Векторная логика

Векторная логика ^[1]^[2] — алгебраическая модель элементарной логики, основанная на матричной алгебре . Векторная логика предполагает, что значения истинности отображаются на векторах и что монадические и диадические операции выполняются матричными операторами. «Векторная логика» также использовалась для обозначения представления классической логики высказываний в виде векторного пространства . ^[3]^[4] в которых единичные векторы являются пропозициональными переменными . Логику предикатов можно представить как однотипное векторное пространство, в котором оси представляют буквы предикатов. $S$ и $P$ . ^[5] В векторном пространстве логики высказываний начало представляет ложное F, а бесконечная периферия представляет истинное T, тогда как в пространстве логики предикатов начало представляет «ничто», а периферия представляет бегство из ничего или «нечто». ".

Обзор

Классическая бинарная логика представлена небольшим набором математических функций, зависящих от одной (монадической) или двух (диадических) переменных. В двоичном наборе значение 1 соответствует true , а значение 0 — false . Двузначная векторная логика требует соответствия между истинностными значениями true (t) и false (f) и двумя q -мерными нормализованными с действительными значениями векторами-столбцами s и n , следовательно:

t\mapsto s

и

f\mapsto n

(где $q\geq 2$ — произвольное натуральное число, а «нормализованный» означает, что длина вектора равна 1; обычно s и n — ортогональные векторы). Это соответствие порождает пространство векторных значений истинности: V ₂ = { s , n }. Основные логические операции, определенные с использованием этого набора векторов, приводят к матричным операторам.

Операции векторной логики основаны на скалярном произведении - мерных q векторов-столбцов: $u^{T}v=\langle u,v\rangle$ : ортонормальность между векторами s и n означает, что $\langle u,v\rangle =1$ если $u=v$ , и $\langle u,v\rangle =0$ если $u\neq v$ , где $u,v\in \{s,n\}$ .

Монадические операторы

Монадические операторы являются результатом применения $Mon:V_{2}\to V_{2}$ , а связанные матрицы имеют q строк и q столбцов. Два основных монадических оператора для этой двузначной векторной логики — это тождество и отрицание :

Идентичность : логический идентификатор идентификации ( p ) представлен матрицей $I=ss^{T}+nn^{T}$ . Эта матрица работает следующим образом: Ip = p , p ∈ V ₂ ; из-за ортогональности s относительно n мы имеем $Is=ss^{T}s+nn^{T}s=s\langle s,s\rangle +n\langle n,s\rangle =s$ и аналогично $In=n$ . Важно отметить, что эта единичная матрица векторной логики обычно не является единичной матрицей в смысле матричной алгебры.
Отрицание : логическое отрицание ¬ p представлено матрицей $N=ns^{T}+sn^{T}$ Следовательно, Ns = n и Nn = s . Инволютивное p поведение логического отрицания, а именно то, что ¬(¬ ) равно p , соответствует тому факту, что N ² = Я.

Диадические операторы

16 двузначных диадических операторов соответствуют функциям типа $Dyad:V_{2}\otimes V_{2}\to V_{2}$ ; двоичные матрицы имеют q ² строк и q столбцов.Матрицы, выполняющие эти диадические операции, основаны на свойствах произведения Кронекера . Два свойства этого произведения существенны для формализма векторной логики:

Смешанное свойство продукта
Если A , B , C и D — матрицы такого размера, что можно образовать матричные произведения AC и BD , то
$(A\otimes B)(C\otimes D)=AC\otimes BD$
Дистрибутивное транспонирование. Операция транспонирования является дистрибутивной по произведению Кронекера:
$(A\otimes B)^{T}=A^{T}\otimes B^{T}.$

Используя эти свойства, можно получить выражения для функций диадической логики:

Соединение . Соединение ( p ∧ q ) выполняется матрицей, которая действует на два векторных значения истинности: $C(u\otimes v)$ .Эта матрица воспроизводит особенности классической таблицы истинности конъюнкции в ее формулировке:

C=s(s\otimes s)^{T}+n(s\otimes n)^{T}+n(n\otimes s)^{T}+n(n\otimes n)^{T}

и проверяет

C(s\otimes s)=s,

и

C(s\otimes n)=C(n\otimes s)=C(n\otimes n)=n.

Дизъюнкция . Дизъюнкция ( p ∨ q ) осуществляется матрицей

D=s(s\otimes s)^{T}+s(s\otimes n)^{T}+s(n\otimes s)^{T}+n(n\otimes n)^{T},

в результате чего

D(s\otimes s)=D(s\otimes n)=D(n\otimes s)=s

и

D(n\otimes n)=n.

