одним из видов формальной ошибки, например: «Если Отелло - холостяк, то он мужчина; Отелло - не холостяк; следовательно, Отелло - не мужчина». Но большинство заблуждений попадает в категорию неформальных заблуждений, большое разнообразие которых обсуждается в академической литературе. Источник их ошибки обычно находится в содержании или контексте аргумента. Неформальные заблуждения иногда классифицируют как заблуждения двусмысленности, заблуждения презумпции или заблуждения релевантности. За ошибки двусмысленности ответственны двусмысленность и неясность естественного языка, например, «перья светлые; то, что светлое, не может быть темным; следовательно, перья не могут быть темными». Заблуждения презумпции имеют неверную или неоправданную предпосылку, но могут быть действительными в противном случае. В случае ошибок релевантности посылки не подтверждают вывод, поскольку они не имеют к нему отношения.

и

Основное внимание большинства логиков уделяется изучению критериев, согласно которым аргумент является правильным или неправильным. Заблуждение совершается, если эти критерии нарушаются. В случае формальной логики они известны как правила вывода . Это определяющие правила, которые определяют, является ли вывод правильным или какие выводы допустимы. Определенные правила контрастируют со стратегическими правилами. Стратегические правила определяют, какие логические выводы необходимы для достижения определенного вывода на основе набора предпосылок. Это различие применимо не только к логике, но и к играм. В шахматах , например, определенные правила диктуют, что слоны могут ходить только по диагонали. С другой стороны, стратегические правила описывают, как разрешенные ходы можно использовать для победы в игре, например, путем контроля центра или защиты своего короля . Утверждалось, что логики должны уделять больше внимания стратегическим правилам, поскольку они очень важны для эффективного рассуждения.

Формальные системы

Основная статья: Формальная система

Формальная система логики состоит из формального языка вместе с набором аксиом и системы доказательств, используемой для получения выводов из этих аксиом. В логике аксиомы — это утверждения, принимаемые без доказательства. Они используются для обоснования других утверждений. Некоторые теоретики также включают семантику , которая определяет, как выражения формального языка соотносятся с реальными объектами. Начиная с конца 19 века, было предложено множество новых формальных систем.

Формальный язык состоит из алфавита и синтаксических правил. Алфавит — это набор основных символов, используемых в выражениях . Синтаксические правила определяют, как эти символы могут быть расположены для получения правильно построенных формул. Например, синтаксические правила логики высказываний определяют, что « $P\land Q$" это правильная формула, но " $\land Q$" нет, так как логический союз $\land$ требует условий с обеих сторон.

Система доказательств — это набор правил для построения формальных доказательств. Это инструмент, позволяющий прийти к выводам из набора аксиом. Правила в системе доказательства определяются с точки зрения синтаксической формы формул независимо от их конкретного содержания. Например, классическое правило введения союза гласит, что $P\land Q$ следует из помещения $P$ и $Q$. Такие правила можно применять последовательно, давая механическую процедуру получения выводов из посылок. Существуют различные типы систем доказательства, включая естественную дедукцию и секвенциальное исчисление .

Семантика . — это система сопоставления выражений формального языка с их обозначениями Во многих системах логики денотаты являются значениями истинности. Например, семантика классической логики высказываний присваивает формулу $P\land Q$ обозначение «истина» всякий раз, когда $P$ и $Q$ верны. С семантической точки зрения, посылка влечет за собой вывод, если вывод истинен всякий раз, когда посылка верна.

Система логики является надежной , если ее система доказательства не может вывести вывод из набора посылок, если он семантически не вытекает из них. Другими словами, его система доказательств не может привести к ложным выводам, как это определено семантикой. Система является полной, когда ее система доказательства может вывести любой вывод, семантически вытекающий из ее посылок. Другими словами, его система доказательств может привести к любому истинному выводу, определенному семантикой. Таким образом, надежность и полнота вместе описывают систему, понятия валидности и следствия которой идеально совпадают.

Системы логики

Системы логики представляют собой теоретические основы для оценки правильности рассуждений и аргументов. На протяжении более двух тысяч лет логика Аристотеля рассматривалась как канон логики в западном мире. но современные разработки в этой области привели к широкому распространению логических систем. Одна известная категоризация делит современные формальные логические системы на классическую логику , расширенную логику и девиантную логику .

Аристотелевский

Основная статья: Аристотелевская логика

Аристотелевская логика охватывает большое разнообразие тем. Они включают метафизические положения об онтологических категориях и проблемах научного объяснения. Но в более узком смысле оно тождественно термину логика или силлогистика. Силлогизм . – это форма аргументации, включающая три предложения: две посылки и заключение Каждое предложение состоит из трех основных частей: подлежащего , предиката и связки, соединяющей подлежащее со предикатом. Например, предложение «Сократ мудр» состоит из подлежащего «Сократ», сказуемого «мудрый» и связки «есть». Подлежащее и сказуемое являются членами предложения. Аристотелевская логика не содержит сложных предложений, состоящих из простых предложений. В этом аспекте она отличается от логики высказываний, в которой любые два предложения могут быть связаны с помощью логической связки типа «и» для образования нового сложного предложения.

Квадрат оппозиции часто используется для визуализации отношений между четырьмя основными категорическими положениями аристотелевской логики. Он показывает, например, что предложения «Все S есть P» и «Некоторые S не являются P» противоречивы, а это означает, что одно из них должно быть истинным, а другое ложным.

В аристотелевской логике субъект может быть универсальным , частным , неопределенным или единичным . Например, термин «все люди» является универсальным субъектом в предложении «все люди смертны». Аналогичное предложение можно было бы сформировать, заменив его конкретным термином «некоторые люди», неопределенным термином «человек» или единственным термином «Сократ».

Аристотелевская логика включает предикаты только для простых свойств сущностей. Но в нем отсутствуют предикаты, соответствующие отношениям между сущностями. Сказуемое может быть связано с подлежащим двумя способами: либо путем его утверждения, либо путем его отрицания. Например, предложение «Сократ не кот» предполагает отрицание предиката «кот» к субъекту «Сократ». Используя сочетания подлежащих и предикатов, можно образовать самые разнообразные предложения и силлогизмы. Силлогизмы характеризуются тем, что посылки связаны друг с другом и с заключением посредством общего в каждом случае одного предиката. Таким образом, эти три предложения содержат три предиката, называемые главным термином , второстепенным термином и средним термином . Центральный аспект аристотелевской логики включает классификацию всех возможных силлогизмов на действительные и недействительные аргументы в зависимости от того, как формируются предложения. Например, силлогизм «все люди смертны; Сократ — человек; следовательно, Сократ смертен». С другой стороны, силлогизм «все кошки смертны; Сократ смертен; следовательно, Сократ — кот» недействителен.

Классический

Основная статья: Классическая логика

Классическая логика отличается от традиционной или аристотелевской логики. Она включает в себя логику высказываний и логику первого порядка. Он «классический» в том смысле, что основан на основных логических интуициях, разделяемых большинством логиков. Эти интуиции включают в себя закон исключенного третьего , устранение двойного отрицания , принцип взрыва и двувалентность истины. Первоначально он был разработан для анализа математических аргументов и лишь позже был применен и в других областях. Из-за такого внимания к математике он не включает логический словарь, относящийся ко многим другим темам, имеющим философское значение. Примерами концепций, которые он упускает из виду, являются контраст между необходимостью и возможностью, а также проблема этических обязательств и разрешений. Точно так же он не затрагивает отношения между прошлым, настоящим и будущим. Такие проблемы решаются с помощью расширенной логики. Они основываются на основных интуициях классической логики и расширяют ее, вводя новый логический словарь. Таким образом, точный логический подход применяется к таким областям, как этика или эпистемология, которые выходят за рамки математики.

Пропозициональная логика

Основная статья: Исчисление высказываний

Логика высказываний включает в себя формальные системы, в которых формулы строятся из атомарных предложений с использованием логических связок . Например, логика высказываний представляет собой соединение двух атомарных предложений. $P$ и $Q$ как комплексная формула $P\land Q$. В отличие от логики предикатов, где термины и предикаты являются наименьшими единицами, логика высказываний принимает полные предложения со значениями истинности в качестве своего основного компонента. Таким образом, пропозициональная логика может представлять только логические отношения, возникающие в результате построения сложных предложений из более простых. Но он не может представлять выводы, вытекающие из внутренней структуры предложения.

Логика первого порядка

Готлоба Фреге » В книге «Begriffschrift понятие квантора представлено в графической форме, которая здесь представляет собой суждение о том, что $\forall x.F(x)$ это правда.

Основная статья: Логика первого порядка

Логика первого порядка включает в себя те же пропозициональные связки, что и логика высказываний, но отличается от нее тем, что артикулирует внутреннюю структуру высказываний. Это происходит с помощью таких устройств, как сингулярные термины, которые относятся к конкретным объектам, предикаты , которые относятся к свойствам и отношениям, а также кванторы, которые обрабатывают такие понятия, как «некоторые» и «все». Например, для выражения предложения «этот ворон черный» можно использовать предикат $B$ для свойства «черный» и единственного числа $r$ обращение к ворону для образования выражения $B(r)$. Чтобы выразить, что некоторые объекты черные, используется квантор существования. $\exists$ объединяется с переменной $x$ сформировать предложение $\exists xB(x)$. Логика первого порядка содержит различные правила вывода, которые определяют, как выражения, сформулированные таким образом, могут формировать действительные аргументы, например, которые можно вывести. $\exists xB(x)$ от $B(r)$.

Расширенный

Расширенные логики — это логические системы, принимающие основные принципы классической логики. Они вводят дополнительные символы и принципы, чтобы применить их к таким областям, как метафизика , этика и эпистемология .

