Линейное подпространство

Одномерные подпространства в двумерном векторном пространстве над конечным полем F 5 . ( Начало координат 0, 0), отмеченное зелеными кружками, принадлежит любому из шести 1-подпространств, тогда как каждая из 24 оставшихся точек принадлежит ровно одному; свойство, которое справедливо для 1-подпространств над любым полем и во всех измерениях . Все Ф 5 2 (т.е. квадрат 5×5) изображен четыре раза для лучшей визуализации

В математике , а точнее в линейной алгебре , линейное подпространство или векторное подпространство. — векторное пространство , которое является подмножеством некоторого большего векторного пространства. Линейное подпространство обычно называют просто подпространством , если контекст позволяет отличить его от других типов подпространств.

Определение

Если V — векторное пространство над полем K и если W — подмножество V , то W — линейное подпространство V, если операциях V W является векторным пространством над K. при Эквивалентно, непустое подмножество W является линейным подпространством V , если всякий раз, когда w ₁ , w ₂ являются элементами W и α , β являются элементами K , из этого следует, что αw ₁ + βw ₂ находится в W .

Как следствие, все векторные пространства оснащены как минимум двумя (возможно, разными) линейными подпространствами: нулевым векторным пространством , состоящим только из нулевого вектора , и самим векторным пространством. Они называются тривиальными подпространствами векторного пространства.

Примеры

Пример I

В векторном пространстве V = R ³ ( действительное координатное пространство над полем R действительных чисел ), возьмем W за множество всех векторов из V , последний компонент которых равен 0. Тогда W — подпространство V .

Доказательство:

1. Учитывая u и v в W , они могут быть выражены как u = ( u ₁ , u ₂ , 0) и v = ( v ₁ , v ₂ , 0) . Тогда ты + v знак равно ( ты ₁ + v ₁ , ты ₂ + v ₂ , 0+0) = ( ты ₁ + v ₁ , ты ₂ + v ₂ , 0) . Таким образом, u + v тоже является элементом W .
2. Учитывая u в W и скаляр c в R , если u = ( u ₁ , u ₂ , 0) снова, то c u = ( cu ₁ , cu ₂ , c 0) = ( cu ₁ , cu ₂ ,0) . Таким образом, c u является элементом W. тоже

Пример II

Пусть поле снова будет R , но теперь пусть векторное пространство V будет декартовой плоскостью R. ² . Возьмем W как набор точек ( x , y ) R ² такой, что x = y . Тогда W — подпространство в R ² .

Иллюстрированный пример II

Доказательство:

1. Пусть p = ( p ₁ , p ₂ ) и q = ( q ₁ , q ₂ ) — элементы W , то есть точки на плоскости такие, что p ₁ = p ₂ и q ₁ = q ₂ . Тогда p + q = ( p ₁ + q ₁ , p ₂ + q ₂ ) ; поскольку p ₁ = p ₂ и q ₁ = q ₂ то p ₁ + q ₁ = p ₂ + q ₂ , поэтому p + q является элементом W. ,
2. Пусть p = ( p ₁ , p ₂ ) будет элементом W , то есть точкой на плоскости такой, что p ₁ = p ₂ , и пусть c будет скаляром в R . Тогда c p = ( cp ₁ , cp ₂ ) ; поскольку p ₁ = p ₂ , то cp ₁ = cp ₂ , поэтому c p является элементом W .

В общем случае любое подмножество реального координатного пространства R ^н определяемое однородной системой линейных уравнений, даст подпространство. (Уравнение в примере I было z = 0, а уравнение в примере II — x = y .)

Пример III

Снова возьмем поле R , но теперь пусть векторное пространство V будет множеством R ^р всех функций от R до R. ​ Пусть C( R ) — подмножество, состоящее из непрерывных функций . Тогда C( R ) является подпространством R ^р .

Доказательство:

1. Из математического анализа мы знаем, что 0 ∈ C( R ) ⊂ R ^р .
2. Из исчисления мы знаем, что сумма непрерывных функций непрерывна.
3. Опять же, из исчисления мы знаем, что произведение непрерывной функции и числа непрерывно.