Импликация . Импликация соответствует в классической логике выражению p → q ≡ ¬ p ∨ q . Версия этой эквивалентности с векторной логикой приводит к матрице, которая представляет это импликацию в векторной логике: $L=D(N\otimes I)$ . Явное выражение этой импликации таково:

L=s(s\otimes s)^{T}+n(s\otimes n)^{T}+s(n\otimes s)^{T}+s(n\otimes n)^{T},

и выполняются свойства классической импликации:

L(s\otimes s)=L(n\otimes s)=L(n\otimes n)=s

и

L(s\otimes n)=n.

Эквивалентность и эксклюзивность или . В векторной логике эквивалентность p ≡ q представляется следующей матрицей:

E=s(s\otimes s)^{T}+n(s\otimes n)^{T}+n(n\otimes s)^{T}+s(n\otimes n)^{T}

с

E(s\otimes s)=E(n\otimes n)=s

и

E(s\otimes n)=E(n\otimes s)=n.

Исключительное или является отрицанием эквивалентности, ¬( p ≡ q ); это соответствует матрице

X=NE

данный

X=n(s\otimes s)^{T}+s(s\otimes n)^{T}+s(n\otimes s)^{T}+n(n\otimes n)^{T},

с

X(s\otimes s)=X(n\otimes n)=n

и

X(s\otimes n)=X(n\otimes s)=s.

И-НЕ и НО

Матрицы S и P соответствуют операциям Шеффера (NAND) и Пирса (NOR) соответственно:

S=NC

P=ND

Числовые примеры

Вот численные примеры некоторых основных логических элементов, реализованных в виде матриц для двух разных наборов двумерных ортонормированных векторов для s и n .

Набор 1 : $s={\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}}\quad n={\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}}$

В этом случае тождественными и отрицательными операторами являются тождественная и антидиагональная тождественные матрицы:

$I={\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}},\quad N={\begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix}}$

а матрицы конъюнкции, дизъюнкции и импликации имеют вид

$C={\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&1&1&1\end{bmatrix}},\quad D={\begin{bmatrix}1&1&1&0\\0&0&0&1\end{bmatrix}},\quad L={\begin{bmatrix}1&0&1&1\\0&1&0&0\end{bmatrix}}$ соответственно.

Набор 2 : $s={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix}}\quad n={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{bmatrix}1\\-1\end{bmatrix}}$

Здесь единичный оператор является единичной матрицей, но оператор отрицания больше не является антидиагональной единичной матрицей:

$I={\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}},\quad N={\begin{bmatrix}1&0\\0&-1\end{bmatrix}}$

Результирующие матрицы конъюнкции, дизъюнкции и импликации:

$C={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{bmatrix}2&0&0&0\\-1&1&1&1\end{bmatrix}},\quad D={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{bmatrix}2&0&0&0\\1&1&1&-1\end{bmatrix}},\quad L={\begin{bmatrix}2&0&0&0\\1&1&-1&1\end{bmatrix}}$ соответственно.

Закон де Моргана

В двузначной логике операции конъюнкции и дизъюнкции удовлетворяют закону Де Моргана : p ∧ q ≡¬(¬ p ∨¬ q ) и двойственному ему закону: p ∨ q ≡¬(¬ p ∧¬ q )). Для двузначной векторной логики этот закон также проверяется:

C(u\otimes v)=ND(Nu\otimes Nv)

, где u и v — два логических вектора.

Произведение Кронекера подразумевает следующую факторизацию:

C(u\otimes v)=ND(N\otimes N)(u\otimes v).

Тогда можно доказать, что в двумерной векторной логике закон Де Моргана является законом, касающимся операторов, а не только законом, касающимся операций: ^[6]

C=ND(N\otimes N)

Закон противопоставления

В классическом исчислении высказываний закон противопоставления p → q ≡ ¬ q → ¬ p доказывается, поскольку эквивалентность справедлива для всех возможных комбинаций истинностных значений p и q . ^[7] Вместо этого в векторной логике закон противопоставления возникает из цепочки равенств в рамках правил матричной алгебры и произведений Кронекера, как показано ниже:

L(u\otimes v)=D(N\otimes I)(u\otimes v)=D(Nu\otimes v)=D(Nu\otimes NNv)=

D(NNv\otimes Nu)=D(N\otimes I)(Nv\otimes Nu)=L(Nv\otimes Nu)

Этот результат основан на том факте, что D , матрица дизъюнкции, представляет собой коммутативную операцию.

