Jump to content

Подмножество

(Перенаправлено из отношения включения )
Диаграмма Эйлера, показывающая
A является подмножеством B ( обозначается ) и, наоборот, B является надмножеством A (обозначается ).

В математике множество A является подмножеством множества B, все элементы A если также являются элементами B ; B тогда надмножеством A является . Возможно, что A и B равны; если они неравны, то A является подмножеством B собственным . Отношение одного множества как подмножества другого называется включением (или иногда включением ). A представляет собой подмножество B, что также может быть выражено как B включает (или содержит) A или A включено (или содержится) в B . k k -подмножество это подмножество из элементов.

Отношение подмножества определяет частичный порядок множеств. Фактически, подмножества данного набора образуют булеву алгебру по отношению подмножества, в котором соединение и встреча задаются пересечением и объединением , а само отношение подмножества является булевым отношением включения .

Определение

[ редактировать ]

Если A и B — множества и каждый элемент A также является элементом B , то:

  • A подмножество B , обозначаемое или, что то же самое,
  • B является надмножеством A , обозначаемым

Если A является подмножеством B , но A не равно B хотя бы один элемент B , (т.е. существует который не является элементом A ), то:

  • A собственное (или строгое ) подмножество B , обозначаемое через или, что то же самое,
  • B является собственным (или строгим ) надмножеством A , обозначаемым через

Пустой набор , написанный или является подмножеством любого множества X и собственным подмножеством любого множества, кроме самого себя, отношение включения представляет собой частичный порядок на множестве ( мощности множество S — множество всех подмножеств S [1] ) определяется . Также мы можем заказать частично путем обратного включения множества, определив

При количественной оценке, представлен как [2]

Мы можем доказать утверждение применяя технику доказательства, известную как аргумент элемента [3] :

множества A и B. Пусть заданы Чтобы доказать это

  1. предположим , что a — конкретный, но произвольно выбранный элемент из A
  2. покажите , что a является элементом B .

Справедливость этой техники можно рассматривать как следствие универсального обобщения : техника показывает для произвольно выбранного элемента c . Тогда универсальное обобщение подразумевает что эквивалентно как сказано выше.

Набор всех подмножеств называется его набором мощностей и обозначается . Набор всего -подмножества обозначается , аналогично обозначениям биномиальных коэффициентов , подсчитывающих количество -подмножества - набор элементов. В теории множеств обозначение также часто встречается, особенно когда является трансфинитным кардинальным числом .

Характеристики

[ редактировать ]
Формально:
  • Множество A является подмножеством B тогда и только тогда, когда их объединение равно B.
Формально:
  • Конечное мощность множество A является подмножеством B их тогда и только тогда, когда пересечения равна мощности A.
Формально:

символы ⊂ и ⊃

[ редактировать ]

Некоторые авторы используют символы и для обозначения подмножества и надмножества соответственно; то есть с тем же значением, что и вместо символов и [4] Например, для этих авторов верно для каждого множества A, что ( рефлексивное отношение ).

Другие авторы предпочитают использовать символы и для указания правильного (также называемого строгим) подмножества и правильного надмножества соответственно; то есть с тем же значением, что и вместо символов и [5] Это использование делает и аналогично неравенства символам и Например, если тогда x может равняться или не равняться y , но если тогда x определенно не равен y и меньше y ) ( иррефлексивное отношение . Аналогично, используя соглашение, согласно которому является собственным подмножеством, если тогда A может быть равно B , а может и не быть, но если тогда A определенно не B. равно

Примеры подмножеств

[ редактировать ]
Правильные многоугольники образуют подмножество многоугольников.
  • Множество A = {1, 2} является собственным подмножеством B = {1, 2, 3}, поэтому оба выражения и верны.
  • Множество D = {1, 2, 3} является подмножеством (но не собственным подмножеством) E = {1, 2, 3}, поэтому это правда, и неверно (ложно).
  • Любое множество является подмножеством самого себя, но не собственным подмножеством. ( это правда, и ложно для любого множества X.)
  • Набор { x : x простое число больше 10} является правильным подмножеством { x : x — нечетное число больше 10}
  • Множество натуральных чисел является собственным подмножеством множества рациональных чисел ; аналогично, набор точек на отрезке линии является собственным подмножеством набора точек на линии . Это два примера, в которых и подмножество, и все множество бесконечны, а подмножество имеет ту же мощность (понятие, соответствующее размеру, то есть количеству элементов конечного множества), что и целое; такие случаи могут идти вразрез с первоначальной интуицией.
  • Множество рациональных чисел является собственным подмножеством множества действительных чисел . В этом примере оба набора бесконечны, но последний набор имеет большую мощность (или мощность ), чем первый набор.