Пример IV

Сохраните то же поле и векторное пространство, что и раньше, но теперь рассмотрим множество Diff( R ) всех дифференцируемых функций . Те же рассуждения, что и предыдущие, показывают, что это тоже подпространство.

Примеры, расширяющие эти темы, часто встречаются в функциональном анализе .

Свойства подпространств

Из определения векторных пространств следует, что подпространства непусты и замкнуты относительно сумм и скалярных кратных. Эквивалентно, подпространства можно охарактеризовать свойством замкнутости относительно линейных комбинаций. То есть непустое множество W является подпространством тогда и только тогда, когда каждая линейная комбинация конечного числа элементов W также принадлежит W . Эквивалентное определение гласит, что эквивалентно рассматривать линейные комбинации двух элементов одновременно.

В топологическом векторном пространстве X подпространство W не обязательно должно быть топологически замкнутым , но конечномерное подпространство всегда замкнуто. То же самое верно и для подпространств конечной коразмерности (т. е. подпространств, определяемых конечным числом непрерывных линейных функционалов ).

Описания

Описания подпространств включают набор решений однородной системы линейных уравнений , подмножество евклидова пространства, описываемое системой однородных линейных параметрических уравнений , диапазон набора векторов, а также нулевое пространство , пространство столбцов и строк пространство . матрица ​ . Геометрически (особенно над полем действительных чисел и его подполями) подпространство — это плоскость в n -пространстве, проходящая через начало координат.

Естественным описанием 1-подпространства является скалярное умножение одного ненулевого вектора v на все возможные скалярные значения. 1-подпространства, заданные двумя векторами, равны тогда и только тогда, когда один вектор можно получить из другого скалярным умножением:

$\exists c\in K:\mathbf {v} '=c\mathbf {v} {\text{ (or }}\mathbf {v} ={\frac {1}{c}}\mathbf {v} '{\text{)}}$

Эта идея обобщается для более высоких размерностей с линейным размахом , но критерии равенства k -пространств , заданных наборами из k векторов, не так просты.

Двойственное линейными описание обеспечивается функционалами (обычно реализуемыми в виде линейных уравнений). Один ненулевой линейный функционал F задает своим ядром подпространство F = 0 коразмерности 1. Подпространства коразмерности 1, заданные двумя линейными функционалами, равны тогда и только тогда, когда один функционал может быть получен из другого скалярным умножением (в двойственном пространстве ) :

$\exists c\in K:\mathbf {F} '=c\mathbf {F} {\text{ (or }}\mathbf {F} ={\frac {1}{c}}\mathbf {F} '{\text{)}}$

Оно обобщается на высшие коразмерности с помощью системы уравнений . В следующих двух подразделах это последнее описание будет представлено подробно, а оставшиеся четыре подраздела дополнительно описывают идею линейного размаха.

Системы линейных уравнений

Множество решений любой однородной системы линейных уравнений с n переменными представляет собой подпространство в координатном пространстве K ^н :

$$\left\{\left[\!\!{\begin{array}{c}x_{1}\\x_{2}\\\vdots \\x_{n}\end{array}}\!\!\right]\in K^{n}:{\begin{alignedat}{6}a_{11}x_{1}&&\;+\;&&a_{12}x_{2}&&\;+\cdots +\;&&a_{1n}x_{n}&&\;=0&\\a_{21}x_{1}&&\;+\;&&a_{22}x_{2}&&\;+\cdots +\;&&a_{2n}x_{n}&&\;=0&\\&&&&&&&&&&\vdots \quad &\\a_{m1}x_{1}&&\;+\;&&a_{m2}x_{2}&&\;+\cdots +\;&&a_{mn}x_{n}&&\;=0&\end{alignedat}}\right\}.$$

Например, набор всех векторов ( x , y , z ) (над действительными или рациональными числами ), удовлетворяющих уравнениям

$$x+3y+2z=0\quad {\text{and}}\quad 2x-4y+5z=0$$

является одномерным подпространством. В более общем смысле, это значит, что для данного набора из n независимых функций размерность подпространства в K ^к будет размерностью нулевого набора A , составной матрицы n функций.