Многозначная двумерная логика

Многозначная логика была разработана многими исследователями, в частности Яном Лукасевичем , и позволяет расширять логические операции на истинностные значения, включающие неопределенности. ^[8] В случае двузначной векторной логики неопределенности в значениях истинности могут быть введены с использованием векторов с s и n, взвешенными по вероятностям.

Позволять $f=\epsilon s+\delta n$ , с $\epsilon ,\delta \in [0,1],\epsilon +\delta =1$ быть такого рода «вероятностными» векторами. Здесь многозначный характер логики вводится апостериорно через неопределенности, вносимые во входные данные. ^[1]

Скалярные проекции векторных выходов

Результаты этой многозначной логики можно проецировать на скалярные функции и генерировать особый класс вероятностной логики, схожей с многозначной логикой Райхенбаха. ^[9]^[10]^[11] Учитывая два вектора $u=\alpha s+\beta n$ и $v=\alpha 's+\beta 'n$ и диадическая логическая матрица $G$ скалярно-вероятностная логика обеспечивается проекцией на вектор s :

Val(\mathrm {scalars} )=s^{T}G(\mathrm {vectors} )

Вот основные результаты этих прогнозов:

NOT(\alpha )=s^{T}Nu=1-\alpha

OR(\alpha ,\alpha ')=s^{T}D(u\otimes v)=\alpha +\alpha '-\alpha \alpha '

AND(\alpha ,\alpha ')=s^{T}C(u\otimes v)=\alpha \alpha '

IMPL(\alpha ,\alpha ')=s^{T}L(u\otimes v)=1-\alpha (1-\alpha ')

XOR(\alpha ,\alpha ')=s^{T}X(u\otimes v)=\alpha +\alpha '-2\alpha \alpha '

Соответствующие отрицания:

NOR(\alpha ,\alpha ')=1-OR(\alpha ,\alpha ')

NAND(\alpha ,\alpha ')=1-AND(\alpha ,\alpha ')

EQUI(\alpha ,\alpha ')=1-XOR(\alpha ,\alpha ')

Если скалярные значения принадлежат множеству {0, ⁠ 1 / 2 ⁠ , 1} эта многозначная скалярная логика для многих операторов почти идентична 3-значной логике Лукасевича. Также было доказано, что когда монадические или диадические операторы действуют над вероятностными векторами, принадлежащими этому набору, выход также является элементом этого набора. ^[6]

Квадратный корень из НЕ

Этот оператор изначально был определен для кубитов в рамках квантовых вычислений . ^[12]^[13] В векторной логике этот оператор можно расширить для произвольных ортонормированных значений истинности. ^[2]^[14] На самом деле из НЕ есть два квадратных корня:

A=({\sqrt {N}})_{1}={\frac {1}{2}}(1+i)I+{\frac {1}{2}}(1-i)N

, и

B=({\sqrt {N}})_{2}={\frac {1}{2}}(1-i)I+{\frac {1}{2}}(1+i)N

,

с $i={\sqrt {-1}}$ . $A$ и $B$ являются комплексно-сопряженными: $B=A^{*}$ , и обратите внимание, что $A^{2}=B^{2}=N$ , и $AB=BA=I$ . Еще один интересный момент — аналогия с двумя квадратными корнями из -1. Положительный корень $+({\sqrt {-1}})$ соответствует $({\sqrt {N}})_{1}=IA$ , и отрицательный корень $-({\sqrt {-1}})$ соответствует $({\sqrt {N}})_{2}=NA$ ; как следствие, $NA=B$ .

История

Ранние попытки использовать линейную алгебру для представления логических операций можно отнести к Пирсу и Копиловишу . ^[15] особенно в использовании логических матриц для интерпретации исчисления отношений .

Этот подход был вдохновлен моделями нейронных сетей , основанными на использовании многомерных матриц и векторов. ^[16]^[17] Векторная логика представляет собой прямой перевод классических булевых многочленов в матрично-векторный формализм . ^[18] Этот вид формализма был применен для разработки нечеткой логики в терминах комплексных чисел . ^[19] Другие матричные и векторные подходы к логическому исчислению были разработаны в рамках квантовой физики , информатики и оптики . ^[20]^[21]

Индийский известных биофизик Г. Н. Рамачандран разработал формализм с использованием алгебраических матриц и векторов для представления многих операций классической джайнской логики, как Сьяд и Саптбханги; см . индийскую логику . ^[22] Он требует независимых утвердительных доказательств для каждого утверждения в предложении и не делает предположения о бинарном дополнении.