Модальная логика

Основная статья: Модальная логика

Модальная логика является расширением классической логики. В своей первоначальной форме, иногда называемой «алетической модальной логикой», она вводит два новых символа: $\Diamond$ выражает, что что-то возможно, пока $\Box$ выражает необходимость чего-либо. Например, если формула $B(s)$ обозначает предложение «Сократ — банкир», то формула $\Diamond B(s)$ формулирует предложение: «Возможно, Сократ — банкир». Чтобы включить эти символы в логический формализм, модальная логика вводит новые правила вывода, определяющие, какую роль они играют в выводах. Одно правило вывода гласит: если что-то необходимо, то это также возможно. Это означает, что $\Diamond A$ следует из $\Box A$. Другой принцип гласит, что если предложение необходимо, то его отрицание невозможно, и наоборот. Это означает, что $\Box A$ эквивалентно $\lnot \Diamond \lnot A$.

Другие формы модальной логики вводят схожие символы, но связывают с ними разные значения, чтобы применять модальную логику к другим полям. Например, деонтическая логика касается области этики и вводит символы для выражения идей обязательства и разрешения , то есть для описания того, должен ли агент выполнить определенное действие или ему разрешено его выполнить. Модальные операторы в темпоральной модальной логике выражают временные отношения. Их можно использовать, например, для выражения того, что что-то произошло в какой-то момент или что что-то происходит постоянно. В эпистемологии эпистемическая модальная логика используется для представления идей о знании чего-либо, а не просто веры в то, что это так.

Логика высшего порядка

Основная статья: Логика высшего порядка

Логики высшего порядка расширяют классическую логику не за счет использования модальных операторов, а за счет введения новых форм количественной оценки. Кванторы соответствуют таким терминам, как «все» или «некоторые». В классической логике первого порядка кванторы применяются только к индивидам. Формула " $\exists x(Apple(x)\land Sweet(x))$« ( некоторые яблоки сладкие) является примером экзистенциального квантора » $\exists$" применяется к отдельной переменной " $x$" . В логике высшего порядка количественная оценка также допускается над предикатами. Это увеличивает ее выразительную силу. Например, чтобы выразить идею о том, что Мэри и Джон разделяют некоторые качества, можно было бы использовать формулу " $\exists Q(Q(Mary)\land Q(John))$" . В этом случае квантор существования применяется к переменной-предикату " $Q$" . Дополнительная выразительная сила особенно полезна для математики, поскольку позволяет более сжато формулировать математические теории. Но у нее есть недостатки в отношении ее металогических свойств и онтологических последствий, поэтому логика первого порядка все еще используется чаще.

Девиант

Основная статья: Девиантная логика

Девиантная логика — это логические системы, отвергающие некоторые основные постулаты классической логики. Из-за этого их обычно рассматривают не как дополнения, а как конкурентов. Девиантные логические системы отличаются друг от друга либо потому, что они отвергают разные классические интуиции, либо потому, что предлагают разные альтернативы одному и тому же вопросу.

Интуиционистская логика — это ограниченная версия классической логики. Он использует те же символы, но исключает некоторые правила вывода. Например, согласно закону устранения двойного отрицания, если предложение не истинно, то оно истинно. Это означает, что $A$ следует из $\lnot \lnot A$. Это действительное правило вывода в классической логике, но оно неверно в интуиционистской логике. Другой классический принцип, не являющийся частью интуиционистской логики, — это закон исключенного третьего . Он утверждает, что для каждого предложения истинно либо оно, либо его отрицание. Это означает, что каждое предложение вида $A\lor \lnot A$ это правда. Эти отклонения от классической логики основаны на идее, что истина устанавливается путем проверки с помощью доказательства. Интуиционистская логика особенно заметна в области конструктивной математики , которая подчеркивает необходимость найти или построить конкретный пример для доказательства ее существования.

Многозначные логики отходят от классичности, отвергая принцип бивалентности , который требует, чтобы все предложения были либо истинными, либо ложными. Например, Ян Лукасевич и Стивен Коул Клини предложили троичную логику , которая имеет третье значение истинности, представляющее, что значение истинности утверждения неопределенно. Эта логика нашла применение в области лингвистики. Нечеткая логика — это многозначная логика, имеющая бесконечное количество «степеней истинности», представленных действительным числом от 0 до 1.

Паранепротиворечивые логики — это логические системы, способные справляться с противоречиями. Они сформулированы так, чтобы избежать принципа взрыва: для них из противоречия не следует ничего. Они часто мотивированы диалетизмом , представлением о том, что противоречия реальны или что сама реальность противоречива. Грэм Прист является влиятельным современным сторонником этой позиции, и аналогичные взгляды были приписаны Георгу Вильгельму Фридриху Гегелю .

Неформальный

Основная статья: Неформальная логика

Неформальная логика обычно осуществляется менее систематическим образом. Часто он фокусируется на более конкретных вопросах, таких как исследование определенного типа заблуждений или изучение определенного аспекта аргументации. Тем не менее, были также представлены некоторые концепции неформальной логики, которые пытаются дать систематическую характеристику правильности аргументов.

Прагматический , или диалогический подход к неформальной логике рассматривает аргументы как речевые акты а не просто как набор посылок вместе с выводом. Как речевые акты, они происходят в определенном контексте, например в диалоге , который влияет на стандарты правильных и неправильных аргументов. В известной версии Дугласа Н. Уолтона диалог понимается как игра между двумя игроками. Исходная позиция каждого игрока характеризуется предположениями, которым он придерживается, и выводом, который он намерен доказать. Диалоги — это игры на убеждение: цель каждого игрока убедить оппонента в собственном выводе. Это достигается за счет аргументов: аргументы — это ходы игры. Они влияют на то, какие предложения будут приняты игроками. Выигрышный ход — это успешный аргумент, который принимает обязательства противника как предпосылки и показывает, как из них следуют собственные выводы. Обычно это невозможно сразу. По этой причине обычно необходимо сформулировать последовательность аргументов как промежуточные шаги, каждый из которых немного приближает оппонента к желаемому выводу. Помимо этих положительных аргументов, приближающих к победе, существуют и отрицательные аргументы, препятствующие победе противника, отрицающие его выводы. Правильность аргумента зависит от того, способствует ли он развитию диалога. Заблуждения, с другой стороны, представляют собой нарушения стандартов надлежащих правил аргументации. Эти стандарты также зависят от типа диалога. Например, стандарты, регулирующие научный дискурс, отличаются от стандартов деловых переговоров.

С другой стороны, эпистемический подход к неформальной логике фокусируется на эпистемической роли аргументов. Он основан на идее, что аргументы направлены на расширение наших знаний. Они достигают этого, связывая обоснованные убеждения с убеждениями, которые еще не обоснованы. Правильные аргументы способствуют расширению знаний, в то время как заблуждения являются эпистемическими неудачами: они не оправдывают веру в свои выводы. Например, ошибка постановки вопроса является ошибкой , поскольку она не обеспечивает независимого обоснования своего вывода, даже несмотря на то, что она дедуктивно верна. В этом смысле логическая нормативность заключается в эпистемическом успехе или рациональности. Байесовский подход является одним из примеров эпистемического подхода. Центральным моментом в байесовстве является не только то, верит ли агент во что-то, но и степень, в которой он в это верит, так называемое доверие . Степени веры рассматриваются как субъективные вероятности в предполагаемом утверждении, т.е. насколько агент уверен в том, что это предложение истинно. С этой точки зрения рассуждение можно интерпретировать как процесс изменения убеждений, часто в ответ на новую поступающую информацию. Правильные рассуждения и аргументы, на которых они основаны, подчиняются законам вероятности, например, принципу условности . С другой стороны, плохие или иррациональные рассуждения нарушают эти законы.

Области исследований

Логика изучается в различных областях. Во многих случаях это делается путем применения формального метода к конкретным темам, выходящим за рамки его компетенции, например, к этике или информатике. В других случаях сама логика становится предметом исследования в другой дисциплине. Это может произойти по-разному. Например, это может включать исследование философских предположений, связанных с основными понятиями, используемыми логиками. Другие способы включают интерпретацию и анализ логики с помощью математических структур, а также изучение и сравнение абстрактных свойств формальных логических систем.

Философия логики и философская логика

Основные статьи: Философия логики и Философская логика

Философия логики — философская дисциплина, изучающая сферу применения и природу логики. Он исследует многие предпосылки, неявные в логике, например, как определить ее основные понятия или метафизические предположения, связанные с ними. Он также занимается тем, как классифицировать логические системы, и учитывает онтологические обязательства, которые они налагают. Философская логика – одно из направлений философии логики. Он изучает применение логических методов к философским проблемам в таких областях, как метафизика, этика и эпистемология. Это применение обычно происходит в форме расширенных или девиантных логических систем .

Металогика

Основная статья: Металогика

Металогика – это область исследования, изучающая свойства формальных логических систем. Например, когда разрабатывается новая формальная система, металоги могут изучить ее, чтобы определить, какие формулы можно в ней доказать. Они также могут изучить, можно ли разработать алгоритм для поиска доказательства каждой формулы и является ли каждая доказуемая формула в ней тавтологией. Наконец, они могут сравнить ее с другими логическими системами, чтобы понять ее отличительные особенности. Ключевой вопрос металогики касается отношения между синтаксисом и семантикой. Синтаксические правила формальной системы определяют, как делать выводы из посылок, т. е. как формулировать доказательства. Семантика формальной системы определяет, какие предложения истинны, а какие ложны. Это определяет достоверность аргументов, поскольку для действительных аргументов невозможно, чтобы посылки были истинными, а вывод был ложным. Связь между синтаксисом и семантикой касается таких вопросов, как доказуемость каждого допустимого аргумента и достоверность каждого доказуемого аргумента. Металогики также изучают, являются ли логические системы полными, надежными и достоверными. последовательный . ли системы Их интересует, разрешимы и какой выразительной силой они обладают. Металогики обычно в значительной степени полагаются на абстрактные математические рассуждения при исследовании и формулировании металогических доказательств. Таким образом, они стремятся прийти к точным и общим выводам по этим темам.

Математическая логика

Основная статья: Математическая логика

Бертран Рассел внес различные вклады в математическую логику.

