Продукт Кронекера

Чтобы узнать о произведении Кронекера представлений симметричных групп, см. коэффициент Кронекера .

В математике , произведение Кронекера иногда обозначаемое ⊗, представляет собой операцию над двумя матрицами произвольного размера, в результате которой получается блочная матрица . Это специализация тензорного произведения (обозначаемого тем же символом) от векторов к матрицам и дающая линейное отображение матрицы тензорного произведения относительно стандартного выбора базиса . Произведение Кронекера следует отличать от обычного умножения матриц , которое представляет собой совершенно другую операцию. Произведение Кронекера также иногда называют прямым произведением матрицы .

Произведение Кронекера названо в честь немецкого математика Леопольда Кронекера (1823–1891), хотя существует мало свидетельств того, что он первым определил и использовал его. Произведение Кронекера также называлось матрицей Цефуса и произведением Цефуса в честь Иоганна Георга Зефуса , который в 1858 году описал эту матричную операцию, но произведение Кронекера в настоящее время является наиболее широко используемым термином. Неправильная атрибуция Кронекера, а не Зефуса, произошла из-за Курта Хензеля .

Определение

Если A — размера m × n матрица , а B — матрица размера p × q , то произведение Кронекера A ⊗ B — это блочная матрица размера pm × qn :

$\mathbf {A} \otimes \mathbf {B} ={\begin{bmatrix}a_{11}\mathbf {B} &\cdots &a_{1n}\mathbf {B} \\\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}\mathbf {B} &\cdots &a_{mn}\mathbf {B} \end{bmatrix}},$

более явно:

${\mathbf {A} \otimes \mathbf {B} }={\begin{bmatrix}a_{11}b_{11}&a_{11}b_{12}&\cdots &a_{11}b_{1q}&\cdots &\cdots &a_{1n}b_{11}&a_{1n}b_{12}&\cdots &a_{1n}b_{1q}\\a_{11}b_{21}&a_{11}b_{22}&\cdots &a_{11}b_{2q}&\cdots &\cdots &a_{1n}b_{21}&a_{1n}b_{22}&\cdots &a_{1n}b_{2q}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &&&\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{11}b_{p1}&a_{11}b_{p2}&\cdots &a_{11}b_{pq}&\cdots &\cdots &a_{1n}b_{p1}&a_{1n}b_{p2}&\cdots &a_{1n}b_{pq}\\\vdots &\vdots &&\vdots &\ddots &&\vdots &\vdots &&\vdots \\\vdots &\vdots &&\vdots &&\ddots &\vdots &\vdots &&\vdots \\a_{m1}b_{11}&a_{m1}b_{12}&\cdots &a_{m1}b_{1q}&\cdots &\cdots &a_{mn}b_{11}&a_{mn}b_{12}&\cdots &a_{mn}b_{1q}\\a_{m1}b_{21}&a_{m1}b_{22}&\cdots &a_{m1}b_{2q}&\cdots &\cdots &a_{mn}b_{21}&a_{mn}b_{22}&\cdots &a_{mn}b_{2q}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &&&\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}b_{p1}&a_{m1}b_{p2}&\cdots &a_{m1}b_{pq}&\cdots &\cdots &a_{mn}b_{p1}&a_{mn}b_{p2}&\cdots &a_{mn}b_{pq}\end{bmatrix}}.$

С использованием $/\!/$ и $\%$ для обозначения усечения целочисленного деления и остатка соответственно и нумерации элементов матрицы, начиная с 0, получаем

$(A\otimes B)_{pr+v,qs+w}=a_{rs}b_{vw}$

$(A\otimes B)_{i,j}=a_{i/\!/p,j/\!/q}b_{i\%p,j\%q}.$

Для обычной нумерации, начиная с 1, получаем

$(A\otimes B)_{p(r-1)+v,q(s-1)+w}=a_{rs}b_{vw}$

$(A\otimes B)_{i,j}=a_{\lceil i/p\rceil ,\lceil j/q\rceil }b_{(i-1)\%p+1,(j-1)\%q+1}.$

Если A и B представляют линейные преобразования V ₁ → W ₁ и V ₂ → W ₂ соответственно, то тензорное произведение двух отображений представляется как A ⊗ B , что то же самое, что V ₁ ⊗ V ₂ → W ₁ ⊗ В ₂ .

