Аксиома присоединения

В математической теории множеств аксиома присоединения гласит, что для любых двух наборов x , y существует набор w = x ∪ { y }, заданный путем «присоединения» набора y к множеству x . Это указано как

$\forall x.\forall y.\exists w.\forall z.{\big (}z\in w\leftrightarrow (z\in x\lor z=y){\big )}.$

Бернейс ( 1937 , стр. 68, аксиома II (2)) ввел аксиому присоединения как одну из аксиом системы теории множеств, которую он ввел примерно в 1929 году.Это слабая аксиома, используемая в некоторых слабых системах теории множеств, таких как общая теория множеств или теория финитарных множеств . Операция присоединения также используется как одна из операций примитивно-рекурсивных функций множества .

Интерпретируемость арифметики

Тарский и Шмелев показали, что арифметика Робинсона ( ${\mathsf {Q}}$) можно интерпретировать в рамках слабой теории множеств, аксиомами которой являются экстенсиональность, существование пустого множества и аксиома присоединения ( Тарский 1953 , стр.34).Фактически, только пустого множества и присоединения (без экстенсиональности) достаточно для интерпретации ${\mathsf {Q}}$. (Они взаимоинтерпретируемы.)

Добавление эпсилон-индукции к пустому множеству и присоединению дает теорию, которая взаимно интерпретируется с арифметикой Пеано ( ${\mathsf {PA}}$).Другая схема аксиом также дает теорию, которая взаимно интерпретируется с ${\mathsf {PA}}$:

$\forall x.\forall y.\exists w.\forall z.{\Big (}z\in w\leftrightarrow {\big (}(z\in x\lor z=y)\land \phi {\big )}{\Big )}$,

где $\phi$ не разрешается иметь $w$ бесплатно. Это объединяет аксиомы теории множеств: $\phi$ тривиально верно, что это сводится к приведенной выше аксиоме присоединения, и для $(z\neq y)\land P$ это дает аксиому разделения с $P$.

Ссылки

• Бернейс, Пол (1937), «Система аксиоматической теории множеств - Часть I», Журнал символической логики , 2 (1), Ассоциация символической логики: 65–77, doi : 10.2307/2268862 , JSTOR   2268862
• Кирби, Лоуренс (2009), «Теория финитарных множеств», Notre Dame J. Formal Logic , 50 (3): 227–244, doi : 10.1215/00294527-2009-009 , MR   2572972
• Тарский, Альфред (1953), Неразрешимые теории , Исследования по логике и основам математики, Амстердам: Издательство North-Holland Publishing Company, MR   0058532
• Тарский, Альфред; Живант, Стивен Р. (1987). Формализация теории множеств без переменных . Публикации коллоквиума AMS, т. 41. American Mathematical Soc. ISBN  978-0-8218-1041-5 .