Подмножество
В математике множество A является подмножеством множества B, все элементы A если также являются элементами B ; B тогда надмножеством A является . Возможно, что A и B равны; если они неравны, то A является подмножеством B собственным . Отношение одного множества как подмножества другого называется включением (или иногда включением ). A представляет собой подмножество B, что также может быть выражено как B включает (или содержит) A или A включено (или содержится) в B . k k -подмножество это подмножество из — элементов.
Отношение подмножества определяет частичный порядок множеств. Фактически, подмножества данного набора образуют булеву алгебру по отношению подмножества, в котором соединение и встреча задаются пересечением и объединением , а само отношение подмножества является булевым отношением включения .
Определение
[ редактировать ]Если A и B — множества и каждый элемент A также является элементом B , то:
- A — подмножество B , обозначаемое или, что то же самое,
- B является надмножеством A , обозначаемым
Если A является подмножеством B , но A не равно B хотя бы один элемент B , (т.е. существует который не является элементом A ), то:
- A — собственное (или строгое ) подмножество B , обозначаемое через или, что то же самое,
- B является собственным (или строгим ) надмножеством A , обозначаемым через
Пустой набор , написанный или является подмножеством любого множества X и собственным подмножеством любого множества, кроме самого себя, отношение включения представляет собой частичный порядок на множестве ( мощности множество S — множество всех подмножеств S [1] ) определяется . Также мы можем заказать частично путем обратного включения множества, определив
При количественной оценке, представлен как [2]
Мы можем доказать утверждение применяя технику доказательства, известную как аргумент элемента [3] :
множества A и B. Пусть заданы Чтобы доказать это
- предположим , что a — конкретный, но произвольно выбранный элемент из A
- покажите , что a является элементом B .
Справедливость этой техники можно рассматривать как следствие универсального обобщения : техника показывает для произвольно выбранного элемента c . Тогда универсальное обобщение подразумевает что эквивалентно как сказано выше.
Набор всех подмножеств называется его набором мощностей и обозначается . Набор всего -подмножества обозначается , аналогично обозначениям биномиальных коэффициентов , подсчитывающих количество -подмножества - набор элементов. В теории множеств обозначение также часто встречается, особенно когда является трансфинитным кардинальным числом .
Характеристики
[ редактировать ]- Множество A является подмножеством B их тогда и только тогда, когда пересечение равно A.
- Формально:
- Множество A является подмножеством B тогда и только тогда, когда их объединение равно B.
- Формально:
- Конечное мощность множество A является подмножеством B их тогда и только тогда, когда пересечения равна мощности A.
- Формально:
символы ⊂ и ⊃
[ редактировать ]Некоторые авторы используют символы и для обозначения подмножества и надмножества соответственно; то есть с тем же значением, что и вместо символов и [4] Например, для этих авторов верно для каждого множества A, что ( рефлексивное отношение ).
Другие авторы предпочитают использовать символы и для указания правильного (также называемого строгим) подмножества и правильного надмножества соответственно; то есть с тем же значением, что и вместо символов и [5] Это использование делает и аналогично неравенства символам и Например, если тогда x может равняться или не равняться y , но если тогда x определенно не равен y и меньше y ) ( иррефлексивное отношение . Аналогично, используя соглашение, согласно которому является собственным подмножеством, если тогда A может быть равно B , а может и не быть, но если тогда A определенно не B. равно
Примеры подмножеств
[ редактировать ]- Множество A = {1, 2} является собственным подмножеством B = {1, 2, 3}, поэтому оба выражения и верны.
- Множество D = {1, 2, 3} является подмножеством (но не собственным подмножеством) E = {1, 2, 3}, поэтому это правда, и неверно (ложно).
- Любое множество является подмножеством самого себя, но не собственным подмножеством. ( это правда, и ложно для любого множества X.)
- Набор { x : x — простое число больше 10} является правильным подмножеством { x : x — нечетное число больше 10}
- Множество натуральных чисел является собственным подмножеством множества рациональных чисел ; аналогично, набор точек на отрезке линии является собственным подмножеством набора точек на линии . Это два примера, в которых и подмножество, и все множество бесконечны, а подмножество имеет ту же мощность (понятие, соответствующее размеру, то есть количеству элементов конечного множества), что и целое; такие случаи могут идти вразрез с первоначальной интуицией.
- Множество рациональных чисел является собственным подмножеством множества действительных чисел . В этом примере оба набора бесконечны, но последний набор имеет большую мощность (или мощность ), чем первый набор.
Другой пример на диаграмме Эйлера :
- A является собственным подмножеством B.
- C является подмножеством, но не собственным подмножеством B.
Другие свойства включения
[ редактировать ]Включение — это канонический частичный порядок в том смысле, что каждое частично упорядоченное множество изоморфно . некоторому набору множеств, упорядоченному по включению Порядковые числительные являются простым примером: если каждый порядковый номер n отождествляется с множеством всех порядковых номеров, меньших или равных n , то тогда и только тогда, когда
Для набора мощности множества S частичный порядок включения является — с точностью до порядкового изоморфизма — декартовым произведением ( мощность S ) копии частичного порядка на для чего Это можно проиллюстрировать, перечислив и связывание с каждым подмножеством (т.е. каждый элемент ) k -кортеж из из которых i -я координата равна 1 тогда и только тогда, когда является членом Т.
См. также
[ редактировать ]- Выпуклое подмножество — в геометрии множество, пересечение каждой линии которого представляет собой один сегмент линии.
- Порядок включения - частичный порядок, который возникает как отношение включения подмножества в некоторой коллекции объектов.
- Регион — связанное открытое подмножество топологического пространства.
- Проблема суммы подмножества - Проблема принятия решений в информатике
- Субсумптивное сдерживание - система элементов, подчиненных друг другу.
- Полное подмножество - Подмножество T топологического векторного пространства X, где линейная оболочка T является плотным подмножеством X.
- Мереология - изучение частей и целых, которые они образуют.
Ссылки
[ редактировать ]- ^ Вайсштейн, Эрик В. «Подмножество» . mathworld.wolfram.com . Проверено 23 августа 2020 г.
- ^ Розен, Кеннет Х. (2012). Дискретная математика и ее приложения (7-е изд.). Нью-Йорк: МакГроу-Хилл. п. 119 . ISBN 978-0-07-338309-5 .
- ^ Эпп, Сюзанна С. (2011). Дискретная математика с приложениями (Четвертое изд.). п. 337. ИСБН 978-0-495-39132-6 .
- ^ Рудин, Уолтер (1987), Реальный и комплексный анализ (3-е изд.), Нью-Йорк: McGraw-Hill , стр. 6, ISBN 978-0-07-054234-1 , МР 0924157
- ^ Подмножества и правильные подмножества (PDF) , заархивировано из оригинала (PDF) 23 января 2013 г. , получено 7 сентября 2012 г.
Библиография
[ редактировать ]- Я, Томас (2002). Теория множеств . Спрингер Верлаг. ISBN 3-540-44085-2 .
Внешние ссылки
[ редактировать ]- СМИ, связанные с подмножествами, на Викискладе?
- Вайсштейн, Эрик В. «Подмножество» . Математический мир .