Примеры

${\begin{bmatrix}1&2\\3&4\\\end{bmatrix}}\otimes {\begin{bmatrix}0&5\\6&7\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1{\begin{bmatrix}0&5\\6&7\\\end{bmatrix}}&2{\begin{bmatrix}0&5\\6&7\\\end{bmatrix}}\\3{\begin{bmatrix}0&5\\6&7\\\end{bmatrix}}&4{\begin{bmatrix}0&5\\6&7\\\end{bmatrix}}\\\end{bmatrix}}=\left[{\begin{array}{cc|cc}1\times 0&1\times 5&2\times 0&2\times 5\\1\times 6&1\times 7&2\times 6&2\times 7\\\hline 3\times 0&3\times 5&4\times 0&4\times 5\\3\times 6&3\times 7&4\times 6&4\times 7\\\end{array}}\right]=\left[{\begin{array}{cc|cc}0&5&0&10\\6&7&12&14\\\hline 0&15&0&20\\18&21&24&28\end{array}}\right].$

Сходным образом:

${\begin{bmatrix}1&-4&7\\-2&3&3\end{bmatrix}}\otimes {\begin{bmatrix}8&-9&-6&5\\1&-3&-4&7\\2&8&-8&-3\\1&2&-5&-1\end{bmatrix}}=\left[{\begin{array}{cccc|cccc|cccc}8&-9&-6&5&-32&36&24&-20&56&-63&-42&35\\1&-3&-4&7&-4&12&16&-28&7&-21&-28&49\\2&8&-8&-3&-8&-32&32&12&14&56&-56&-21\\1&2&-5&-1&-4&-8&20&4&7&14&-35&-7\\\hline -16&18&12&-10&24&-27&-18&15&24&-27&-18&15\\-2&6&8&-14&3&-9&-12&21&3&-9&-12&21\\-4&-16&16&6&6&24&-24&-9&6&24&-24&-9\\-2&-4&10&2&3&6&-15&-3&3&6&-15&-3\end{array}}\right]$

Свойства

другими матричными

1. Билинейность и ассоциативность :

   Произведение Кронекера является частным случаем тензорного произведения , поэтому оно билинейно и ассоциативно :

   ${\begin{aligned}\mathbf {A} \otimes (\mathbf {B} +\mathbf {C} )&=\mathbf {A} \otimes \mathbf {B} +\mathbf {A} \otimes \mathbf {C} ,\\(\mathbf {B} +\mathbf {C} )\otimes \mathbf {A} &=\mathbf {B} \otimes \mathbf {A} +\mathbf {C} \otimes \mathbf {A} ,\\(k\mathbf {A} )\otimes \mathbf {B} &=\mathbf {A} \otimes (k\mathbf {B} )=k(\mathbf {A} \otimes \mathbf {B} ),\\(\mathbf {A} \otimes \mathbf {B} )\otimes \mathbf {C} &=\mathbf {A} \otimes (\mathbf {B} \otimes \mathbf {C} ),\\\mathbf {A} \otimes \mathbf {0} &=\mathbf {0} \otimes \mathbf {A} =\mathbf {0} ,\end{aligned}}$

   где A , B и C — матрицы, 0 — нулевая матрица, а k — скаляр.
2. Некоммутативный ​ :

   В общем случае A ⊗ B и B ⊗ A — разные матрицы. Однако A ⊗ B и B ⊗ A эквивалентны перестановкам, что означает, что существуют матрицы перестановок P и Q такие, что

   $\mathbf {B} \otimes \mathbf {A} =\mathbf {P} \,(\mathbf {A} \otimes \mathbf {B} )\,\mathbf {Q} .$

   Если A и B — квадратные матрицы, то A ⊗ B и B ⊗ A являются четными перестановками, подобными , что означает, что мы можем взять P = Q ^Т .

   Матрицы P и Q являются матрицами идеального тасования. Идеальная матрица тасования Sp _{, может быть построена q} путем взятия срезов единичной матрицы I _r , где $r=pq$.