Нулевое пространство матрицы

Основная статья: Нулевое пространство

В конечномерном пространстве однородную систему линейных уравнений можно записать в виде одного матричного уравнения:

$A\mathbf {x} =\mathbf {0} .$

Множество решений этого уравнения известно как нулевое пространство матрицы. Например, описанное выше подпространство является нулевым пространством матрицы

$A={\begin{bmatrix}1&3&2\\2&-4&5\end{bmatrix}}.$

Каждое подпространство K ^н может быть описан как нулевое пространство некоторой матрицы ( см. § Алгоритмы подробнее ниже).

Линейные параметрические уравнения

Подмножество K ^н описываемое системой однородных линейных параметрических уравнений , является подпространством:

$\left\{\left[\!\!{\begin{array}{c}x_{1}\\x_{2}\\\vdots \\x_{n}\end{array}}\!\!\right]\in K^{n}:{\begin{alignedat}{7}x_{1}&&\;=\;&&a_{11}t_{1}&&\;+\;&&a_{12}t_{2}&&\;+\cdots +\;&&a_{1m}t_{m}&\\x_{2}&&\;=\;&&a_{21}t_{1}&&\;+\;&&a_{22}t_{2}&&\;+\cdots +\;&&a_{2m}t_{m}&\\&&\vdots \;\;&&&&&&&&&&&\\x_{n}&&\;=\;&&a_{n1}t_{1}&&\;+\;&&a_{n2}t_{2}&&\;+\cdots +\;&&a_{nm}t_{m}&\\\end{alignedat}}{\text{ for some }}t_{1},\ldots ,t_{m}\in K\right\}.$

Например, набор всех векторов ( x , y , z ), параметризованных уравнениями

$x=2t_{1}+3t_{2},\;\;\;\;y=5t_{1}-4t_{2},\;\;\;\;{\text{and}}\;\;\;\;z=-t_{1}+2t_{2}$

является двумерным подпространством K ³ , если K — числовое поле (например, действительные или рациональные числа).

Размах векторов

Основная статья: Линейный пролет

В линейной алгебре систему параметрических уравнений можно записать в виде одного векторного уравнения:

${\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}}\;=\;t_{1}\!{\begin{bmatrix}2\\5\\-1\end{bmatrix}}+t_{2}\!{\begin{bmatrix}3\\-4\\2\end{bmatrix}}.$

Выражение справа называется линейной комбинацией векторов (2, 5, −1) и (3, −4, 2). Говорят, что эти два вектора охватывают результирующее подпространство.

В общем случае, линейная комбинация векторов v ₁ , v ₂ , ... , v _k представляет собой любой вектор вида

$t_{1}\mathbf {v} _{1}+\cdots +t_{k}\mathbf {v} _{k}.$

Набор всех возможных линейных комбинаций называется промежутком :

${\text{Span}}\{\mathbf {v} _{1},\ldots ,\mathbf {v} _{k}\}=\left\{t_{1}\mathbf {v} _{1}+\cdots +t_{k}\mathbf {v} _{k}:t_{1},\ldots ,t_{k}\in K\right\}.$

Если векторы v ₁ , ... , v _k имеют n компонент, то их оболочка является подпространством K ^н . Геометрически пролет — это плоскость, проходящая через начало координат в n -мерном пространстве, определяемое точками v ₁ , ... , v _k .

Пример

xz Плоскость в R ³ может быть параметризован уравнениями

$x=t_{1},\;\;\;y=0,\;\;\;z=t_{2}.$

Как подпространство, плоскость xz натянута векторами (1, 0, 0) и (0, 0, 1). Каждый вектор в плоскости xz можно записать как линейную комбинацию этих двух:

$(t_{1},0,t_{2})=t_{1}(1,0,0)+t_{2}(0,0,1){\text{.}}$

Геометрически это соответствует тому факту, что в каждую точку плоскости xz можно добраться из начала координат, сначала переместившись на некоторое расстояние в направлении (1, 0, 0), а затем переместившись на некоторое расстояние в направлении (0, 0). , 1).