Термин «математическая логика» иногда используется как синоним «формальной логики». Но в более узком смысле это относится к изучению логики в математике. Основные разделы включают теорию моделей , теорию доказательств , теорию множеств и теорию вычислимости . Исследования в области математической логики обычно касаются математических свойств формальных систем логики. Однако оно также может включать попытки использовать логику для анализа математических рассуждений или создания логических основ математики . Последнее было главной проблемой в математической логике начала 20-го века, которая следовала программе логицизма, впервые разработанной философами-логиками, такими как Готтлоб Фреге, Альфред Норт Уайтхед и Бертран Рассел . Математические теории должны были быть логическими тавтологиями , и их программа заключалась в том, чтобы показать это посредством сведения математики к логике. Многие попытки реализовать эту программу потерпели неудачу, от разрушения проекта Фреге в его Grundgesetze парадоксом Рассела до поражения программы Гильберта теоремами Гёделя о неполноте .

Теория множеств возникла в результате исследования бесконечности Георгом Кантором и стала источником многих наиболее сложных и важных проблем математической логики. К ним относятся теорема Кантора , статус аксиомы выбора , вопрос о независимости гипотезы континуума и современные дебаты о больших кардинальных аксиомах.

Теория вычислимости — это раздел математической логики, изучающий эффективные процедуры решения вычислительных задач. Одна из его основных целей — понять, можно ли решить данную задачу с помощью алгоритма. Например, при наличии определенного утверждения о положительных целых числах проверяется, можно ли найти алгоритм, позволяющий определить, истинно ли это утверждение. Теория вычислимости использует различные теоретические инструменты и модели, такие как машины Тьюринга , для исследования проблем такого типа.

Вычислительная логика

Основные статьи: Вычислительная логика и логика в информатике

Соединение (И) — одна из основных операций булевой логики. Электронно его можно реализовать несколькими способами, например, с помощью двух транзисторов .

Вычислительная логика — это раздел логики и информатики , который изучает, как реализовать математические рассуждения и логические формализмы с помощью компьютеров. Сюда входят, например, автоматические средства доказательства теорем , которые используют правила вывода для построения доказательства шаг за шагом от набора посылок к предполагаемому выводу без вмешательства человека. Языки логического программирования созданы специально для выражения фактов с помощью логических формул и получения выводов из этих фактов. Например, Пролог — это язык логического программирования, основанный на логике предикатов. Ученые-компьютерщики также применяют концепции логики к задачам вычислений. работы Клода Шеннона В этом отношении большое влияние оказали . Он показал, как булева логика может использоваться для понимания и реализации компьютерных схем. Этого можно достичь с помощью электронных логических вентилей , то есть электронных схем с одним или несколькими входами и обычно одним выходом. Истинные значения предложений представлены уровнями напряжения. Таким образом, логические функции можно моделировать, подавая соответствующие напряжения на входы схемы и определяя значение функции путем измерения напряжения на выходе.

Формальная семантика естественного языка

Основная статья: Формальная семантика (естественный язык)

Формальная семантика — это раздел логики, лингвистики и философии языка . Дисциплина семантика изучает значение языка. Формальная семантика использует формальные инструменты из области символической логики и математики для создания точных теорий значения выражений естественного языка . Обычно он понимает значение в зависимости от условий истинности , т. е. исследует, в каких ситуациях предложение будет истинным или ложным. Одним из ее центральных методологических предположений является принцип композиционности . Он гласит, что значение сложного выражения определяется значениями его частей и тем, как они сочетаются. Например, значение глагольного словосочетания «ходить и петь» зависит от значений отдельных выражений «ходить» и «петь». Многие теории формальной семантики опираются на теорию моделей. Это означает, что они используют теорию множеств для построения модели, а затем интерпретируют значения выражения по отношению к элементам этой модели. Например, термин «ходьба» можно интерпретировать как совокупность всех индивидуумов модели, обладающих общим свойством ходьбы. Ранними влиятельными теоретиками в этой области были Ричард Монтегю и Барбара Парти , которые сосредоточили свой анализ на английском языке.

Эпистемология логики

Эпистемология логики изучает, как человек узнает, что аргумент действителен или что предложение логически истинно. Сюда входят такие вопросы, как, например, как обосновать, что modus ponens является действительным правилом вывода или что противоречия ложны. Традиционно преобладает мнение, что эта форма логического понимания принадлежит априорному знанию . В связи с этим часто утверждают, что разум обладает особой способностью исследовать отношения между чистыми идеями и что эта способность также отвечает за постижение логических истин. Подобный подход понимает правила логики с точки зрения лингвистических соглашений . С этой точки зрения законы логики тривиальны, поскольку они истинны по определению: они просто выражают значения логического словаря.

Некоторые теоретики, такие как Хилари Патнэм и Пенелопа Мэдди , возражают против точки зрения, согласно которой логика познаваема априорно. Вместо этого они считают, что логические истины зависят от эмпирического мира. Обычно это сочетают с утверждением, что законы логики выражают универсальные закономерности, обнаруженные в структурных особенностях мира. Согласно этой точке зрения, их можно исследовать, изучая общие закономерности фундаментальных наук . Например, утверждалось, что некоторые идеи квантовой механики опровергают принцип дистрибутивности в классической логике, который утверждает, что формула $A\land (B\lor C)$ эквивалентно $(A\land B)\lor (A\land C)$. Это утверждение можно использовать как эмпирический аргумент в пользу тезиса о том, что квантовая логика является правильной логической системой и должна заменить классическую логику.

История

Основная статья: История логики

Верхний ряд: Аристотель , установивший канон западной философии; и Авиценна , который заменил аристотелевскую логику в исламском дискурсе . Нижний ряд: Уильям Оккам , крупная фигура средневековой научной мысли; и Готтлоб Фреге , один из основоположников современной символической логики.

Логика развивалась независимо в нескольких культурах в древности. Одним из основных ранних авторов был Аристотель , который разработал логику терминов в своем «Органоне» и «Предварительной аналитике» . Он был ответственным за введение гипотетического силлогизма. и временная модальная логика. Другие инновации включают индуктивную логику. а также обсуждение новых логических понятий, таких как термины , предикалы , силлогизмы и предложения. Аристотелевская логика высоко ценилась в классические и средневековые времена, как в Европе, так и на Ближнем Востоке. Он широко использовался на Западе до начала 19 века. Сейчас он был заменен более поздними работами, хотя многие из его ключевых идей все еще присутствуют в современных логических системах.

Ибн Сина (Авиценна) был основателем авиценнианской логики, пришедшей на смену аристотелевской логике в качестве доминирующей системы логики в исламском мире . Это повлияло на западных средневековых писателей, таких как Альберт Великий и Уильям Оккам . Ибн Сина писал о гипотетическом силлогизме. и об исчислении высказываний . Он разработал оригинальную силлогистическую теорию «временной модализации», включающую темпоральную и модальную логику. Он также использовал индуктивную логику, например, свои методы согласия, различия и сопутствующих вариаций, которые имеют решающее значение для научного метода . Фахр ад-Дин ар-Рази был еще одним влиятельным мусульманским логиком. Он раскритиковал аристотелевскую силлогистику и сформулировал раннюю систему индуктивной логики, предвосхитив систему индуктивной логики, разработанную Джоном Стюартом Миллем.

В средние века было сделано множество переводов и интерпретаций аристотелевской логики. Особое влияние имели произведения Боэция . Помимо перевода работ Аристотеля на латынь, он также выпустил учебники по логике. работы исламских философов, таких как Ибн Сина и Ибн Рушд Позже были использованы (Аверроэс). Это расширило диапазон древних работ, доступных средневековым христианским ученым, поскольку мусульманским ученым стало доступно больше греческих работ, сохранившихся в латинских комментариях. Уильяма Оккама влиятельная книга «Сумма логики» В 1323 году была выпущена . Это всеобъемлющий трактат по логике, в котором обсуждаются многие основные концепции логики и дается систематическое изложение типов предложений и условий их истинности.

В китайской философии Школа Имен и Мохизм особое влияние оказали . Школа имен сосредоточилась на использовании языка и парадоксах. Например, Гунсунь Лун предложил парадокс белой лошади , защищающий тезис о том, что белая лошадь не является лошадью. Школа моизма также признавала важность языка для логики и пыталась связать идеи в этих областях с областью этики.

В Индии изучением логики занимались преимущественно школы ньяя , буддизма и джайнизма . Она не рассматривалась как отдельная академическая дисциплина, и обсуждения ее тем обычно происходили в контексте эпистемологии и теорий диалога или аргументации. В ньяе умозаключение понимается как источник знания ( прамана ). Он следит за восприятием объекта и пытается прийти к выводам, например, о причине возникновения этого объекта. Подобный акцент на отношении к эпистемологии также встречается в буддийских и джайнистских школах логики, где умозаключения используются для расширения знаний, полученных из других источников. Некоторые из более поздних теорий ньяи, принадлежащих школе Навья-ньяя , напоминают современные формы логики, такие как различие Готтлоба Фреге между смыслом и ссылкой и его определение числа.

Силлогическая логика, разработанная Аристотелем, господствовала на Западе до середины 19 в., когда интерес к основаниям математики стимулировал развитие современной символической логики. Готлоба Фреге Многие считают «Бегрифсшрифт» местом рождения современной логики. Готфрида Вильгельма Лейбница Идею об универсальном формальном языке часто считают предтечей. Другими пионерами были Джордж Буль , изобретший булеву алгебру как математическую систему логики, и Чарльз Пирс , разработавший логику родственников . Альфред Норт Уайтхед и Бертран Рассел, в свою очередь, воплотили многие из этих идей в своей работе Principia Mathematica . Современная логика представила новые понятия, такие как функции , кванторы и реляционные предикаты. Отличительной чертой современной символической логики является использование формального языка для точной систематизации своих идей. В этом отношении она отходит от более ранних логиков, опиравшихся главным образом на естественный язык. Особое влияние оказало развитие логики первого порядка, которую обычно рассматривают как стандартную систему современной логики. Его аналитическая общность позволила формализовать математику и стимулировала исследование теории множеств . Это также сделало возможным подход Альфреда Тарского к теории моделей и заложило основу современной математической логики.