   $\mathbf {S} _{p,q}={\begin{bmatrix}\mathbf {I} _{r}(1:q:r,:)\\\mathbf {I} _{r}(2:q:r,:)\\\vdots \\\mathbf {I} _{r}(q:q:r,:)\end{bmatrix}}$

   Обозначение двоеточия MATLAB используется здесь для обозначения подматриц, а I _r — единичная матрица размера r × r . Если $\mathbf {A} \in \mathbb {R} ^{m_{1}\times n_{1}}$ и $\mathbf {B} \in \mathbb {R} ^{m_{2}\times n_{2}}$, затем

   $\mathbf {B} \otimes \mathbf {A} =\mathbf {S} _{m_{1},m_{2}}(\mathbf {A} \otimes \mathbf {B} )\mathbf {S} _{n_{1},n_{2}}^{\textsf {T}}$

3. Свойство смешанного продукта:

   Если A , B , C и D — матрицы такого размера, что можно образовать матричные произведения AC и BD , то

   $(\mathbf {A} \otimes \mathbf {B} )(\mathbf {C} \otimes \mathbf {D} )=(\mathbf {AC} )\otimes (\mathbf {BD} ).$

   Это называется свойством смешанного произведения , поскольку оно смешивает обычный матричный продукт и продукт Кронекера.

   Как непосредственное следствие (опять же, принимая во внимание $\mathbf {A} \in \mathbb {R} ^{m_{1}\times n_{1}}$ и $\mathbf {B} \in \mathbb {R} ^{m_{2}\times n_{2}}$),

   $\mathbf {A} \otimes \mathbf {B} =(\mathbf {I} _{m_{1}}\otimes \mathbf {B} )(\mathbf {A} \otimes \mathbf {I} _{n_{2}})=(\mathbf {A} \otimes \mathbf {I} _{m_{2}})(\mathbf {I} _{n_{1}}\otimes \mathbf {B} ).$

   В частности, используя свойство транспонирования снизу, это означает, что если

   $\mathbf {A} =\mathbf {Q} \otimes \mathbf {U}$

   и Q и U ортогональны ( или унитарны ), то A также ортогональна (соответственно унитарна).

   Смешанное матрично-векторное произведение Кронекера можно записать как:

   $\left(\mathbf {A} \otimes \mathbf {B} \right)\operatorname {vec} \left(\mathbf {V} \right)=\operatorname {vec} (\mathbf {B} \mathbf {V} \mathbf {A} ^{T})$

   где $\operatorname {vec} (\mathbf {V} )$ — оператор векторизации , применяемый к $\mathbf {V}$ (формируется путем изменения формы матрицы).
4. Произведение Адамара (поэлементное умножение):

   Свойство смешанного продукта также работает для поэлементного продукта. Если A и C — матрицы одного размера, B и D — матрицы одного размера, то

   $(\mathbf {A} \otimes \mathbf {B} )\circ (\mathbf {C} \otimes \mathbf {D} )=(\mathbf {A} \circ \mathbf {C} )\otimes (\mathbf {B} \circ \mathbf {D} ).$

5. Обратное произведение Кронекера:

   Отсюда следует, что тогда и только тогда A ⊗ B обратимо , когда оба A и B обратимы, и в этом случае обратное задается формулой

   $(\mathbf {A} \otimes \mathbf {B} )^{-1}=\mathbf {A} ^{-1}\otimes \mathbf {B} ^{-1}.$

   Свойство обратимого произведения справедливо для псевдообратного Мура – ​​Пенроуза : и то есть

   $(\mathbf {A} \otimes \mathbf {B} )^{+}=\mathbf {A} ^{+}\otimes \mathbf {B} ^{+}.$

   На языке теории категорий свойство смешанного произведения произведения Кронекера (и более общего тензорного произведения) показывает, что категория Mat _F матриц над полем F на самом деле является моноидальной категорией с натуральными числами объектов n и морфизмами. n → m — это матрицы размера n × m с элементами в F , композиция задаётся умножением матриц, единичные стрелки — это просто n × n единичные матрицы размера I _n , а тензорное произведение задаётся произведением Кронекера.

