Jump to content

Циклическое подпространство

В математике , в линейной алгебре и функциональном анализе циклическое подпространство — это некоторое специальное подпространство векторного пространства , связанное с вектором в векторном пространстве и линейным преобразованием векторного пространства. Циклическое подпространство, связанное с вектором v в векторном пространстве V и линейным преобразованием T V , называется T -циклическим подпространством, порожденным v . Понятие циклического подпространства является основным компонентом формулировки теоремы о циклическом разложении в линейной алгебре.

Определение

[ редактировать ]

Позволять быть линейным преобразованием векторного пространства и пусть быть вектором в . -циклическое подпространство созданный , обозначенный , является подпространством сгенерированный набором векторов . В случае, когда топологическое векторное пространство , называется циклическим вектором для если плотный в . Для частного случая конечномерных пространств это эквивалентно тому, что это все пространство . [1]

Существует еще одно эквивалентное определение циклических пространств. Позволять быть линейным преобразованием топологического векторного пространства над полем и быть вектором в . Набор всех векторов вида , где является многочленом в кольце всех многочленов в над , это -циклическое подпространство, порожденное . [1]

Подпространство является инвариантным подпространством для , в том смысле, что .

  1. Для любого векторного пространства и любой линейный оператор на , -циклическое подпространство, порожденное нулевым вектором, является нулевым подпространством .
  2. Если является тождественным оператором, тогда каждый -циклическое подпространство одномерно.
  3. является одномерным тогда и только тогда, когда характеристический вектор (собственный вектор) .
  4. Позволять — двумерное векторное пространство и пусть быть линейным оператором на представленный матрицей относительно стандартного упорядоченного базиса . Позволять . Затем . Поэтому и так . Таким образом является циклическим вектором для .

Сопутствующая матрица

[ редактировать ]

Позволять быть линейным преобразованием -мерное векторное пространство над полем и быть циклическим вектором для . Тогда векторы

образуют упорядоченную основу для . Пусть характеристический многочлен для быть

.

Затем

Поэтому относительно упорядоченного базиса , оператор представлена ​​матрицей

Эта матрица называется сопутствующей матрицей многочлена . [1]

См. также

[ редактировать ]
[ редактировать ]
  1. ^ Перейти обратно: а б с Хоффман, Кеннет; Кунце, Рэй (1971). Линейная алгебра (2-е изд.). Энглвуд Клиффс, Нью-Джерси: Prentice-Hall, Inc., с. 227 . ISBN  9780135367971 . МР   0276251 .
Arc.Ask3.Ru: конец переведенного документа.
Arc.Ask3.Ru
Номер скриншота №: 7653908aac2caea5f9d31dadc588fcdd__1702795920
URL1:https://arc.ask3.ru/arc/aa/76/dd/7653908aac2caea5f9d31dadc588fcdd.html
Заголовок, (Title) документа по адресу, URL1:
Cyclic subspace - Wikipedia
Данный printscreen веб страницы (снимок веб страницы, скриншот веб страницы), визуально-программная копия документа расположенного по адресу URL1 и сохраненная в файл, имеет: квалифицированную, усовершенствованную (подтверждены: метки времени, валидность сертификата), открепленную ЭЦП (приложена к данному файлу), что может быть использовано для подтверждения содержания и факта существования документа в этот момент времени. Права на данный скриншот принадлежат администрации Ask3.ru, использование в качестве доказательства только с письменного разрешения правообладателя скриншота. Администрация Ask3.ru не несет ответственности за информацию размещенную на данном скриншоте. Права на прочие зарегистрированные элементы любого права, изображенные на снимках принадлежат их владельцам. Качество перевода предоставляется как есть. Любые претензии, иски не могут быть предъявлены. Если вы не согласны с любым пунктом перечисленным выше, вы не можете использовать данный сайт и информация размещенную на нем (сайте/странице), немедленно покиньте данный сайт. В случае нарушения любого пункта перечисленного выше, штраф 55! (Пятьдесят пять факториал, Денежную единицу (имеющую самостоятельную стоимость) можете выбрать самостоятельно, выплаичвается товарами в течение 7 дней с момента нарушения.)