См. также

• Глоссарий логики - Список определений терминов и понятий, используемых в логике.
• Очерк логики - Обзор и актуальное руководство по логике.
• Критическое мышление – анализ фактов для формирования суждения.
• Список логических журналов
• Список логических символов - Список символов, используемых для выражения логических отношений.
• Список логиков
• Логическая головоломка - головоломка, возникшая из области математической дедукции.
• Логическое рассуждение – процесс формирования правильных выводов.
• Логос - концепция в философии, религии, риторике и психологии.
• Векторная логика

Ссылки

Библиография

• Алони, Мария; Деккер, Пол (7 июля 2016 г.). Кембриджский справочник по формальной семантике . Издательство Кембриджского университета. стр. 22–23. ISBN  978-1-316-55273-5 .
• Энджелл, Ричард Б. (1964). Рассуждение и логика . Яркие Медиа. п. 164. ОСЛК   375322 .
• Ауди, Роберт (1999a). «Неформальная логика». Кембриджский философский словарь . Издательство Кембриджского университета. п. 435. ИСБН  978-1-107-64379-6 . Архивировано из оригинала 14 апреля 2021 года . Проверено 29 декабря 2021 г.
• Ауди, Роберт (1999b). «Философия логики». Кембриджский философский словарь . Издательство Кембриджского университета. стр. 679–681. ISBN  978-1-107-64379-6 . Архивировано из оригинала 14 апреля 2021 года . Проверено 29 декабря 2021 г.
• Бакманн, Мариус (1 июня 2019 г.). «Разновидности обоснований — как (не) решать проблему индукции» . Акта Аналитика . 34 (2): 235–255. дои : 10.1007/s12136-018-0371-6 . ISSN   1874-6349 . S2CID   125767384 .
• Багария, Джоан (2021). «Теория множеств» . Стэнфордская энциклопедия философии . Лаборатория метафизических исследований Стэнфордского университета . Проверено 23 сентября 2022 г.
• Барнс, Джонатан (25 января 2007 г.). Истина и др.: Шесть лекций по древней логике . Кларендон Пресс. п. 274. ИСБН  978-0-19-151574-3 .
• Бентем, Йохан ван. «Модальная логика: современный взгляд: 1. Модальные понятия и модели рассуждения: первый этап» . Интернет-энциклопедия философии . Проверено 11 марта 2023 г.
• Берлеманн, Ларс; Мангольд, Стефан (10 июля 2009 г.). Когнитивное радио и доступ к динамическому спектру . Джон Уайли и сыновья. п. 194. ИСБН  978-0-470-75443-6 .
• Берман, Гарольд Дж. (1 июля 2009 г.). Право и революция: формирование западной правовой традиции . Издательство Гарвардского университета. ISBN  978-0-674-02085-6 .
• Бимбо, Каталин (2 апреля 2016 г.). Дж. Майкл Данн об информационной логике . Спрингер. стр. 8–9. ISBN  978-3-319-29300-4 .
• Блэкберн, Саймон (1 января 2008 г.). «аргумент». Оксфордский философский словарь . Издательство Оксфордского университета. ISBN  978-0-19-954143-0 . Архивировано из оригинала 8 января 2022 года . Проверено 8 января 2022 г.
• Блэкберн, Саймон (24 марта 2016 г.). «правило вывода». Оксфордский философский словарь . Издательство Оксфордского университета. ISBN  978-0-19-954143-0 . Архивировано из оригинала 8 января 2022 года . Проверено 8 января 2022 г.
• Блэр, Дж. Энтони ; Джонсон, Ральф Х. (1987). «Современное состояние неформальной логики» . Неформальная логика . 9 (2): 147–51. дои : 10.22329/il.v9i2.2671 . Архивировано из оригинала 30 декабря 2021 года . Проверено 2 января 2022 г.
• Блэр, Дж. Энтони ; Джонсон, Ральф Х. (2000). «Неформальная логика: обзор» . Неформальная логика . 20 (2): 93–107. дои : 10.22329/il.v20i2.2262 . Архивировано из оригинала 9 декабря 2021 года . Проверено 29 декабря 2021 г.
• Блэр, Дж. Энтони (20 октября 2011 г.). Основы теории аргументации: избранные статьи Дж. Энтони Блэра . Springer Science & Business Media. п. 47. ИСБН  978-94-007-2363-4 .
• Бобзиен, Сюзанна (2020). «Древняя логика: 2. Аристотель» . Стэнфордская энциклопедия философии . Лаборатория метафизических исследований Стэнфордского университета. Архивировано из оригинала 28 августа 2018 года . Проверено 3 января 2022 г.
• Борхерт, Дональд, изд. (2006а). «Теория вычислимости». Философская энциклопедия Макмиллана, том 2 (2-е изд.). Макмиллан. стр. 372–390. ISBN  978-0-02-865782-0 .
• Борхерт, Дональд (2006b). «Индукция». Философская энциклопедия Макмиллана, том 4 (2-е изд.). Макмиллан. стр. 635–648. ISBN  978-0-02-865784-4 . Архивировано из оригинала 12 января 2021 года . Проверено 4 января 2022 г.
• Борхерт, Дональд (2006c). «Логика неклассическая». Философская энциклопедия Макмиллана, том 5 (2-е изд.). Макмиллан. стр. 485–492. ISBN  978-0-02-865785-1 . Архивировано из оригинала 12 января 2021 года . Проверено 4 января 2022 г.
• Борис, Кулик; Александр, Фридман (30 ноября 2017 г.). N-арные отношения для логического анализа данных и знаний . IGI Global. п. 74. ИСБН  978-1-5225-2783-1 .
• Бриджес, Дуглас; Исихара, Хадзиме; Ратьен, Майкл; Швихтенберг, Гельмут (30 апреля 2023 г.). Справочник по конструктивной математике . Издательство Кембриджского университета. стр. 73–4. ISBN  978-1-316-51086-5 .
• Броуди, Борух А. (2006). Энциклопедия философии . Том. 5. Дональд М. Борхерт (2-е изд.). Справочник Томсона Гейла/Макмиллана США. стр. 535–536. ISBN  978-0-02-865780-6 . OCLC   61151356 . Двумя наиболее важными типами логических исчислений являются исчисления высказываний (или сентенциальные) и функциональные исчисления (или исчисления предикатов). Исчисление высказываний — это система, содержащая пропозициональные переменные и связки (некоторые также содержат пропозициональные константы), но не отдельные или функциональные переменные или константы. В расширенном исчислении высказываний добавляются кванторы, операторные переменные которых являются пропозициональными переменными.
• Буннин, Николас; Ю, Цзиюань (27 января 2009 г.). Словарь западной философии Блэквелла . Джон Уайли и сыновья. п. 179. ИСБН  978-1-4051-9112-8 .
• Берджесс, Джон П. (2009). «1. Классическая логика». Философская логика . Принстон, Нью-Джерси: Издательство Принстонского университета. стр. 1–12. ISBN  978-0-691-15633-0 . Архивировано из оригинала 16 декабря 2021 года . Проверено 4 января 2022 г.
• Бек, Аллан Т. (2016). Теория предикации Аристотеля . Брилл. п. 317. ИСБН  978-90-04-32109-0 .
• Колдербанк, Роберт; Слоан, Нил Дж. А. (апрель 2001 г.). «Клод Шеннон (1916–2001)» . Природа . 410 (6830): 768. дои : 10.1038/35071223 . ISSN   1476-4687 . ПМИД   11298432 . S2CID   4402158 .
• Карниелли, Уолтер; Пицци, Клаудио (2008). Модальности и мультимодальности . Springer Science & Business Media. п. 3. ISBN  978-1-4020-8590-1 .
• Кастаньо, Арнальдо Перес (23 мая 2018 г.). Практический искусственный интеллект: машинное обучение, боты и агентные решения с использованием C# . Апресс. п. 2. ISBN  978-1-4842-3357-3 .
• Чакрабарти, Кисор Кумар (июнь 1976 г.). «Некоторые сравнения между логикой Фреге и логикой Навья-Ньяя». Философия и феноменологические исследования . 36 (4): 554–563. дои : 10.2307/2106873 . JSTOR   2106873 .
• Чатфилд, Том (2017). Критическое мышление: ваш путеводитель по эффективной аргументации, успешному анализу и независимому исследованию . Мудрец. п. 194. ИСБН  978-1-5264-1877-7 .
• Чуа, Евгений (2017). «Эмпирический путь к логическому «конвенционализму» » . Логика, рациональность и взаимодействие . Конспекты лекций по информатике. Том. 10455. стр. 631–636. дои : 10.1007/978-3-662-55665-8_43 . ISBN  978-3-662-55664-1 .
• Клоксин, Уильям Ф.; Меллиш, Кристофер С. (2003). «Отношение Пролога к логике» . Программирование на Прологе: использование стандарта ISO . Спрингер. стр. 237–257. дои : 10.1007/978-3-642-55481-0_10 . ISBN  978-3-642-55481-0 .
• Кук, Рой Т. (2009). Словарь философской логики . Издательство Эдинбургского университета. п. 124. ИСБН  978-0-7486-3197-1 .
• Копи, Ирвинг М .; Коэн, Карл; Родыч, Виктор (2019). Введение в логику . Рутледж. ISBN  978-1-351-38697-5 .
• Коркум, Филип (2015). «Общность и логическое постоянство». Португальская версия философии . 71 (4): 753–767. дои : 10.17990/rpf/2015_71_4_0753 . ISSN   0870-5283 . JSTOR   43744657 .
• Крейг, Эдвард (1996). Философская энциклопедия Рутледжа . Рутледж. ISBN  978-0-415-07310-3 . Архивировано из оригинала 16 января 2021 года . Проверено 29 декабря 2021 г.
• Каммингс, Луиза (2010). «Похищение». Энциклопедия прагматики Routledge . Рутледж. п. 1. ISBN  978-1-135-21457-9 . Архивировано из оригинала 8 января 2022 года . Проверено 8 января 2022 г.
• Каннингем, Дэниел. «Теория множеств» . Интернет-энциклопедия философии . Проверено 23 сентября 2022 г.
• Д'Агостино, Марчелло; Флориди, Лучано (2009). «Непрекращающийся скандал с дедукцией: действительно ли пропозициональная логика неинформативна?». Синтезируйте . 167 (2): 271–315. дои : 10.1007/s11229-008-9409-4 . HDL : 2299/2995 . ISSN   0039-7857 . JSTOR   40271192 . S2CID   9602882 .
• Дэйнтит, Джон; Райт, Эдмунд (2008). Словарь вычислительной техники . ОУП. ISBN  978-0-19-923400-4 .
• ван Дален, Дирк (1994). Логика и структура . Спрингер. Глава 1.5. ISBN  978-0-387-57839-2 .
• Дасти, Мэтью Р. «Ньяя» . Интернет-энциклопедия философии . Проверено 12 марта 2023 г.
• Дик, Энтони С.; Мюллер, Ульрих (2017). Развитие науки о развитии: философия, теория и метод . Тейлор и Фрэнсис. п. 157. ИСБН  978-1-351-70456-4 .
• Дувен, Игорь (2021). «Похищение» . Стэнфордская энциклопедия философии . Лаборатория метафизических исследований Стэнфордского университета. Архивировано из оригинала 7 сентября 2021 года . Проверено 24 августа 2021 г.
• Дауден, Брэдли . «Заблуждения» . Интернет-энциклопедия философии . Архивировано из оригинала 29 апреля 2010 года . Проверено 19 марта 2021 г.