Булевы полиномы

Джордж Буль установил развитие логических операций как многочленов. ^[18] В случае монадических операторов (таких как тождество или отрицание ), булевы полиномы выглядят следующим образом:

f(x)=f(1)x+f(0)(1-x)

Четыре разные монадические операции являются результатом разных двоичных значений коэффициентов. Для операции тождества требуются f (1) = 1 и f (0) = 0, а отрицание происходит, если f (1) = 0 и f (0) = 1. Для 16 двоичных операторов булевы полиномы имеют вид:

f(x,y)=f(1,1)xy+f(1,0)x(1-y)+f(0,1)(1-x)y+f(0,0)(1-x)(1-y)

Диадические операции могут быть переведены в этот полиномиальный формат, когда коэффициенты f принимают значения, указанные в соответствующих таблицах истинности . Например: операция NAND требует, чтобы:

f(1,1)=0

и

f(1,0)=f(0,1)=f(0,0)=1

.

Эти булевы полиномы можно немедленно расширить на любое количество переменных, создавая большое потенциальное разнообразие логических операторов.В векторной логике матрично-векторная структура логических операторов представляет собой точный перевод в формат линейной алгебры этих булевых многочленов, где x и 1− x соответствуют векторам s и n соответственно (то же самое для y и 1− y ). В примере NAND f (1,1) = n и f (1,0) = f (0,1) = f (0,0) = s , и версия матрицы становится:

S=n(s\otimes s)^{T}+s[(s\otimes n)^{T}+(n\otimes s)^{T}+(n\otimes n)^{T}]

Расширения

Векторную логику можно расширить, включив в нее множество значений истинности, поскольку векторные пространства большой размерности позволяют создавать множество ортогональных значений истинности и соответствующие логические матрицы. ^[2]
Логические модальности могут быть полностью представлены в этом контексте с помощью рекурсивных процессов, вдохновленных нейронными моделями . ^[2]^[23]
Некоторые когнитивные проблемы, связанные с логическими вычислениями, можно проанализировать с помощью этого формализма, в частности, рекурсивные решения. Любое логическое выражение классического исчисления высказываний может быть естественным образом представлено древовидной структурой . ^[7] Этот факт сохраняется в векторной логике и частично используется в нейронных моделях, ориентированных на исследование разветвленной структуры естественных языков. ^[24]^[25]^[26]^[27]^[28]^[29]
Вычисления с помощью обратимых операций, таких как вентиль Фредкина, могут быть реализованы в векторной логике. Такая реализация предоставляет явные выражения для матричных операторов, которые создают входной формат и выходную фильтрацию, необходимую для получения вычислений. ^[2]^[6]
Элементарные клеточные автоматы можно анализировать с использованием операторной структуры векторной логики; этот анализ приводит к спектральному разложению законов, управляющих его динамикой. ^[30]^[31]
дискретное дифференциальное и интегральное исчисление . Кроме того, на основе этого формализма разработано ^[32]