Пространство столбца и пространство строки

Основная статья: Пространства строк и столбцов

Систему линейных параметрических уравнений в конечномерном пространстве можно записать и в виде одного матричного уравнения:

$\mathbf {x} =A\mathbf {t} \;\;\;\;{\text{where}}\;\;\;\;A=\left[{\begin{alignedat}{2}2&&3&\\5&&\;\;-4&\\-1&&2&\end{alignedat}}\,\right]{\text{.}}$

В этом случае подпространство состоит из всех возможных значений вектора x . линейной алгебре это подпространство известно как пространство столбцов (или образ ) матрицы A. В Это именно подпространство K ^н натянутый векторами-столбцами A .

Пространство строк матрицы — это подпространство, охватываемое ее векторами-строками. Пространство строк интересно, потому что оно является ортогональным дополнением нулевого пространства (см. ниже).

и

Основные статьи: Линейная независимость , Базис (линейная алгебра) и Размерность (векторное пространство).

Векторы u и v являются базисом этого двумерного подпространства R ³ .

В общем случае подпространство K ^н определяемый k параметрами (или натянутый k векторами), имеет размерность k . Однако из этого правила есть исключения. Например, подпространство K ³ натянутый тремя векторами (1, 0, 0), (0, 0, 1) и (2, 0, 3), это просто плоскость xz , где каждая точка на плоскости описывается бесконечно многими различными значениями t ₁ , т ₂ , т ₃ .

В общем случае векторы v ₁ , ... , v _k называются линейно независимыми , если

$t_{1}\mathbf {v} _{1}+\cdots +t_{k}\mathbf {v} _{k}\;\neq \;u_{1}\mathbf {v} _{1}+\cdots +u_{k}\mathbf {v} _{k}$

для ( т ₁ , т ₂ , ... , т _k ) ≠ ( ты ₁ , ты ₂ , ... , ты _k ). Если v ₁ , ..., v _k линейно независимы, то координаты t ₁ , ..., t _k для вектора в промежутке определяются однозначно.

Базисом равна подпространства S является набор линейно независимых векторов, длина которых S . Число элементов в базисе всегда равно геометрической размерности подпространства. Любой охватывающий набор для подпространства можно превратить в базис, удалив избыточные векторы ( см. § Алгоритмы подробнее ниже).

Пример

Пусть S — подпространство R ⁴ определяется уравнениями

$x_{1}=2x_{2}\;\;\;\;{\text{and}}\;\;\;\;x_{3}=5x_{4}.$

Тогда векторы (2, 1, 0, 0) и (0, 0, 5, 1) являются базисом для S . В частности, каждый вектор, удовлетворяющий приведенным выше уравнениям, можно однозначно записать как линейную комбинацию двух базисных векторов:

$(2t_{1},t_{1},5t_{2},t_{2})=t_{1}(2,1,0,0)+t_{2}(0,0,5,1).$

Подпространство S двумерно. Геометрически это плоскость в R ⁴ проходящий через точки (0, 0, 0, 0), (2, 1, 0, 0) и (0, 0, 5, 1).

Операции и отношения над подпространствами

Включение

Теоретико включения -множественное бинарное отношение задает частичный порядок на множестве всех подпространств (любой размерности).

Подпространство не может лежать в каком-либо подпространстве меньшей размерности. Если dim U = k — конечное число, и U ⊂ W , то dim W = k тогда и только тогда, U = W. когда

Перекресток

В Р ³ , пересечение двух различных двумерных подпространств является одномерным

Учитывая подпространства U и W векторного пространства V , то их пересечение U ∩ W := { v ∈ V : v является элементом как U , так и W } также является подпространством V .

Доказательство:

1. Пусть v и w — элементы U ∩ W . Тогда v и w принадлежат как U так и W. , Поскольку U — подпространство, v + w принадлежит U. то Аналогично, поскольку W — подпространство, v + w принадлежит W. то Таким образом, v + w принадлежит U ∩ W .
2. Пусть v принадлежит U ∩ W и c — скаляр. Тогда v принадлежит и U и W. , Поскольку U и W являются подпространствами, c v принадлежит как U , так и W .
3. Поскольку U и W — векторные пространства, то 0 принадлежит обоим множествам. Таким образом, 0 принадлежит U ∩ W .