• ван Эмерен, Франс Х.; Гарссен, Барт (2009). Размышление о проблемах аргументации: двадцать очерков по теоретическим вопросам . Springer Science & Business Media. п. 191. ИСБН  978-1-4020-9165-0 .
• ван Эмерен, Франс Х.; Гарссен, Барт; Краббе, Эрик CW; Снук Хенкеманс, А. Франциска; Верхей, Барт; Вейджманс, Джин Х.М. (2021). «Неформальная логика». Справочник по теории аргументации . Спрингер Нидерланды. стр. 1–45. дои : 10.1007/978-94-007-6883-3_7-1 . ISBN  978-94-007-6883-3 . Архивировано из оригинала 31 декабря 2021 года . Проверено 2 января 2022 г.
• ван Эмерен, Франс Х.; Гроотендорст, Роб; Джонсон, Ральф Х.; Плантен, Кристиан; Уиллард, Чарльз А. (2013). Основы теории аргументации: Справочник по исторической предпосылке и современному развитию . Рутледж. п. 169. ИСБН  978-1-136-68804-1 .
• Эммануэль, Стивен М. (2015). Спутник буддийской философии . Джон Уайли и сыновья. стр. 320–2. ISBN  978-1-119-14466-3 .
• Эндертон, Герберт (2001). Математическое введение в логику . Эльзевир. ISBN  978-0-12-238452-3 .
• Энгель, С. Моррис (1982). Не без оснований. Введение в неформальные заблуждения . Пресса Святого Мартина. ISBN  978-0-312-08479-0 . Архивировано из оригинала 1 марта 2022 года . Проверено 2 января 2022 г.
• Эванс, Джонатан Ст. BT (2005). «8. Дедуктивное рассуждение» . В Моррисоне, Роберт (ред.). Кембриджский справочник по мышлению и рассуждению . Издательство Кембриджского университета. п. 169. ИСБН  978-0-521-82417-0 .
• Эвальд, Уильям (2019). «Появление логики первого порядка» . Стэнфордская энциклопедия философии . Лаборатория метафизических исследований Стэнфордского университета . Проверено 12 марта 2023 г.
• Фальгера, Хосе Л.; Мартинес-Видаль, Конча; Розен, Гидеон (2021). «Абстрактные объекты» . Стэнфордская энциклопедия философии . Лаборатория метафизических исследований Стэнфордского университета. Архивировано из оригинала 22 января 2021 года . Проверено 7 января 2022 г.
• Фаликовски, Энтони; Миллс, Сьюзен (2022). Опыт философии (2-е изд.). Бродвью Пресс. п. 98. ИСБН  978-1-77048-841-0 .
• Фишер, Майкл Дэвид; Габбай, Дов М.; Вила, Луис (2005). Справочник по временным рассуждениям в искусственном интеллекте . Эльзевир. п. 119. ИСБН  978-0-08-053336-0 .
• Fitch, GW (18 декабря 2014 г.). Саул Крипке . Рутледж. п. 17. ISBN  978-1-317-48917-7 .
• Флотыньский, Якуб (7 декабря 2020 г.). Исследуемые среды расширенной реальности, основанные на знаниях . Спрингер Природа. п. 39. ИСБН  978-3-030-59965-2 .
• Шрифт, Джозеф Мария; Джансана, Рамон (2017). Общая алгебраическая семантика для смысловой логики . Издательство Кембриджского университета. п. 8. ISBN  978-1-107-16797-1 .
• Фреде, Майкл. «Аристотель» . Мичиганский технологический университет . Проверено 1 ноября 2022 г.
• Друг, Мишель (2014). Введение в философию математики . Рутледж. п. 101. ИСБН  978-1-317-49379-2 .
• Гамут, ЛТФ (1991). Логика, язык и значение. Том 1: Введение в логику . Издательство Чикагского университета. 5.5. ISBN  978-0-226-28085-1 .
• Гарсон, Джеймс (2023). «Модальная логика» . Стэнфордская энциклопедия философии . Лаборатория метафизических исследований Стэнфордского университета . Проверено 11 марта 2023 г.
• Генслер, Гарри Дж. (2006). Логика от А до Я. Пугало Пресс. стр. xliii – xliv. ISBN  978-1-4617-3182-5 .
• Гобл, Лу (2001). "Введение". Руководство Блэквелла по философской логике . Уайли-Блэквелл. стр. 1–8. ISBN  978-0-631-20692-7 . Архивировано из оригинала 7 декабря 2021 года . Проверено 4 января 2022 г.
• Гудман, Ленн Эван (1992). Авиценна . Рутледж. п. 188. ИСБН  978-0-415-01929-3 .
• Гудман, Ленн Эван (2003). Исламский гуманизм . Издательство Оксфордского университета. п. 155. ИСБН  978-0-19-513580-0 .
• Гроарк, Луи Ф. «Аристотель: логика» . Интернет-энциклопедия философии . Архивировано из оригинала 29 декабря 2021 года . Проверено 1 января 2022 г.
• Гроарк, Лео (2021). «Неформальная логика» . Стэнфордская энциклопедия философии . Лаборатория метафизических исследований Стэнфордского университета. Архивировано из оригинала 12 января 2022 года . Проверено 31 декабря 2021 г.
• Гомес-Торренте, Марио (2019). «Логическая истина» . Стэнфордская энциклопедия философии . Лаборатория метафизических исследований Стэнфордского университета. Архивировано из оригинала 2 октября 2021 года . Проверено 22 ноября 2021 г.
• Гёдель, Курт (1984). «Математическая логика Рассела». В Бенасеррафе, Пол; Патнэм, Хилари (ред.). Философия математики: Избранные материалы (2-е изд.). Издательство Кембриджского университета. стр. 447–469. ISBN  978-0-521-29648-9 . Архивировано из оригинала 11 января 2022 года . Проверено 9 января 2022 г.
• Гаек, Петр (3 сентября 2006 г.). «Нечеткая логика» . Стэнфордская энциклопедия философии . Лаборатория метафизических исследований Стэнфордского университета . Проверено 19 июля 2023 г.
• Хаек, Алан; Лин, Ханти (2017). «Повесть о двух эпистемологиях?» . Рес Философия . 94 (2): 207–232. дои : 10.11612/resphil.1540 . S2CID   160029122 . Архивировано из оригинала 4 января 2022 года . Проверено 4 января 2022 г.
• Холл, Корделия; О'Доннелл, Джон (2000). Дискретная математика с помощью компьютера . Springer Science & Business Media. п. 48. ИСБН  978-1-85233-089-7 .
• Уд, Р.; Камачо, Л. (2003). «Индукция». Новая католическая энциклопедия . ISBN  978-0-7876-4004-0 . Архивировано из оригинала 8 января 2022 года . Проверено 8 января 2022 г.
• Хаак, Сьюзен (1974). Девиантная логика: некоторые философские проблемы . Архив Кубка. п. 51. ИСБН  978-0-521-20500-9 .
• Хаак, Сьюзен (1978). «1. 'Философия логики' ». Философия логики . Лондон и Нью-Йорк: Издательство Кембриджского университета. стр. 1–10. ISBN  978-0-521-29329-7 . Архивировано из оригинала 7 декабря 2021 года . Проверено 29 декабря 2021 г.
• Хаак, Сьюзен (1996). Девиантная логика, нечеткая логика: за пределами формализма . Издательство Чикагского университета. ISBN  978-0-226-31133-3 .
• Хаапаранта, Лейла (2009). «1. Введение». Развитие современной логики . Издательство Оксфордского университета. стр. 4–6. ISBN  978-0-19-513731-6 .
• Хансен, Ганс (2020). «Заблуждения» . Стэнфордская энциклопедия философии . Лаборатория метафизических исследований Стэнфордского университета. Архивировано из оригинала 29 марта 2021 года . Проверено 18 марта 2021 г.
• Хартманн, Стефан; Шпренгер, Январь (2010). «Байесовская эпистемология». Путеводитель Рутледжа по эпистемологии . Лондон: Рутледж. стр. 609–620. ISBN  978-0-415-96219-3 . Архивировано из оригинала 16 мая 2021 года . Проверено 4 января 2022 г.
• Хассе, Даг Николаус (2008). «Влияние арабской и исламской философии на Латинский Запад» . Стэнфордская энциклопедия философии . Лаборатория метафизических исследований Стэнфордского университета . Проверено 19 июля 2023 г.
• Хоторн, Джеймс (2021). «Индуктивная логика» . Стэнфордская энциклопедия философии . Лаборатория метафизических исследований Стэнфордского университета. Архивировано из оригинала 21 января 2022 года . Проверено 6 января 2022 г.
• Хинтикка, Яакко Дж . (2019). «Философия логики» . Британская энциклопедия . Архивировано из оригинала 28 апреля 2015 года . Проверено 21 ноября 2021 г.
• Хинтикка, Яакко Дж . (2023). «Логические системы» . Британская энциклопедия . Архивировано из оригинала 7 декабря 2021 года . Проверено 4 декабря 2021 г.
• Хинтикка, Яакко (1970). «Информация, дедукция и априори». Нус . 4 (2): 135–152. дои : 10.2307/2214318 . ISSN   0029-4624 . JSTOR   2214318 .
• Хинтикка, Яакко ; Санду, Габриэль (2006). «Что такое логика?». В Жакетт, Д. (ред.). Философия логики . Северная Голландия. стр. 13–39. ISBN  978-0-444-51541-4 . Архивировано из оригинала 7 декабря 2021 года . Проверено 29 декабря 2021 г.
• Хинтикка, Яакко Я. ; Спейд, Пол Винсент. «История логики» . Британская энциклопедия . Проверено 23 сентября 2022 г.
• Хондерих, Тед (2005). Оксфордский справочник по философии . Издательство Оксфордского университета. ISBN  978-0-19-926479-7 . Архивировано из оригинала 29 января 2021 года . Проверено 2 января 2022 г.
• Херли, Патрик Дж. (2015). «4. Категорические силлогизмы». Логика: основы . Уодсворт. стр. 189–237. ISBN  978-1-305-59041-0 . Архивировано из оригинала 4 января 2022 года . Проверено 4 января 2022 г.
• Сотрудники ИЭП. «Дедуктивные и индуктивные аргументы» . Архивировано из оригинала 28 мая 2010 года . Проверено 6 января 2022 г.
• Икбал, Мохаммед (2013). «Дух мусульманской культуры». Реконструкция религиозной мысли в исламе . Издательство Стэнфордского университета. стр. 99–115. ISBN  978-0-8047-8686-7 .
• Ирвин, Эндрю Дэвид (2022). «Бертран Рассел» . Стэнфордская энциклопедия философии . Лаборатория метафизических исследований Стэнфордского университета . Проверено 29 сентября 2022 г.
• Жакетт, Дейл (2006). «Введение: Философия логики сегодня». Философия логики . Северная Голландия. стр. 1–12. ISBN  978-0-444-51541-4 . Архивировано из оригинала 7 декабря 2021 года . Проверено 29 декабря 2021 г.
• Джаго, Марк (2014). Невозможное: эссе о гиперинтенсиональности . ОУП Оксфорд. п. 41. ИСБН  978-0-19-101915-9 .
• Янссен, Тео М.В.; Циммерманн, Томас Эде (2021). «Семантика Монтегю» . Стэнфордская энциклопедия философии . Лаборатория метафизических исследований Стэнфордского университета. стр. 3–4 . Проверено 10 марта 2023 г.
• Джонсон, Ральф Х. (1999). «Отношения между формальной и неформальной логикой» . Аргументация . 13 (3): 265–274. дои : 10.1023/А:1007789101256 . S2CID   141283158 . Архивировано из оригинала 7 декабря 2021 года . Проверено 2 января 2022 г.