   Mat _F — это конкретная скелетная категория для эквивалентной категории FinVect _F конечномерных векторных пространств над F , объектами которой являются такие конечномерные векторные пространства V , стрелки — это F -линейные отображения L : V → W , а тождественные стрелки — это тождественные отображения. пространств. Эквивалентность категорий сводится к одновременному выбору базиса в каждом конечномерном векторном пространстве V над F ; элементы матриц представляют эти отображения относительно выбранных базисов; и аналогично произведение Кронекера является представлением тензорного произведения в выбранных базисах.
6. Транспонировать :

   Транспозиция и сопряженная транспозиция дистрибутивны по произведению Кронекера:

   $(\mathbf {A} \otimes \mathbf {B} )^{\textsf {T}}=\mathbf {A} ^{\textsf {T}}\otimes \mathbf {B} ^{\textsf {T}}$ и $(\mathbf {A} \otimes \mathbf {B} )^{*}=\mathbf {A} ^{*}\otimes \mathbf {B} ^{*}.$

7. Определитель :

   Пусть A — матрица размера n × n , а B — матрица размера m × m . Затем

   $\left|\mathbf {A} \otimes \mathbf {B} \right|=\left|\mathbf {A} \right|^{m}\left|\mathbf {B} \right|^{n}.$

   Показатель в | А | — порядок B и показатель степени в | Б | заказ А. это
8. Сумма Кронекера и возведение в степень :

   Если A равно n × n , B равно m × m и I _k обозначает k × k единичную матрицу , то мы можем определить то, что иногда называют суммой Кронекера , ⊕, по формуле

   $\mathbf {A} \oplus \mathbf {B} =\mathbf {A} \otimes \mathbf {I} _{m}+\mathbf {I} _{n}\otimes \mathbf {B} .$

   Это отличается от прямой суммы двух матриц. Эта операция связана с тензорным произведением на алгебрах Ли , как подробно описано ниже ( #Абстрактные свойства ) в пункте «Связь с абстрактным тензорным произведением ».

   У нас есть следующая формула для матричной экспоненты , которая полезна в некоторых числовых оценках.

   $\exp({\mathbf {N} \oplus \mathbf {M} })=\exp(\mathbf {N} )\otimes \exp(\mathbf {M} )$

   Суммы Кронекера естественным образом возникают в физике при рассмотрении ансамблей невзаимодействующих систем . Пусть Н ^к — гамильтониан k- й такой системы. Тогда полный гамильтониан ансамбля равен

   $H_{\mathrm {Tot} }=\bigoplus _{k}H^{k}.$

9. Векторизация произведения Кронекера:

   Позволять $A$ быть $m\times n$ матрица и $B$ а $p\times q$матрица. Когда порядок произведения Кронекера и векторизация меняются местами, эти две операции могут быть связаны линейно через функцию, которая включает в себя матрицу коммутации . То есть, $\mathrm {vec} (\mathrm {Kron} (A,B))$ и $\mathrm {Kron} (\mathrm {vec} A,\mathrm {vec} B)$ имеют следующие отношения:

   $\mathrm {vec} (A\otimes B)=(I_{n}\otimes K_{qm}\otimes I_{p})(\mathrm {vec} A\otimes \mathrm {vec} B).$

   Более того, приведенное выше соотношение можно переставить в терминах либо $\mathrm {vec} A$ или $\mathrm {vec} B$ следующее:

   $\mathrm {vec} (A\otimes B)=(I_{n}\otimes G)\mathrm {vec} A=(H\otimes I_{p})\mathrm {vec} B,$

   где

   $G=(K_{qm}\otimes I_{p})(I_{m}\otimes \mathrm {vec} B){\text{ and }}H=(I_{n}\otimes K_{qm})(\mathrm {vec} A\otimes I_{q}).$

10. Внешний продукт :
    Если $x\in \mathbb {R} ^{n}$ и $y\in \mathbb {R} ^{m}$ являются произвольными векторами, то внешний продукт между $x$ и $y$ определяется как $xy^{T}$. Произведение Кронекера связано с внешним произведением следующим образом: $y\otimes x=\mathrm {vec} (xy^{T})$.