Для каждого векторного V набор {0} и сам являются V подпространствами V. пространства

Сумма

Если U и W — подпространства, их сумма — это подпространство

$$U+W=\left\{\mathbf {u} +\mathbf {w} \colon \mathbf {u} \in U,\mathbf {w} \in W\right\}.$$

Например, сумма двух прямых — это плоскость, содержащая их обе. Размерность суммы удовлетворяет неравенству

$$\max(\dim U,\dim W)\leq \dim(U+W)\leq \dim(U)+\dim(W).$$

Здесь минимум возникает только в том случае, если одно подпространство содержится в другом, а максимум — это наиболее общий случай. Размерность пересечения и сумма связаны следующим уравнением:

$$\dim(U+W)=\dim(U)+\dim(W)-\dim(U\cap W).$$

Набор подпространств является независимым, если единственным пересечением любой пары подпространств является тривиальное подпространство. Прямая сумма — это сумма независимых подпространств, записанная как $U\oplus W$. Эквивалентное утверждение состоит в том, что прямая сумма является суммой подпространств при условии, что каждое подпространство вносит вклад в диапазон суммы.

Размерность прямой суммы $U\oplus W$ то же самое, что сумма подпространств, но может быть сокращена, поскольку размерность тривиального подпространства равна нулю.

$$\dim(U\oplus W)=\dim(U)+\dim(W)$$

Решетка подпространств

Операции пересечения и суммирования превращают набор всех подпространств в ограниченную модульную решетку , где подпространство {0} , наименьший элемент , является единичным элементом операции суммирования, а тождественное подпространство V , наибольший элемент, является единичным элементом. операции пересечения.

Ортогональные дополнения

Если $V$ является внутренним пространством продукта и $N$ является подмножеством $V$, то ортогональное дополнение к $N$, обозначенный $N^{\perp }$, снова является подпространством. Если $V$ конечномерен и $N$ является подпространством, то размеры $N$ и $N^{\perp }$ удовлетворить дополнительные отношения $\dim(N)+\dim(N^{\perp })=\dim(V)$. Более того, ни один вектор не ортогонален сам себе, поэтому $N\cap N^{\perp }=\{0\}$ и $V$ является прямой суммой $N$ и $N^{\perp }$. Двойное применение ортогональных дополнений возвращает исходное подпространство: $(N^{\perp })^{\perp }=N$ для каждого подпространства $N$.

Эта операция, понимаемая как отрицание ( $\neg$), делает решетку подпространств (возможно, бесконечной ) решеткой с ортодополнениями (хотя и не дистрибутивной решеткой).

В пространствах с другими билинейными формами некоторые, но не все, эти результаты все еще сохраняются. в псевдоевклидовых пространствах и симплектических векторных пространствах Например, существуют ортогональные дополнения. Однако эти пространства могут иметь нулевые векторы , ортогональные сами себе, и, следовательно, существуют подпространства $N$ такой, что $N\cap N^{\perp }\neq \{0\}$. В результате эта операция не превращает решетку подпространств ни в булеву алгебру (ни в алгебру Гейтинга ).

Алгоритмы

Большинство алгоритмов работы с подпространствами включают сокращение строк . Это процесс применения элементарных операций над строками к матрице до тех пор, пока она не достигнет либо формы эшелона строк , либо формы уменьшенного эшелона строк . Сокращение строк имеет следующие важные свойства:

1. Уменьшенная матрица имеет то же нулевое пространство, что и исходная.
2. Сокращение строк не меняет диапазон векторов-строк, т. е. уменьшенная матрица имеет то же пространство строк, что и исходная.
3. Сокращение строк не влияет на линейную зависимость векторов-столбцов.

Основа для пространства строк

Введите An m × n матрицу A .

Выведите базис для пространства строк A .

1. Используйте элементарные операции со строками, чтобы поместить A в форму эшелона строк.
2. Ненулевые строки ступенчатой ​​формы являются основой пространства строк A .

в статье о пространстве строк Пример см . .

Если вместо этого мы поместим матрицу A в форму сокращенного эшелона строк, то результирующий базис пространства строк будет определен однозначно. Это обеспечивает алгоритм проверки равенства двух пространств строк и, как следствие, того, являются ли два подпространства K ^н равны.

Членство в подпространстве

Введите базис { b ₁ , b ₂ , ..., b _k } для подпространства S пространства K. ^н и вектор v с n компонентами.