Другой пример на диаграмме Эйлера :

Другие свойства включения

[ редактировать ]
и подразумевает

Включение — это канонический частичный порядок в том смысле, что каждое частично упорядоченное множество изоморфно . некоторому набору множеств, упорядоченному по включению Порядковые числительные являются простым примером: если каждый порядковый номер n отождествляется с множеством всех порядковых номеров, меньших или равных n , то тогда и только тогда, когда

Для набора мощности множества S частичный порядок включения является — с точностью до порядкового изоморфизма декартовым произведением ( мощность S ) копии частичного порядка на для чего Это можно проиллюстрировать, перечислив и связывание с каждым подмножеством (т.е. каждый элемент ) k -кортеж из из которых i -я координата равна 1 тогда и только тогда, когда является членом Т.

См. также

[ редактировать ]
  • Выпуклое подмножество — в геометрии множество, пересечение каждой линии которого представляет собой один сегмент линии.
  • Порядок включения - частичный порядок, который возникает как отношение включения подмножества в некоторой коллекции объектов.
  • Регион — связанное открытое подмножество топологического пространства.
  • Проблема суммы подмножества - Проблема принятия решений в информатике
  • Субсумптивное сдерживание - система элементов, подчиненных друг другу.
  • Полное подмножество - Подмножество T топологического векторного пространства X, где линейная оболочка T является плотным подмножеством X.
  • Мереология - изучение частей и целых, которые они образуют.
  1. ^ Вайсштейн, Эрик В. «Подмножество» . mathworld.wolfram.com . Проверено 23 августа 2020 г.
  2. ^ Розен, Кеннет Х. (2012). Дискретная математика и ее приложения (7-е изд.). Нью-Йорк: МакГроу-Хилл. п. 119 . ISBN  978-0-07-338309-5 .
  3. ^ Эпп, Сюзанна С. (2011). Дискретная математика с приложениями (Четвертое изд.). п. 337. ИСБН  978-0-495-39132-6 .
  4. ^ Рудин, Уолтер (1987), Реальный и комплексный анализ (3-е изд.), Нью-Йорк: McGraw-Hill , стр. 6, ISBN  978-0-07-054234-1 , МР   0924157
  5. ^ Подмножества и правильные подмножества (PDF) , заархивировано из оригинала (PDF) 23 января 2013 г. , получено 7 сентября 2012 г.

Библиография

[ редактировать ]
[ редактировать ]
Arc.Ask3.Ru: конец переведенного документа.
Arc.Ask3.Ru
Номер скриншота №: 559b07c086c9aa8241df84c14ce3e3a4__1714291800
URL1:https://arc.ask3.ru/arc/aa/55/a4/559b07c086c9aa8241df84c14ce3e3a4.html
Заголовок, (Title) документа по адресу, URL1:
Subset - Wikipedia
Данный printscreen веб страницы (снимок веб страницы, скриншот веб страницы), визуально-программная копия документа расположенного по адресу URL1 и сохраненная в файл, имеет: квалифицированную, усовершенствованную (подтверждены: метки времени, валидность сертификата), открепленную ЭЦП (приложена к данному файлу), что может быть использовано для подтверждения содержания и факта существования документа в этот момент времени. Права на данный скриншот принадлежат администрации Ask3.ru, использование в качестве доказательства только с письменного разрешения правообладателя скриншота. Администрация Ask3.ru не несет ответственности за информацию размещенную на данном скриншоте. Права на прочие зарегистрированные элементы любого права, изображенные на снимках принадлежат их владельцам. Качество перевода предоставляется как есть. Любые претензии, иски не могут быть предъявлены. Если вы не согласны с любым пунктом перечисленным выше, вы не можете использовать данный сайт и информация размещенную на нем (сайте/странице), немедленно покиньте данный сайт. В случае нарушения любого пункта перечисленного выше, штраф 55! (Пятьдесят пять факториал, Денежную единицу (имеющую самостоятельную стоимость) можете выбрать самостоятельно, выплаичвается товарами в течение 7 дней с момента нарушения.)