Абстрактные свойства

1. Спектр :

   Предположим, что A и B — квадратные матрицы размера n и m соответственно. Пусть λ ₁ , ..., λ _n — собственные значения оператора A , а µ ₁ , ..., µ _m — собственные значения B (перечислены в соответствии с кратностью ). Тогда собственные значения оператора A ⊗ B равны

   $\lambda _{i}\mu _{j},\qquad i=1,\ldots ,n,\,j=1,\ldots ,m.$

   Отсюда следует, что след и определитель произведения Кронекера имеют вид

   $\operatorname {tr} (\mathbf {A} \otimes \mathbf {B} )=\operatorname {tr} \mathbf {A} \,\operatorname {tr} \mathbf {B} \quad {\text{and}}\quad \det(\mathbf {A} \otimes \mathbf {B} )=(\det \mathbf {A} )^{m}(\det \mathbf {B} )^{n}.$

2. Сингулярные значения :

   Если A и B — прямоугольные матрицы, то можно рассматривать их сингулярные значения . Предположим, что A имеет r _A ненулевые сингулярные значения, а именно

   $\sigma _{\mathbf {A} ,i},\qquad i=1,\ldots ,r_{\mathbf {A} }.$

   Аналогично обозначим ненулевые сингулярные значения B через

   $\sigma _{\mathbf {B} ,i},\qquad i=1,\ldots ,r_{\mathbf {B} }.$

   Тогда произведение Кронекера A ⊗ B имеет r _A r _B ненулевые сингулярные значения, а именно

   $\sigma _{\mathbf {A} ,i}\sigma _{\mathbf {B} ,j},\qquad i=1,\ldots ,r_{\mathbf {A} },\,j=1,\ldots ,r_{\mathbf {B} }.$

   Поскольку ранг матрицы равен числу ненулевых сингулярных значений, мы находим, что

   $\operatorname {rank} (\mathbf {A} \otimes \mathbf {B} )=\operatorname {rank} \mathbf {A} \,\operatorname {rank} \mathbf {B} .$

3. Отношение к абстрактному тензорному произведению :

   Кронекеровское произведение матриц соответствует абстрактному тензорному произведению линейных отображений. В частности, если векторные пространства V , W , X и Y имеют базы { v ₁ , ..., v _m }, { w ₁ , ..., w _n }, { x ₁ , ..., x _d } и { y ₁ , ..., y _e } соответственно, и если матрицы A и B представляют собой линейные преобразования S : V → X и T : W → Y соответственно в соответствующих базисах, то матрица A ⊗ B представляет тензорное произведение двух отображений S ⊗ T : V ⊗ W → X ⊗ Y относительно базиса { v ₁ ⊗ w ₁ , v ₁ ⊗ w ₂ , ..., v ₂ ⊗ w ₁ , ..., v _m ⊗ w _n } V W ⊗ Y и аналогично определенный базис X ⊗ B со свойством A ⊗ v ( i _⊗ ) w _j ) = ( Av _i ) ⊗ ( Bw _j , где i и j — целые числа в правильном диапазоне.

   Когда V и W — алгебры Ли , а S : V → V и T : W → W — гомоморфизмы алгебры Ли , сумма Кронекера A и B представляет собой индуцированные гомоморфизмы алгебры V ⊗ W → V ⊗ W. Ли
4. к произведениям графов : Отношение
   Кронекеровское произведение матриц смежности двух графов является матрицей смежности графа тензорного произведения . Сумма Кронекера матриц смежности двух графов представляет собой матрицу смежности графа декартового произведения .

Матричные уравнения

Произведение Кронекера можно использовать для получения удобного представления некоторых матричных уравнений. Рассмотрим, например, уравнение AXB = C , где A , B и C — заданные матрицы, а матрица X — неизвестная. Мы можем использовать «трюк vec», чтобы переписать это уравнение как

$\left(\mathbf {B} ^{\textsf {T}}\otimes \mathbf {A} \right)\,\operatorname {vec} (\mathbf {X} )=\operatorname {vec} (\mathbf {AXB} )=\operatorname {vec} (\mathbf {C} ).$

Здесь vec( X ) обозначает векторизацию матрицы X , сформированную путем укладки столбцов X в один вектор-столбец .