Выходные данные Определяет, является ли v элементом S

1. Создайте ( k + 1) × n матрицу A , строки которой являются векторами b ₁ , ... , b _k и v .
2. Используйте элементарные операции со строками, чтобы поместить A в форму эшелона строк.
3. Если ступенчатая форма имеет ряд нулей, то векторы { b ₁ , ..., b _k , v } линейно зависимы, и, следовательно, v ∈ S .

Основа для пространства столбцов

Входные данные An m × n матрица A

Выходные данные Базис для пространства столбцов A

1. Используйте элементарные операции со строками, чтобы поместить A в форму эшелона строк.
2. Определите, какие столбцы эшелонированной формы имеют поворотные точки . Соответствующие столбцы исходной матрицы являются основой пространства столбцов.

см. в статье о пространстве столбцов Пример .

Это создает основу для пространства столбцов, которая является подмножеством исходных векторов-столбцов. Это работает, поскольку столбцы со сводками являются основой пространства столбцов ступенчатой ​​формы, а сокращение строк не меняет отношений линейной зависимости между столбцами.

Координаты вектора

Введите базис { b ₁ , b ₂ , ..., b _k } для подпространства S пространства K. ^н и вектор v ∈ S

Выходные числа t ₁ , t ₂ , ..., t _k такие, что v = t ₁ b ₁ + ··· + t _k b _k

1. Создайте расширенную матрицу A , столбцы которой — b ₁ ,..., b _k , причем последний столбец — v .
2. Используйте элементарные операции со строками, чтобы поместить A в форму сокращенного эшелона строк.
3. Выразите последний столбец сокращенной формы эшелона как линейную комбинацию первых k столбцов. Используемые коэффициенты представляют собой искомые числа t ₁ , t ₂ , ..., t _k . (Это должны быть именно первые k записей в последнем столбце сокращенной формы эшелона.)

Если последний столбец сокращенной формы эшелона строк содержит точку поворота, то входной вектор v не лежит в S .

Основа для пустого пространства

Введите An m × n матрицу A .

Выходные данные Базис для нулевого пространства A

1. Используйте элементарные операции со строками, чтобы поместить A в форму сокращенного эшелона строк.
2. Используя сокращенную форму звена строк, определите, какие из переменных x ₁ , x ₂ , ..., x _n свободны. Напишите уравнения для зависимых переменных через свободные переменные.
3. Для каждой свободной переменной x _i выберите вектор в нулевом пространстве, для которого x _i = 1 , а остальные свободные переменные равны нулю. Полученный набор векторов является основой нулевого пространства A .

смотрите в статье о пустом пространстве Пример .

Базис для суммы и пересечения двух подпространств

Учитывая два подпространства U и W пространства V , базис суммы $U+W$ и пересечение $U\cap W$ можно рассчитать с помощью алгоритма Цассенхауза .

Уравнения для подпространства

Введите базис { b ₁ , b ₂ , ..., b _k } для подпространства S пространства K. ^н

Выведите матрицу An ( n − k ) × n , нулевое пространство которой равно S .

1. Создайте матрицу A , строки которой — b ₁ , b ₂ , ..., b _k .
2. Используйте элементарные операции со строками, чтобы поместить A в форму сокращенного эшелона строк.
3. Пусть c ₁ , c ₂ , ..., c _n — столбцы сокращенной ступенчатой ​​формы. Для каждого столбца без опорных точек напишите уравнение, выражающее столбец как линейную комбинацию столбцов со сводными точками.
4. В результате получается однородная система n − k линейных уравнений с переменными c ₁ ,..., c _n . Матрица ( n − k ) × n , соответствующая этой системе, является искомой матрицей с нулевым пространством S .