• Джонсон, Ральф Х. (15 июля 2014 г.). Рост неформальной логики: очерки по аргументации, критическому мышлению, рассуждениям и политике . Виндзорский университет. ISBN  978-0-920233-71-9 .
• Кетланд, Джеффри (2005). «Логика второго порядка». Философская энциклопедия Макмиллана, том 8 . Справочник Macmillan США. стр. 707–708. ISBN  978-0-02-865788-2 . Архивировано из оригинала 7 декабря 2021 года . Проверено 4 января 2022 г.
• Кинг, Джеффри К. (2 сентября 2009 г.). «Формальная семантика». Оксфордский справочник по философии языка . стр. 557–8. doi : 10.1093/oxfordhb/9780199552238.003.0023 . ISBN  978-0-19-955223-8 .
• Кинг, Джеффри С. (2019). «Структурированные предложения» . Стэнфордская энциклопедия философии . Лаборатория метафизических исследований Стэнфордского университета. Архивировано из оригинала 25 октября 2021 года . Проверено 4 декабря 2021 г.
• Клемент, Кевин С. (1995b). «Пропозициональная логика» . Интернет-энциклопедия философии . ISSN   2161-0002 . Проверено 23 сентября 2022 г.
• Клайн, Моррис (1972). Математическая мысль от древности до современности . Издательство Оксфордского университета. ISBN  978-0-19-506135-2 .
• Нил, Уильям ; Книл, Марта (1962). Развитие логики . Кларендон Пресс. ISBN  978-0-19-824773-9 .
• Кнууттила, Симо (1980). Перековывая великую цепь бытия: исследования истории модальных теорий . Springer Science & Business Media. п. 71. ИСБН  978-90-277-1125-0 .
• Корб, Кевин (2004). «Байесовская неформальная логика и заблуждения» . Неформальная логика . 24 (1): 41–70. дои : 10.22329/il.v24i1.2132 . Архивировано из оригинала 10 ноября 2021 года . Проверено 2 января 2022 г.
• Козловски, Барбара (2017). «Абдуктивное рассуждение и объяснение» . Международный справочник по мышлению и рассуждению . Рутледж. стр. 366–382. дои : 10.4324/9781315725697 . ISBN  978-1-315-72569-7 . Архивировано из оригинала 8 января 2022 года . Проверено 8 января 2022 г.
• Куш, Мартин (2020). «Психологизм» . Стэнфордская энциклопедия философии . Лаборатория метафизических исследований Стэнфордского университета. Архивировано из оригинала 29 декабря 2020 года . Проверено 30 ноября 2021 г.
• Лагерлунд, Хенрик (27 сентября 2018 г.). «Обзор последствий силлогизма: аристотелевский логический аргумент от Авиценны до Гегеля» . Философские обзоры Нотр-Дама . Проверено 19 июля 2023 г.
• Лир, Джонатан (1980). Аристотель и логическая теория . Архив Кубка. п. 34. ISBN  978-0-521-31178-6 .
• Лири, Кристофер К.; Кристиансен, Ларс (2015). Дружеское введение в математическую логику . Суни. п. 195. ИСБН  978-1-942341-07-9 .
• Лепор, Эрнест; Камминг, Сэм (14 сентября 2012 г.). Значение и аргумент: введение в логику через язык . Джон Уайли и сыновья. п. 5. ISBN  978-1-118-45521-0 .
• Ли, Вэй (26 февраля 2010 г.). Математическая логика: основы информатики . Springer Science & Business Media. п. ix. ISBN  978-3-7643-9977-1 .
• Лински, Бернард (2011). Эволюция Principia Mathematica: Рукописи и примечания Бертрана Рассела (2-е изд.). Издательство Кембриджского университета. п. 4. ISBN  978-1-139-49733-6 .
• Лю, Шиюнг; Го, Кайчжун (7 марта 2023 г.). Логика ошибок: прокладывание путей для интеллектуальной идентификации ошибок и управления ими . Спрингер Природа. п. 15. ISBN  978-3-031-00820-7 .
• Лукасевич, Ян (1957). Силлогистика Аристотеля с точки зрения современной формальной логики (2-е изд.). Издательство Оксфордского университета. п. 7. ОКЛК   656161566 .
• Макфарлейн, Джон (2017). «Логические константы» . Стэнфордская энциклопедия философии . Лаборатория метафизических исследований Стэнфордского университета. Архивировано из оригинала 17 марта 2020 года . Проверено 21 ноября 2021 г.
• Маки, Дж. Л. (1967). «Заблуждения» . энциклопедия.com . Архивировано из оригинала 15 апреля 2021 года . Проверено 19 марта 2021 г.
• Магнус, PD (2005). Форалл X: Введение в формальную логику . Виктория, Британская Колумбия, Канада: Государственный университет Нью-Йорка по оказанию услуг. стр. 8–9. ISBN  978-1-64176-026-3 . Архивировано из оригинала 7 декабря 2021 года . Проверено 29 декабря 2021 г.
• Макридис, Одиссей (2022). Символическая логика . Спрингер Природа. стр. 1–2. ISBN  978-3-030-67396-3 .
• Молтби, Джон; Дэй, Лиз; Макаскилл, Энн (2007). Личность, индивидуальные различия и интеллект . Прентис Холл. ISBN  978-0-13-129760-9 .
• Маренбон, Джон (2021). «Аниций Манлий Северин Боэций» . Стэнфордская энциклопедия философии . Лаборатория метафизических исследований Стэнфордского университета.
• МакКеон, Мэтью. «Логическое следствие» . Интернет-энциклопедия философии . Архивировано из оригинала 12 ноября 2021 года . Проверено 20 ноября 2021 г.
• Майклсон, Элиот; Реймер, Марга (2019). "Ссылка" . Стэнфордская энциклопедия философии . Лаборатория метафизических исследований Стэнфордского университета. Архивировано из оригинала 7 декабря 2021 года . Проверено 4 декабря 2021 г.
• Миллс, Итан (2018). Три столпа скептицизма в классической Индии: Нагарджуна, Джаяраси и Шри Харса . Роуман и Литтлфилд. п. 121. ИСБН  978-1-4985-5570-8 . ... для ньяи все выводы в конечном итоге коренятся в восприятии ... Наияики обычно принимают четыре способа познания: восприятие, вывод, сравнение и свидетельство.
• Монк, Дж. Дональд (1976). "Введение" . Математическая логика . Спрингер. стр. 1–9. дои : 10.1007/978-1-4684-9452-5_1 . ISBN  978-1-4684-9452-5 . Архивировано из оригинала 9 января 2022 года . Проверено 9 января 2022 г.
• Мур, Кевин; Кромби, Джон (8 августа 2016 г.). Как лучше всего «продолжать»? Перспективы «современного синтеза» в науках о разуме . Фронтирс Медиа С.А. п. 60. ИСБН  978-2-88919-906-8 .
• Мур, Теренс; Карлинг, Кристина (1982). Понимание языка: на пути к постхомской лингвистике . Спрингер. п. 53. ИСБН  978-1-349-16895-8 .
• Мошовакис, Джоан (2022). «Интуиционистская логика» . Стэнфордская энциклопедия философии: Введение . Лаборатория метафизических исследований Стэнфордского университета . Проверено 11 марта 2023 г.
• Нолт, Джон (2021). «Свободная логика: 1. Основы» . Стэнфордская энциклопедия философии . Лаборатория метафизических исследований Стэнфордского университета . Проверено 10 сентября 2022 г.
• Нуньес, Терезинья (2011). «Логическое рассуждение и обучение». В Силе, Норберт М. (ред.). Энциклопедия наук об обучении . Springer Science & Business Media. стр. 2066–2069. ISBN  978-1-4419-1427-9 .
• О'Риган, Джерард (2016). Введение в историю вычислений: учебник по истории вычислений . Спрингер. п. 49. ИСБН  978-3-319-33138-6 .
• Оуксфорд, Майк; Чейтер, Ник (2007). Байесовская рациональность: вероятностный подход к человеческому рассуждению . ОУП Оксфорд. п. 47. ИСБН  978-0-19-852449-6 .
• Ольковский, Доротея; Пироволакис, Эфтичис (31 января 2019 г.). Философия свободы Делеза и Гваттари: Рефрены свободы . Рутледж. стр. 65–66. ISBN  978-0-429-66352-9 .
• Олссон, Эрик Дж. (2018). «Байесовская эпистемология». Введение в формальную философию . Спрингер. стр. 431–442. ISBN  978-3-030-08454-7 . Архивировано из оригинала 16 мая 2021 года . Проверено 4 января 2022 г.
• Интернет-сотрудник по этимологии. «Логика» . etymonline.com . Архивировано из оригинала 29 декабря 2021 года . Проверено 29 декабря 2021 г.
• Парти, Барбара Х. (2016). Алони, Мария; Деккер, Пол (ред.). Кембриджский справочник по формальной семантике . Издательство Кембриджского университета. ISBN  978-1-107-02839-5 .
• Полсон, Лоуренс К. (февраль 2018 г.). «Вычислительная логика: ее истоки и приложения» . Труды Королевского общества A: Математические, физические и технические науки . 474 (2210): 1–14. arXiv : 1712.04375 . Бибкод : 2018RSPSA.47470872P . дои : 10.1098/rspa.2017.0872 . ПМЦ   5832843 . ПМИД   29507522 . S2CID   3805901 .
• Педемонте, Беттина (25 июня 2018 г.). «Стратегические и определяющие правила: их роль в абдуктивной аргументации и их связь с дедуктивным доказательством» . Евразийский журнал математического, научного и технологического образования . 14 (9): 1–17. дои : 10.29333/ejmste/92562 . ISSN   1305-8215 . S2CID   126245285 . Архивировано из оригинала 7 декабря 2021 года . Проверено 8 января 2022 г.
• Пикель, Брайан (1 июля 2020 г.). «Структурированные предложения и тривиальная композиция» . Синтезируйте . 197 (7): 2991–3006. дои : 10.1007/s11229-018-1853-1 . hdl : 20.500.11820/3427c028-f2cb-4216-a199-9679a49ce71c . ISSN   1573-0964 . S2CID   49729020 .
• Пьетроски, Пол (2021). «Логическая форма: 1. Закономерности разума» . Стэнфордская энциклопедия философии . Лаборатория метафизических исследований Стэнфордского университета. Архивировано из оригинала 2 октября 2021 года . Проверено 4 декабря 2021 г.
• Планти-Бонжур, Гай (2012). Категории диалектического материализма: современная советская онтология . Springer Science & Business Media. п. 62. ИСБН  978-94-010-3517-0 .
• Поссин, Кевин (2016). «Проводящие аргументы: почему это все еще актуально?» . Неформальная логика . 36 (4): 563–593. дои : 10.22329/il.v36i4.4527 . Архивировано из оригинала 8 января 2022 года . Проверено 8 января 2022 г.
• Священник, Грэм; Танака, Кодзи; Вебер, Зак (2018). «Паранепротиворечивая логика» . Стэнфордская энциклопедия философии . Лаборатория метафизических исследований Стэнфордского университета . Проверено 14 декабря 2021 г.
• Пепен, Жан (2004). «Логос». Энциклопедия религии . ISBN  978-0-02-865733-2 . Архивировано из оригинала 29 декабря 2021 года . Проверено 29 декабря 2021 г.
• Патнэм, Х. (1969). «Является ли логика эмпирической?». Бостонские исследования в области философии науки . Том. 5. С. 216–241. дои : 10.1007/978-94-010-3381-7_5 . ISBN  978-94-010-3383-1 .