Теперь из свойств произведения Кронекера следует, что уравнение AXB = C имеет единственное решение тогда и только тогда, когда A и B обратимы ( Horn & Johnson 1991 , лемма 4.3.1).

Если X и C упорядочены по строкам в вектор-столбцы u и v соответственно, тогда ( Jain 1989 , 2.8 Блочные матрицы и произведения Кронекера)

$\mathbf {v} =\left(\mathbf {A} \otimes \mathbf {B} ^{\textsf {T}}\right)\mathbf {u} .$

Причина в том, что

$\mathbf {v} =\operatorname {vec} \left((\mathbf {AXB} )^{\textsf {T}}\right)=\operatorname {vec} \left(\mathbf {B} ^{\textsf {T}}\mathbf {X} ^{\textsf {T}}\mathbf {A} ^{\textsf {T}}\right)=\left(\mathbf {A} \otimes \mathbf {B} ^{\textsf {T}}\right)\operatorname {vec} \left(\mathbf {X^{\textsf {T}}} \right)=\left(\mathbf {A} \otimes \mathbf {B} ^{\textsf {T}}\right)\mathbf {u} .$

Приложения

Пример применения этой формулы смотрите в статье об уравнении Ляпунова . Эта формула также полезна для демонстрации того, что матричное нормальное распределение является частным случаем многомерного нормального распределения . Эта формула также полезна для представления операций обработки двумерных изображений в матрично-векторной форме.

Другой пример: когда матрицу можно факторизовать как произведение Кронекера, тогда умножение матрицы можно выполнить быстрее, используя приведенную выше формулу. Это можно применять рекурсивно, как это делается в БПФ по основанию 2 и быстром преобразовании Уолша-Адамара . Разбиение известной матрицы на произведение Кронекера двух меньших матриц известно как проблема «ближайшего произведения Кронекера» и может быть решено точно. с помощью СВД . Оптимальное разделение матрицы на произведение Кронекера более чем двух матриц является сложной проблемой и предметом текущих исследований; некоторые авторы называют это проблемой тензорного разложения.

В сочетании с методом наименьших квадратов произведение Кронекера можно использовать как точное решение задачи калибровки «рука-глаз» .

Связанные матричные операции

Две связанные матричные операции — это произведения Трейси–Сингха и Хатри–Рао , которые работают с разделенными матрицами . Пусть m × n матрица A разбита на m _i × n _j блоки A _ij , а p × q матрица B kl p _k × q _ℓ на блоки B _, , причем, конечно Σ _i m _i = m , Σ _j n _j знак равно п , Σ _k п _{k знак} равно п и Σ _ℓ q _ℓ знак равно q .

Продукт Трейси-Сингха

Произведение Трейси – Сингха определяется как

$\mathbf {A} \circ \mathbf {B} =\left(\mathbf {A} _{ij}\circ \mathbf {B} \right)_{ij}=\left(\left(\mathbf {A} _{ij}\otimes \mathbf {B} _{kl}\right)_{kl}\right)_{ij}$

что означает, что ( ij )-й подблок mp × nq произведения A $\circ$ B — размера m _i p × n _j q матрица A _ij $\circ$ B , из которых ( kℓ )-й подблок равен m _i p _k × n _j q _ℓ матрице A _ij ⊗ B _kℓ . По сути, произведение Трейси – Сингха представляет собой попарное произведение Кронекера для каждой пары разбиений в двух матрицах.

Например, если A и B представляют собой 2 × 2, разделенные матрицы размером например:

$\mathbf {A} =\left[{\begin{array}{c | c}\mathbf {A} _{11}&\mathbf {A} _{12}\\\hline \mathbf {A} _{21}&\mathbf {A} _{22}\end{array}}\right]=\left[{\begin{array}{c c | c}1&2&3\\4&5&6\\\hline 7&8&9\end{array}}\right],\quad \mathbf {B} =\left[{\begin{array}{c | c}\mathbf {B} _{11}&\mathbf {B} _{12}\\\hline \mathbf {B} _{21}&\mathbf {B} _{22}\end{array}}\right]=\left[{\begin{array}{c | c c}1&4&7\\\hline 2&5&8\\3&6&9\end{array}}\right],$