См. также

Ссылки

^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Мизраджи, Э. (1992). Векторная логика: матрично-векторное представление логического исчисления. Нечеткие множества и системы, 50, 179–185.
^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д ^и Мизраджи, Э. (2008) Векторная логика: естественное алгебраическое представление фундаментальных логических элементов. Журнал логики и вычислений, 18, 97–121.
^ Вестфаль Дж. и Харди Дж. (2005) Логика как векторная система. Журнал логики и вычислений, 751–765.
^ Вестфаль, Дж. Колфилд, Х. Дж. Харди, Дж. и Цянь, Л. (2005) Доказательство теорем оптической векторной логики. Материалы совместной конференции по информационным системам, фотонике, сетям и вычислительной технике.
^ Вестфаль, Дж (2010). Применение векторной теории к силлогистической логике. Новые перспективы на площади Оппозиции, Берн, Питер Ланг.
^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б ^с Мизраджи, Э. (1996) Операторы векторной логики. Ежеквартальный журнал «Математическая логика», 42, 27–39.
^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Суппес, П. (1957) Введение в логику, Ван Ностранд Рейнхольд, Нью-Йорк.
^ Лукасевич, Дж. (1980) Избранные произведения. Л. Борковски, изд., стр. 153–178. Северная Голландия,Амстердам, 1980 г.
^ Решер, Н. (1969) Многозначная логика. Макгроу-Хилл, Нью-Йорк
^ Бланше, Р. (1968) Введение в современную логику, Арман Колен, Париж
^ Клир, Г.Дж., Юань, Г. (1995) Нечеткие множества и нечеткая логика. Прентис-Холл, Нью-Джерси
^ Хейс, Б. (1995) Квадратный корень из НЕ. Американский учёный, 83, 304–308.
^ Дойч Д., Экерт А. и Лупаккини Р. (2000) Машины, логика и квантовая физика. Бюллетень символической логики, 6, 265–283.
^ Мизраджи, Э. (2020). Векторная логика допускает контрфактическую виртуализацию с помощью квадратного корня NOT, Logic Journal IGPL. Онлайн-версия ( два : 10.1093/jigpal/jzaa026 )
^ Копиловиш, И.М. (1948) Матричное развитие исчисления отношений. Журнал символической логики, 13, 193–203.
^ Кохонен, Т. (1977) Ассоциативная память: системно-теоретический подход. Спрингер-Верлаг, Нью-Йорк
^ Мизраджи, Э. (1989) Контекстно-зависимые ассоциации в линейно распределенных воспоминаниях . Бюллетень математической биологии, 50, 195–205.
^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Буль, Г. (1854) Исследование законов мышления, на которых основаны теории логики и вероятностей. Макмиллан, Лондон, 1854 г.; Дувр, Нью-Йоркское издание, 1958 г.
^ Дик, С. (2005) На пути к сложной нечеткой логике. Транзакции IEEE в нечетких системах, 15,405–414, 2005 г.
^ Миттельштадт, П. (1968) Философские проблемы современной физики, Библиографический институт, Мангейм
^ Стерн, А. (1988) Матричная логика: теория и приложения. Северная Голландия, Амстердам
^ Джайн, М.К. (2011) Логика выводов, основанных на фактических данных, Current Science, 1663–1672, 100
^ Мизраджи, Э. (1994) Модальности векторной логики. Архивировано 11 августа 2014 г. в Wayback Machine . Журнал формальной логики Нотр-Дама, 35, 272–283.
^ Мизраджи, Э., Лин, Дж. (2002) Динамика логических решений. Физика Д, 168–169, 386–396.
^ Бейм Грабен, П., Поттаст, Р. (2009). Обратные задачи динамического когнитивного моделирования. Хаос, 19, 015103
^ Бейм Грабен, П., Пиноцис, Д., Сэдди, Д., Поттаст, Р. (2008). Языковая обработка с динамическими полями. Когн. Нейродин., 2, 79–88.
^ Бейм Грабен, П., Герт, С., Васишт, С. (2008) К моделям динамических систем языковых потенциалов мозга. Когн. Нейродин., 2, 229–255.
^ Бейм Грабен, П., Герт, С. (2012) Геометрические представления минималистских грамматик. Журнал логики, языка и информации, 21, 393–432.
^ Бинацци, А. (2012) Логическое познание и ментальные модели. Исследования в области образования, 1–2012, с. 69–84
^ Мизраджи, Э. (2006) Части и целое: исследование того, как взаимодействие простых подсистем порождает сложность. Международный журнал общих систем, 35, стр. 395–415.
^ Аррути, К., Мизраджи, Э. (2006) Скрытые возможности. Международный журнал общих систем, 35, 461–469.
^ Мизраджи, Э. (2015) Дифференциальное и интегральное исчисление для логических операций. Матрично-векторный подход Journal of Logic and Computation 25, 613-638, 2015 г.

[miz92-1] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Мизраджи, Э. (1992). Векторная логика: матрично-векторное представление логического исчисления. Нечеткие множества и системы, 50, 179–185.

[miz08-2] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д ^и Мизраджи, Э. (2008) Векторная логика: естественное алгебраическое представление фундаментальных логических элементов. Журнал логики и вычислений, 18, 97–121.

[3] Вестфаль Дж. и Харди Дж. (2005) Логика как векторная система. Журнал логики и вычислений, 751–765.

[4] Вестфаль, Дж. Колфилд, Х. Дж. Харди, Дж. и Цянь, Л. (2005) Доказательство теорем оптической векторной логики. Материалы совместной конференции по информационным системам, фотонике, сетям и вычислительной технике.