Пример

Если сокращенная форма эшелона строк A равна

$\left[{\begin{alignedat}{6}1&&0&&-3&&0&&2&&0\\0&&1&&5&&0&&-1&&4\\0&&0&&0&&1&&7&&-9\\0&&\;\;\;\;\;0&&\;\;\;\;\;0&&\;\;\;\;\;0&&\;\;\;\;\;0&&\;\;\;\;\;0\end{alignedat}}\,\right]$

тогда векторы-столбцы c ₁ , ..., c ₆ удовлетворяют уравнениям

${\begin{alignedat}{1}\mathbf {c} _{3}&=-3\mathbf {c} _{1}+5\mathbf {c} _{2}\\\mathbf {c} _{5}&=2\mathbf {c} _{1}-\mathbf {c} _{2}+7\mathbf {c} _{4}\\\mathbf {c} _{6}&=4\mathbf {c} _{2}-9\mathbf {c} _{4}\end{alignedat}}$

Отсюда следует, что векторы-строки матрицы A удовлетворяют уравнениям

${\begin{alignedat}{1}x_{3}&=-3x_{1}+5x_{2}\\x_{5}&=2x_{1}-x_{2}+7x_{4}\\x_{6}&=4x_{2}-9x_{4}.\end{alignedat}}$

В частности, векторы-строки матрицы A являются основой нулевого пространства соответствующей матрицы.

См. также

• Циклическое подпространство
• Инвариантное подпространство
• Мультилинейное обучение подпространству
• Факторпространство (линейная алгебра)
• Сигнальное подпространство
• Топология подпространства

Источники

Учебник

• Антон, Ховард (2005), Элементарная линейная алгебра (версия для приложений) (9-е изд.), Wiley International
• Экслер, Шелдон Джей (2015). Линейная алгебра сделана правильно (3-е изд.). Спрингер . ISBN  978-3-319-11079-0 .
• Борегар, Раймонд А.; Фрэли, Джон Б. (1973), Первый курс линейной алгебры: с дополнительным введением в группы, кольца и поля , Бостон: Houghton Mifflin Company , ISBN  0-395-14017-Х
• Халмос, Пол Ричард (1974) [1958]. Конечномерные векторные пространства (2-е изд.). Спрингер . ISBN  0-387-90093-4 .
• Хефферон, Джим (2020). Линейная алгебра (4-е изд.). Ортогональное издание. ISBN  978-1-944325-11-4 .
• Херштейн, Индиана (1964), Темы алгебры , Уолтем: издательство Blaisdell Publishing Company , ISBN  978-1114541016
• Кацнельсон, Ицхак ; Кацнельсон, Джонатан Р. (2008). (Краткое) Введение в линейную алгебру . Американское математическое общество . ISBN  978-0-8218-4419-9 .
• Крейциг, Эрвин (1972), Высшая инженерная математика (3-е изд.), Нью-Йорк: Wiley , ISBN  0-471-50728-8
• Лэй, Дэвид К. (22 августа 2005 г.), Линейная алгебра и ее приложения (3-е изд.), Аддисон Уэсли, ISBN  978-0-321-28713-7
• Леон, Стивен Дж. (2006), Линейная алгебра с приложениями (7-е изд.), Пирсон Прентис Холл
• Мейер, Карл Д. (15 февраля 2001 г.), Матричный анализ и прикладная линейная алгебра , Общество промышленной и прикладной математики (SIAM), ISBN  978-0-89871-454-8 , заархивировано из оригинала 1 марта 2001 г.
• Неринг, Эвар Д. (1970), Линейная алгебра и теория матриц (2-е изд.), Нью-Йорк: Wiley , LCCN   76091646
• Пул, Дэвид (2006), Линейная алгебра: современное введение (2-е изд.), Брукс/Коул, ISBN  0-534-99845-3

Интернет

• Вайсштейн, Эрик Вольфганг . «Подпространство» . Математический мир . Проверено 16 февраля 2021 г.
• ДюШато, Поль (5 сентября 2002 г.). «Основные факты о гильбертовом пространстве» (PDF) . Государственный университет Колорадо . Проверено 17 февраля 2021 г.

Внешние ссылки

• Стрэнг, Гилберт (7 мая 2009 г.). «Четыре фундаментальных подпространства» . Архивировано из оригинала 11 декабря 2021 г. Проверено 17 февраля 2021 г. - через YouTube .
• Стрэнг, Гилберт (5 мая 2020 г.). «Большая картина линейной алгебры» . Архивировано из оригинала 11 декабря 2021 г. Проверено 17 февраля 2021 г. - через YouTube .