Аксиома ограничения размера

Джон фон Нейман

В теории множеств аксиома ограничения размера была предложена Джоном фон Нейманом в его системе аксиом 1925 года для множеств и классов . Он формализует принцип ограничения размера , который позволяет избежать парадоксов, встречавшихся в более ранних формулировках теории множеств, за счет признания того, что некоторые классы слишком велики, чтобы быть множествами. Фон Нейман понял, что парадоксы возникают из-за того, что этим большим классам разрешено быть членами класса. Класс, являющийся членом класса, представляет собой множество; класс, который не является набором, является правильным классом . класс является подклассом V Каждый , класса всех множеств. Аксиома ограничения размера гласит, что класс является множеством тогда и только тогда, когда он меньше V — то есть не существует функции, отображающей его на V . Обычно эта аксиома формулируется в эквивалентной форме: Класс является правильным классом тогда и только тогда, когда существует функция, которая отображает его на V .

Аксиома фон Неймана подразумевает аксиомы замены , разделения , объединения и глобального выбора . Это эквивалентно комбинации замены, объединения и глобального выбора в теории множеств Фон Неймана–Бернейса–Гёделя (НБГ) и теории множеств Морса–Келли . Более поздние изложения теорий классов, такие как теории Пауля Бернейса , Курта Гёделя и Джона Л. Келли, используют замену, объединение и аксиому выбора, эквивалентную глобальному выбору, а не аксиому фон Неймана. В 1930 году Эрнст Цермело определил модели теории множеств, удовлетворяющие аксиоме ограничения размера.

Авраам Френкель и Азриэль Леви заявили, что аксиома ограничения размера не отражает всю «доктрину ограничения размера», поскольку она не подразумевает аксиому набора власти . Майкл Халлетт утверждал, что доктрина ограничения размера не оправдывает аксиому набора степеней и что «явное предположение фон Неймана [о малости наборов власти] кажется предпочтительнее, чем неявно скрытое неявное предположение Цермело, Френкеля и Леви о малости силовые установки».

Официальное заявление

Обычная версия аксиомы ограничения размера — класс является собственным классом тогда и только тогда, когда существует функция, отображающая его на V   — выражается на формальном языке теории множеств следующим образом:

${\begin{aligned}\forall C{\Bigl [}\lnot \exists D\left(C\in D\right)\iff \exists F{\bigl [}&\,\forall y{\bigl (}\exists D(y\in D)\implies \exists x[\,x\in C\land (x,y)\in F\,]{\bigr )}\\&\,\land \,\forall x\forall y\forall z{\bigl (}\,[\,(x,y)\in F\land (x,z)\in F\,]\implies y=z{\bigr )}\,{\bigr ]}\,{\Bigr ]}\end{aligned}}$

Гёдель ввел соглашение, согласно которому переменные в верхнем регистре варьируются по всем классам, а переменные в нижнем регистре — по всем наборам. Это соглашение позволяет нам писать:

• $\exists y\,\varphi (y)$ вместо $\exists y{\bigl (}\exists D(y\in D)\land \varphi (y){\bigr )}$
• $\forall y\,\varphi (y)$ вместо $\forall y{\bigl (}\exists D(y\in D)\implies \varphi (y){\bigr )}$

Используя соглашение Гёделя, аксиому ограничения размера можно записать:

${\begin{aligned}\forall C{\Bigl [}\lnot \exists D\left(C\in D\right)\iff \exists F{\bigl [}&\,\forall y\exists x{\bigl (}x\in C\land (x,y)\in F{\bigr )}\\&\,\land \,\forall x\forall y\forall z{\bigl (}\,[\,(x,y)\in F\land (x,z)\in F\,]\implies y=z{\bigr )}\,{\bigr ]}\,{\Bigr ]}\end{aligned}}$

Последствия аксиомы

Фон Нейман доказал, что из аксиомы ограничения размера следует аксиома замены , которую можно выразить так: Если F — функция, а A — множество, то F ( A ) — множество. Это доказывается от противного . Пусть F — функция, а A — множество. Предположим, что F ( A ) — собственный класс. Тогда существует функция G которая отображает F ( A ) на V. , Поскольку составная функция G ∘ F отображает A на V , из аксиомы ограничения размера следует, что A является собственным классом, что противоречит тому, что A является множеством. Следовательно, F ( A ) — множество. Поскольку аксиома замены подразумевает аксиому разделения , аксиома ограничения размера подразумевает аксиому разделения .

Фон Нейман также доказал, что из его аксиомы следует, что V может быть вполне упорядоченным . Доказательство начинается с доказательства от противного, что Ord , класс всех ординалов , является собственным классом. Предположим, что Ord — множество. Поскольку это транзитивное множество , строго упорядоченное по элементу ∈, оно является ординалом. Итак, Ord ∈ Ord , что противоречит Ord строгому упорядочению по элементу ∈. Следовательно, Ord — собственный класс. Итак, аксиома фон Неймана подразумевает, что существует функция F , которая отображает Ord на V . Чтобы определить хороший порядок V , пусть G — подкласс F, состоящий из упорядоченных пар (α, x ), где α — наименьшее β такое, что (β, x ) ∈ F ; то есть G = {(α, x ) ∈ F   : ∀β((β, x ) ∈ F ⇒ α ≤ β)}. Функция G представляет собой взаимно однозначное соответствие между подмножеством Ord и V . Следовательно, x < y, если G ⁻¹ (х) < G ⁻¹ (y) определяет хороший порядок V . Это хорошее упорядочение определяет глобальную функцию выбора : пусть Inf   ( x ) будет наименьшим элементом непустого множества x . Поскольку Inf   ( x ) ∈ x , эта функция выбирает элемент x для каждого непустого множества x . Следовательно, Inf   ( x ) — функция глобального выбора, поэтому из аксиомы фон Неймана следует аксиома глобального выбора .