• Куайн, Уиллард Ван Орман (1981). Математическая логика . Издательство Гарвардского университета. п. 1. ISBN  978-0-674-55451-1 .
• Ратьен, Майкл; Зиг, Вильфрид (2022). «Теория доказательств» . Стэнфордская энциклопедия философии . Лаборатория метафизических исследований Стэнфордского университета . Проверено 4 марта 2023 г.
• Раутенберг, Вольфганг (1 июля 2010 г.). Краткое введение в математическую логику . Спрингер. п. 15. ISBN  978-1-4419-1221-3 .
• Рендсвиг, Расмус; Саймонс, Джон (2021). «Эпистемическая логика» . Стэнфордская энциклопедия философии . Лаборатория метафизических исследований Стэнфордского университета . Проверено 11 марта 2023 г.
• Рестолл, Грег; Стандефер, Шон (2023). Логические методы . МТИ Пресс. п. 91. ИСБН  978-0-262-54484-9 .
• Ричардсон, Алан В. (1998). Конструкция мира Карнапа: Aufbau и возникновение логического эмпиризма . Издательство Кембриджского университета. п. 15. ISBN  978-0-521-43008-1 .
• Рини, Адриана (13 декабря 2010 г.). Модальные доказательства Аристотеля: предварительная аналитика A8-22 в логике предикатов . Springer Science & Business Media. п. 26. ISBN  978-94-007-0050-5 .
• Ритола, Юхо (1 декабря 2008 г.). «Неформальная логика Уолтона: прагматический подход» . Неформальная логика . 28 (4): 335. дои : 10.22329/il.v28i4.2856 .
• Рокчи, Андреа (8 марта 2017 г.). Модальность в аргументации: семантическое исследование роли модальностей в структуре аргументов с применением к итальянским модальным выражениям . Спрингер. п. 26. ISBN  978-94-024-1063-1 .
• Рошкер, Яна С. (май 2015 г.). «Классическая китайская логика: философский компас». Философский компас . 10 (5): 301–309. дои : 10.1111/phc3.12226 .
• Ранко, Марк А.; Притцкер, Стивен Р. (1999). Энциклопедия творчества . Академическая пресса. п. 155. ИСБН  978-0-12-227075-8 .
• Раш, Пенелопа (2014). "Введение". Метафизика логики . Издательство Кембриджского университета. стр. 1–10. ISBN  978-1-107-03964-3 . Архивировано из оригинала 7 декабря 2021 года . Проверено 8 января 2022 г.
• Садег-Заде, Казем (2015). Справочник по аналитической философии медицины . Спрингер. п. 983. ИСБН  978-94-017-9579-1 .
• Сагуйо, Хосе М. (2014). «Хинтикка об информации и дедукции». Теорема: Международный философский журнал . 33 (2): 75–88. ISSN   0210-1602 . JSTOR   43047609 .
• Саруккай, Сундар; Чакраборти, Михир Кумар (2022). Справочник логического мышления в Индии . Спрингер Природа. стр. 117–8. ISBN  978-81-322-2577-5 .
• Шагрин, Мортон Л. «Металогика» . Британская энциклопедия . Проверено 23 сентября 2022 г.
• Шехтер, Джошуа. «Эпистемология логики – Библиография» . ФилПаперс . Проверено 11 сентября 2022 г.
• Шлезингер, И.М.; Керен-Портной, Тамар; Паруш, Тамар (1 января 2001 г.). Структура аргументов . Издательство Джона Бенджамина. п. 220. ИСБН  978-90-272-2359-3 .
• Шрайнер, Вольфганг (2021). Программы мышления: логическое моделирование и рассуждения о языках, данных, вычислениях и исполнениях . Спрингер Природа. п. 22. ISBN  978-3-030-80507-4 .
• Скотт, Джон; Маршалл, Гордон (2009). «аналитическая индукция». Словарь социологии . Издательство Оксфордского университета. ISBN  978-0-19-953300-8 . Архивировано из оригинала 8 января 2022 года . Проверено 8 января 2022 г.
• Шапиро, Стюарт; Кури Киссель, Тереза ​​(2022). «Классическая логика» . Стэнфордская энциклопедия философии . Лаборатория метафизических исследований Стэнфордского университета . Проверено 19 июля 2023 г.
• Шермер, Майкл (25 октября 2022 г.). Заговор: почему рациональные люди верят иррациональным . Джу Пресс. ISBN  978-1-4214-4445-1 .
• Сайдер, Теодор (2010). Логика для философии . Издательство Оксфордского университета. ISBN  978-0-19-957558-9 .
• Сигел, Харви; Биро, Джон (1997). «Эпистемическая нормативность, аргументация и заблуждения» . Аргументация . 11 (3): 277–292. дои : 10.1023/А:1007799325361 . S2CID   126269789 . Архивировано из оригинала 28 февраля 2022 года . Проверено 4 января 2022 г.
• Симпсон, Р.Л. (2008). Основы символической логики (3-е изд.). Бродвью Пресс. п. 14. ISBN  978-1-77048-495-5 .
• Смит, Робин (2022). «Логика Аристотеля» . Стэнфордская энциклопедия философии . Лаборатория метафизических исследований Стэнфордского университета . Проверено 11 марта 2023 г.
• Спейд, Пол Винсент; Паначчо, Клод (2019). «Уильям Оккам» . Стэнфордская энциклопедия философии . Лаборатория метафизических исследований Стэнфордского университета.
• Сприггс, Джон (2012). GSN – Обозначение структурирования цели: структурированный подход к представлению аргументов . Springer Science & Business Media. стр. 20–22. ISBN  978-1-4471-2312-5 .
• Лестница, Аллен (2017). Путеводитель мыслителя по философии религии . Рутледж. п. 343. ИСБН  978-1-351-21981-5 .
• Штернберг, Роберт Дж. «Мысль» . Британская энциклопедия . Архивировано из оригинала 13 октября 2021 года . Проверено 14 октября 2021 г.
• Столяр, Абрам Аронович (1 января 1984 г.). Введение в элементарную математическую логику . Курьерская компания. ISBN  978-0-486-64561-2 .
• Стоун, Марк А. (2012). «Отрицание антецедента: его эффективное использование в аргументации» . Неформальная логика . 32 (3): 327–356. дои : 10.22329/il.v32i3.3681 . Архивировано из оригинала 28 февраля 2022 года . Проверено 8 января 2022 г.
• Стамп, Дэвид Дж. «Логическая ошибка» . энциклопедия.com . Архивировано из оригинала 15 февраля 2021 года . Проверено 20 марта 2021 г.
• Тэлботт, Уильям (2016). «Байесовская эпистемология» . Стэнфордская энциклопедия философии . Лаборатория метафизических исследований Стэнфордского университета. Архивировано из оригинала 1 апреля 2021 года . Проверено 6 марта 2021 г.
• Тарский, Альфред (1994). Введение в логику и методологию дедуктивных наук . Издательство Оксфордского университета. п. 40. ИСБН  978-0-19-802139-1 .
• Тондл, Л. (2012). Проблемы семантики: вклад в анализ науки о языке . Springer Science & Business Media. п. 111. ИСБН  978-94-009-8364-9 .
• Веллеман, Дэниел Дж. (2006). Как это доказать: структурированный подход . Издательство Кембриджского университета. п. 8, 103. ISBN  978-0-521-67599-4 .
• Викерс, Джон М. (2022). «Индуктивное рассуждение» . Оксфордские библиографии . Издательство Оксфордского университета . Проверено 18 января 2023 г.
• Видьябхушана, Сатис Чандра (1988). История индийской логики: древние, средневековые и современные школы . Издательство Мотилал Банарсидасс. п. 221. ИСБН  978-81-208-0565-1 .
• Влит, Ван Джейкоб Э. (2010). "Введение". Неформальные логические ошибки: краткое руководство . Упа. стр. ix–x. ISBN  978-0-7618-5432-6 . Архивировано из оригинала 28 февраля 2022 года . Проверено 2 января 2022 г.
• Вяэнянен, Йоуко (2021). «Логика второго и высшего порядка» . Стэнфордская энциклопедия философии . Лаборатория метафизических исследований Стэнфордского университета. Архивировано из оригинала 30 октября 2021 года . Проверено 23 ноября 2021 г.
• Уолтон, Дуглас Н. (1987). Неформальные заблуждения: к теории аргументированной критики . Джон Бенджаминс. ISBN  978-1-55619-010-0 . Архивировано из оригинала 2 марта 2022 года . Проверено 2 января 2022 г.
• Уоррен, Джаред (2020). Тени синтаксиса: возрождение логического и математического конвенционализма . Издательство Оксфордского университета. ISBN  978-0-19-008615-2 .
• Уошелл, Ричард Ф. (1973). «Логика, язык и Альберт Великий» . Журнал истории идей . 34 (3): 445–50. дои : 10.2307/2708963 . JSTOR   2708963 .
• Василевская, Анита (2018). Логика для информатики: классическая и неклассическая . Спрингер. стр. 145–6. ISBN  978-3-319-92591-2 .
• Вебер, Зак. «Паранепротиворечивая логика» . Интернет-энциклопедия философии . Проверено 12 декабря 2021 г.
• Уэддл, Перри (2011). «Глава 36. Неформальная логика и эдуктивно-индуктивное различие». Через границы дисциплин . Де Грюйтер Мутон. стр. 383–388. дои : 10.1515/9783110867718.383 . ISBN  978-3-11-086771-8 . Архивировано из оригинала 31 декабря 2021 года . Проверено 2 января 2022 г.
• Вестерстол, Даг (1989). «Аристотелевские силлогизмы и обобщенные квантификаторы» . Студия Логика . 48 (4): 577–585. дои : 10.1007/BF00370209 . S2CID   32089424 . Архивировано из оригинала 4 января 2022 года . Проверено 4 января 2022 г.
• Уилбенкс, Ян Дж. (1 марта 2010 г.). «Определение дедукции, индукции и достоверности» . Аргументация . 24 (1): 107–124. дои : 10.1007/s10503-009-9131-5 . ISSN   1572-8374 . S2CID   144481717 . Архивировано из оригинала 8 января 2022 года . Проверено 8 января 2022 г.
• Вилце, Александр (2021). «Квантовая логика и теория вероятностей: 2.1 Реалистичная квантовая логика» . Стэнфордская энциклопедия философии . Лаборатория метафизических исследований Стэнфордского университета . Проверено 11 марта 2023 г.
• Уайл, Брюс; Госс, Джон; Рёснер, Вольфганг (2005). Комплексная функциональная проверка: полный отраслевой цикл . Эльзевир. п. 447. ИСБН  978-0-08-047664-3 .
• Уиллман, Маршалл Д. (2022). «Логика и язык в ранней китайской философии» . Стэнфордская энциклопедия философии . Лаборатория метафизических исследований Стэнфордского университета. Введение . Проверено 11 марта 2023 г.
• Вольф, Роберт Г. (1978). «Является ли соответствующая логика отклонением?» . Философия . 7 (2): 327–340. дои : 10.1007/BF02378819 . S2CID   143697796 . Архивировано из оригинала 16 декабря 2021 года . Проверено 4 января 2022 г.
• Зегарелли, Марк (2010). Логика для чайников . Джон Уайли и сыновья. п. 30. ISBN  978-1-118-05307-2 . Архивировано из оригинала 14 мая 2015 года . Проверено 7 марта 2015 г.

