Циклическое подпространство
В математике , в линейной алгебре и функциональном анализе циклическое подпространство — это некоторое специальное подпространство векторного пространства , связанное с вектором в векторном пространстве и линейным преобразованием векторного пространства. Циклическое подпространство, связанное с вектором v в векторном пространстве V и линейным преобразованием T V , называется T -циклическим подпространством, порожденным v . Понятие циклического подпространства является основным компонентом формулировки теоремы о циклическом разложении в линейной алгебре.
Определение
[ редактировать ]Позволять быть линейным преобразованием векторного пространства и пусть быть вектором в . -циклическое подпространство созданный , обозначенный , является подпространством сгенерированный набором векторов . В случае, когда — топологическое векторное пространство , называется циклическим вектором для если плотный в . Для частного случая конечномерных пространств это эквивалентно тому, что это все пространство . [1]
Существует еще одно эквивалентное определение циклических пространств. Позволять быть линейным преобразованием топологического векторного пространства над полем и быть вектором в . Набор всех векторов вида , где является многочленом в кольце всех многочленов в над , это -циклическое подпространство, порожденное . [1]
Подпространство является инвариантным подпространством для , в том смысле, что .
Примеры
[ редактировать ]- Для любого векторного пространства и любой линейный оператор на , -циклическое подпространство, порожденное нулевым вектором, является нулевым подпространством .
- Если является тождественным оператором, тогда каждый -циклическое подпространство одномерно.
- является одномерным тогда и только тогда, когда – характеристический вектор (собственный вектор) .
- Позволять — двумерное векторное пространство и пусть быть линейным оператором на представленный матрицей относительно стандартного упорядоченного базиса . Позволять . Затем . Поэтому и так . Таким образом является циклическим вектором для .
Сопутствующая матрица
[ редактировать ]Позволять быть линейным преобразованием -мерное векторное пространство над полем и быть циклическим вектором для . Тогда векторы
образуют упорядоченную основу для . Пусть характеристический многочлен для быть
- .
Затем
Поэтому относительно упорядоченного базиса , оператор представлена матрицей
Эта матрица называется сопутствующей матрицей многочлена . [1]
См. также
[ редактировать ]Внешние ссылки
[ редактировать ]- PlanetMath: циклическое подпространство
Ссылки
[ редактировать ]- ^ Перейти обратно: а б с Хоффман, Кеннет; Кунце, Рэй (1971). Линейная алгебра (2-е изд.). Энглвуд Клиффс, Нью-Джерси: Prentice-Hall, Inc., с. 227 . ISBN 9780135367971 . МР 0276251 .