[5] Вестфаль, Дж (2010). Применение векторной теории к силлогистической логике. Новые перспективы на площади Оппозиции, Берн, Питер Ланг.

[miz96-6] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б ^с Мизраджи, Э. (1996) Операторы векторной логики. Ежеквартальный журнал «Математическая логика», 42, 27–39.

[suppes-7] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Суппес, П. (1957) Введение в логику, Ван Ностранд Рейнхольд, Нью-Йорк.

[8] Лукасевич, Дж. (1980) Избранные произведения. Л. Борковски, изд., стр. 153–178. Северная Голландия,Амстердам, 1980 г.

[9] Решер, Н. (1969) Многозначная логика. Макгроу-Хилл, Нью-Йорк

[10] Бланше, Р. (1968) Введение в современную логику, Арман Колен, Париж

[11] Клир, Г.Дж., Юань, Г. (1995) Нечеткие множества и нечеткая логика. Прентис-Холл, Нью-Джерси

[12] Хейс, Б. (1995) Квадратный корень из НЕ. Американский учёный, 83, 304–308.

[13] Дойч Д., Экерт А. и Лупаккини Р. (2000) Машины, логика и квантовая физика. Бюллетень символической логики, 6, 265–283.

[miz20-14] Мизраджи, Э. (2020). Векторная логика допускает контрфактическую виртуализацию с помощью квадратного корня NOT, Logic Journal IGPL. Онлайн-версия ( два : 10.1093/jigpal/jzaa026 )

[15] Копиловиш, И.М. (1948) Матричное развитие исчисления отношений. Журнал символической логики, 13, 193–203.

[16] Кохонен, Т. (1977) Ассоциативная память: системно-теоретический подход. Спрингер-Верлаг, Нью-Йорк

[17] Мизраджи, Э. (1989) Контекстно-зависимые ассоциации в линейно распределенных воспоминаниях . Бюллетень математической биологии, 50, 195–205.

[boole-18] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Буль, Г. (1854) Исследование законов мышления, на которых основаны теории логики и вероятностей. Макмиллан, Лондон, 1854 г.; Дувр, Нью-Йоркское издание, 1958 г.

[19] Дик, С. (2005) На пути к сложной нечеткой логике. Транзакции IEEE в нечетких системах, 15,405–414, 2005 г.

[20] Миттельштадт, П. (1968) Философские проблемы современной физики, Библиографический институт, Мангейм

[21] Стерн, А. (1988) Матричная логика: теория и приложения. Северная Голландия, Амстердам

[22] Джайн, М.К. (2011) Логика выводов, основанных на фактических данных, Current Science, 1663–1672, 100

[23] Мизраджи, Э. (1994) Модальности векторной логики. Архивировано 11 августа 2014 г. в Wayback Machine . Журнал формальной логики Нотр-Дама, 35, 272–283.

[24] Мизраджи, Э., Лин, Дж. (2002) Динамика логических решений. Физика Д, 168–169, 386–396.

[25] Бейм Грабен, П., Поттаст, Р. (2009). Обратные задачи динамического когнитивного моделирования. Хаос, 19, 015103

[26] Бейм Грабен, П., Пиноцис, Д., Сэдди, Д., Поттаст, Р. (2008). Языковая обработка с динамическими полями. Когн. Нейродин., 2, 79–88.

[27] Бейм Грабен, П., Герт, С., Васишт, С. (2008) К моделям динамических систем языковых потенциалов мозга. Когн. Нейродин., 2, 229–255.

[28] Бейм Грабен, П., Герт, С. (2012) Геометрические представления минималистских грамматик. Журнал логики, языка и информации, 21, 393–432.

[29] Бинацци, А. (2012) Логическое познание и ментальные модели. Исследования в области образования, 1–2012, с. 69–84

[30] Мизраджи, Э. (2006) Части и целое: исследование того, как взаимодействие простых подсистем порождает сложность. Международный журнал общих систем, 35, стр. 395–415.

[31] Аррути, К., Мизраджи, Э. (2006) Скрытые возможности. Международный журнал общих систем, 35, 461–469.

[32] Мизраджи, Э. (2015) Дифференциальное и интегральное исчисление для логических операций. Матрично-векторный подход Journal of Logic and Computation 25, 613-638, 2015 г.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]

[20]

[21]

[22]

[23]

[24]

[25]

[26]

[27]

[28]

[29]

[30]

[31]

[32]