Дальнейшее чтение

• Барвайз, Джон (1989). Справочник по математической логике . Эльзевир. ISBN  978-0-08-093364-1 .
• Белнап, Нуэль (1977). «Полезная четырехзначная логика». В Данне, Дж. Майкл; Эпштейн, Джордж (ред.). Современное использование многозначной логики . Спрингер. стр. 8–40. ISBN  978-90-277-0747-5 .
• Боченский, Юзеф Мария (1959). Краткое изложение математической логики . Спрингер Нидерланды. ISBN  978-94-017-0592-9 .
• Боченский, Юзеф Мария (1970). История формальной логики . Издательская компания Челси. ISBN  978-0-8284-0238-5 .
• Брукшир, Дж. Гленн (1989). Теория вычислений: формальные языки, автоматы и сложность . Паб Бенджамин / Каммингс. компании ISBN  978-0-8053-0143-4 .
• Коэн, Роберт С.; Вартофски, Маркс В. (2012). Логико-эпистемологические исследования в современной физике . Springer Science & Business Media. ISBN  978-94-010-2656-7 .
• Финкельштейн, Дэвид (2012). «Материя, пространство и логика» . В Коэне, Роберт С.; Вартофски, Маркс В. (ред.). Бостонские исследования в области философии науки: материалы Бостонского коллоквиума по философии науки 1966/1968 . Springer Science & Business Media. ISBN  978-94-010-3381-7 .
• Габбай, Дов М .; Гентнер, Франц (2011). Справочник по философской логике: Том I: Элементы классической логики . Спрингер Нидерланды. ISBN  978-94-009-7068-7 .
• Харпер, Роберт (2001). «Логика» . Интернет-словарь этимологии . Архивировано из оригинала 6 февраля 2009 года . Проверено 8 мая 2009 г.
• Гильберт, Дэвид ; Акерманн, Вильгельм (21 ноября 2013 г.). Основы теоретической логики (на немецком языке). Издательство Спрингер. ISBN  978-3-662-41928-1 .
• Ходжес, Уилфрид (2001). Логика . Взрослый пингвин. ISBN  978-0-14-100314-6 .
• Хофвебер, Томас (2021). «Логика и онтология» . Стэнфордская энциклопедия философии . Лаборатория метафизических исследований Стэнфордского университета.
• Хьюз, RIG (1993). Философский спутник логики первого порядка . Издательство Хакетт. ISBN  978-0-87220-181-1 .
• Мендельсон, Эллиотт (2015). Введение в математическую логику (6-е изд.). Тейлор и Фрэнсис. ISBN  978-1-4822-3772-6 .
• Смит, Барри (1989). «Логика и Sachverhalt» . Монист . 72 (1): 52–69. дои : 10.5840/monist19897212 .
• Уайтхед, Альфред Норт ; Рассел, Бертран (1910). Принципы математики . Черновая печать. ISBN  9781603864374 . OCLC   872285723 .

Внешние ссылки

• «Логическое исчисление» , Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
• Логический калькулятор – веб-приложение для вычисления простых операторов символьной логики.
• Онтология и история логики - Введение с аннотированной библиографией