мы получаем:

${\begin{aligned}\mathbf {A} \circ \mathbf {B} ={}&\left[{\begin{array}{c | c}\mathbf {A} _{11}\circ \mathbf {B} &\mathbf {A} _{12}\circ \mathbf {B} \\\hline \mathbf {A} _{21}\circ \mathbf {B} &\mathbf {A} _{22}\circ \mathbf {B} \end{array}}\right]\\={}&\left[{\begin{array}{c | c | c | c}\mathbf {A} _{11}\otimes \mathbf {B} _{11}&\mathbf {A} _{11}\otimes \mathbf {B} _{12}&\mathbf {A} _{12}\otimes \mathbf {B} _{11}&\mathbf {A} _{12}\otimes \mathbf {B} _{12}\\\hline \mathbf {A} _{11}\otimes \mathbf {B} _{21}&\mathbf {A} _{11}\otimes \mathbf {B} _{22}&\mathbf {A} _{12}\otimes \mathbf {B} _{21}&\mathbf {A} _{12}\otimes \mathbf {B} _{22}\\\hline \mathbf {A} _{21}\otimes \mathbf {B} _{11}&\mathbf {A} _{21}\otimes \mathbf {B} _{12}&\mathbf {A} _{22}\otimes \mathbf {B} _{11}&\mathbf {A} _{22}\otimes \mathbf {B} _{12}\\\hline \mathbf {A} _{21}\otimes \mathbf {B} _{21}&\mathbf {A} _{21}\otimes \mathbf {B} _{22}&\mathbf {A} _{22}\otimes \mathbf {B} _{21}&\mathbf {A} _{22}\otimes \mathbf {B} _{22}\end{array}}\right]\\={}&\left[{\begin{array}{c c | c c c c | c | c c}1&2&4&7&8&14&3&12&21\\4&5&16&28&20&35&6&24&42\\\hline 2&4&5&8&10&16&6&15&24\\3&6&6&9&12&18&9&18&27\\8&10&20&32&25&40&12&30&48\\12&15&24&36&30&45&18&36&54\\\hline 7&8&28&49&32&56&9&36&63\\\hline 14&16&35&56&40&64&18&45&72\\21&24&42&63&48&72&27&54&81\end{array}}\right].\end{aligned}}$

Рао

Основная статья: Продукт Хатри-Рао

• Блок-продукт Кронекера
• Столбцовый продукт Хатри – Рао

Продукт для разделения лиц

Основная статья: Продукт Хатри-Рао

Свойства смешанной продукции

$\mathbf {A} \otimes (\mathbf {B} \bullet \mathbf {C} )=(\mathbf {A} \otimes \mathbf {B} )\bullet \mathbf {C} ,$

где $\bullet$ обозначает продукт разделения граней .

$(\mathbf {A} \bullet \mathbf {B} )(\mathbf {C} \otimes \mathbf {D} )=(\mathbf {A} \mathbf {C} )\bullet (\mathbf {B} \mathbf {D} ),$

Сходным образом:

$(\mathbf {A} \bullet \mathbf {L} )(\mathbf {B} \otimes \mathbf {M} )\cdots (\mathbf {C} \otimes \mathbf {S} )=(\mathbf {A} \mathbf {B} \cdots \mathbf {C} )\bullet (\mathbf {L} \mathbf {M} \cdots \mathbf {S} ),$

$\mathbf {c} ^{\textsf {T}}\bullet \mathbf {d} ^{\textsf {T}}=\mathbf {c} ^{\textsf {T}}\otimes \mathbf {d} ^{\textsf {T}},$

где $\mathbf {c}$ и $\mathbf {d}$ являются векторами ,

$(\mathbf {A} \bullet \mathbf {B} )(\mathbf {c} \otimes \mathbf {d} )=(\mathbf {A} \mathbf {c} )\circ (\mathbf {B} \mathbf {d} ),$

где $\mathbf {c}$ и $\mathbf {d}$ являются векторами , а $\circ$ обозначает произведение Адамара .

Сходным образом:

$(\mathbf {A} \bullet \mathbf {B} )(\mathbf {M} \mathbf {N} \mathbf {c} \otimes \mathbf {Q} \mathbf {P} \mathbf {d} )=(\mathbf {A} \mathbf {M} \mathbf {N} \mathbf {c} )\circ (\mathbf {B} \mathbf {Q} \mathbf {P} \mathbf {d} ),$

${\mathcal {F}}(C^{(1)}x\star C^{(2)}y)=({\mathcal {F}}C^{(1)}\bullet {\mathcal {F}}C^{(2)})(x\otimes y)={\mathcal {F}}C^{(1)}x\circ {\mathcal {F}}C^{(2)}y$,

где $\star$ векторная свертка и ${\mathcal {F}}$ - матрица преобразования Фурье (этот результат представляет собой развитие эскиза подсчета свойств ),

$(\mathbf {A} \bullet \mathbf {L} )(\mathbf {B} \otimes \mathbf {M} )\cdots (\mathbf {C} \otimes \mathbf {S} )(\mathbf {K} \ast \mathbf {T} )=(\mathbf {A} \mathbf {B} \cdot \mathbf {C} \mathbf {K} )\circ (\mathbf {L} \mathbf {M} \cdots \mathbf {S} \mathbf {T} ),$

где $\ast$ обозначает постолбцовое произведение Хатри – Рао .

Сходным образом:

$(\mathbf {A} \bullet \mathbf {L} )(\mathbf {B} \otimes \mathbf {M} )\cdots (\mathbf {C} \otimes \mathbf {S} )(c\otimes d)=(\mathbf {A} \mathbf {B} \cdots \mathbf {C} \mathbf {c} )\circ (\mathbf {L} \mathbf {M} \cdots \mathbf {S} \mathbf {d} ),$

$(\mathbf {A} \bullet \mathbf {L} )(\mathbf {B} \otimes \mathbf {M} )\cdots (\mathbf {C} \otimes \mathbf {S} )(\mathbf {P} \mathbf {c} \otimes \mathbf {Q} \mathbf {d} )=(\mathbf {A} \mathbf {B} \cdots \mathbf {C} \mathbf {P} \mathbf {c} )\circ (\mathbf {L} \mathbf {M} \cdots \mathbf {S} \mathbf {Q} \mathbf {d} ),$

где $\mathbf {c}$ и $\mathbf {d}$ являются векторами .

См. также

• Обобщенная модель линейной решетки
• Произведение Адамара (матрицы)
• Коэффициент Кронекера

Ссылки

• Хорн, Роджер А .; Джонсон, Чарльз Р. (1991). Темы матричного анализа . Издательство Кембриджского университета. ISBN  978-0-521-46713-1 .
• Джайн, Анил К. (1989). Основы цифровой обработки изображений . Прентис Холл. Бибкод : 1989fdip.book.....J . ISBN  978-0-13-336165-0 .
• Стееб, Вилли-Ханс (1997). Матричное исчисление и произведение Кронекера с приложениями и программами на C++ . Мировое научное издательство. ISBN  978-981-02-3241-2 .
• Стееб, Вилли-Ханс (2006). Проблемы и решения вводного и углубленного матричного исчисления . Мировое научное издательство. ISBN  978-981-256-916-5 .
• Лю, Шуанчжэ; Тренклер, Гетц (2008), «Адамар, Хатри-Рао, Кронекер и другие матричные продукты», Международный журнал информационных и системных наук , 4 : 160–177.

Внешние ссылки

• «Тензорное произведение» , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
• «Продукт Кронекера» . ПланетаМатематика .
• «Продукт Кронекера» . Математический мир .
• «Проблемы нового продукта Кронекера» (PDF) .
• «Первоначальное использование» . Запись о матрицах Кронекера, Цефуса или прямом произведении содержит историческую информацию.
• вычислить произведение Кронекера двух матриц . SourceForge (общий исходный код C++ и Fortran 90). 27 июня 2015 г.
• «Продукт Кронекера» . RosettaCode.org . 31 декабря 2020 г. Проверено 13 января 2021 г. Исходный код программного обеспечения на более чем 40 языках.