В 1968 году Азриэль Леви доказал, что из аксиомы фон Неймана следует аксиома объединения . Во-первых, он доказал, не используя аксиому объединения, что каждый набор ординалов имеет верхнюю границу. Затем он использовал функцию, которая отображает Ord на V, чтобы доказать, что если A — множество, то ∪   A — множество.

Аксиомы замены, глобального выбора и объединения (вместе с другими аксиомами NBG ) подразумевают аксиому ограничения размера. Следовательно, эта аксиома эквивалентна комбинации замены, глобального выбора и объединения в NBG или теории множеств Морса – Келли . Эти теории множеств только заменили аксиому ограничения размера аксиомой замены и формой аксиомы выбора, поскольку система аксиом фон Неймана содержит аксиому объединения. Доказательство Леви избыточности этой аксиомы появилось много лет спустя.

Аксиомы НБГ с заменой аксиомы глобального выбора на обычную аксиому выбора не подразумевают аксиому ограничения размера. В 1964 году Уильям Б. Истон использовал принуждение для построения модели НБГ, в которой глобальный выбор был заменен аксиомой выбора. В модели Истона V не может быть линейно упорядоченным , поэтому он не может быть упорядоченным. Следовательно, аксиома ограничения размера в этой модели не работает. Ord является примером правильного класса, который не может быть отображен на V, потому что (как доказано выше), если существует функция, отображающая Ord на V , то V может быть хорошо упорядочен.

Аксиомы НБГ с заменой аксиомы замены на более слабую аксиому разделения не подразумевают аксиому ограничения размера. Определять $\omega _{\alpha }$ как $\alpha$-й бесконечный начальный ординал , который также является кардиналом $\aleph _{\alpha }$; нумерация начинается с $0$, так $\omega _{0}=\omega .$ В 1939 году Гёдель указал, что L _{ω ω} , подмножество конструируемой вселенной , представляет собой модель ZFC с заменой, замененной разделением. Чтобы расширить его до модели NBG с заменой замены на разделение, пусть его классами будут множества L _{ω ω+1} , которые являются конструктивными подмножествами L _{ω ω} . Эта модель удовлетворяет аксиомам существования класса NBG, поскольку ограничение множества переменных этих аксиом до L _{ω ω} приводит к появлению случаев аксиомы разделения, которая выполняется в L. Он удовлетворяет аксиоме глобального выбора, поскольку существует функция, принадлежащая L _{ω ω+1} , которая отображает ω _ω в L _{ω ω} , что означает, что L _{ω ω} хорошо упорядочен. Аксиома ограничения размера неверна, поскольку собственный класс {ω _n : n ∈ ω} имеет мощность $\aleph _{0}$, поэтому его нельзя отобразить на L _{ω ω} , мощность которого $\aleph _{\omega }$.

существует взаимно однозначное соответствие В письме Цермело в 1923 году фон Нейман сформулировал первую версию своей аксиомы: Класс является собственным классом тогда и только тогда, когда между ним и V . Аксиома ограничения размера подразумевает аксиому фон Неймана 1923 года. Следовательно, из этого также следует, что все собственные классы равнозначны с V .

Доказательство того, что из аксиомы ограничения размера следует аксиома фон Неймана 1923 года.

Чтобы доказать $\Longleftarrow$ направление, пусть $A$ быть классом и $F$ быть личной перепиской от $A$ к $V.$ С $F$ карты $A$ на $V,$ аксиома ограничения размера подразумевает, что $A$ это правильный класс.

Чтобы доказать $\Longrightarrow$ направление, пусть $A$ быть подходящим классом. Мы определим хорошо упорядоченные классы $(A,<)$ и $(V,<),$ и построить порядковые изоморфизмы между $(Ord,<),(A,<),$ и $(V,<).$ Тогда изоморфизм порядка из $(A,<)$ к $(V,<)$ представляет собой взаимно однозначное соответствие между $A$ и $V.$

Выше было доказано, что из аксиомы ограничения размера следует существование функции $F$ это отображает $Ord$ на $V.$ Также, $G$ был определен как подкласс $F$ это взаимно однозначное соответствие между $Dom(G)$ и $V.$ Это определяет хороший порядок на $V\colon \,x<y\,$ если $G^{-1}(x)<G^{-1}(y).$ Поэтому, $G$ является порядковым изоморфизмом из $(Dom(G),<)$ к $(V,<).$

Если $(C,<)$ является хорошо упорядоченным классом, его собственными начальными сегментами являются классы $\{x\in C:x<y\}$ где $y\in C.$ Сейчас $(Ord,<)$ обладает тем свойством, что все его собственные начальные сегменты являются множествами. С $Dom(G)\subseteq Ord,$ это свойство справедливо для $(Dom(G),<).$ Порядковый изоморфизм $G$ означает, что это свойство справедливо для $(V,<).$ С $A\subseteq V,$ это свойство справедливо для $(A,<).$

Чтобы получить изоморфизм порядка из $(A,<)$ к $(V,<),$ используется следующая теорема: Если $P$ — собственный класс и собственные начальные сегменты $(P,<)$ являются множествами, то существует изоморфизм порядка из $(Ord,<)$ к $(P,<).$ С $(A,<)$ и $(V,<)$ удовлетворяют условию теоремы, существуют порядковые изоморфизмы $I_{A}\colon (Ord,<)\rightarrow (A,<)$ и $I_{V}\colon (Ord,<)\rightarrow (V,<).$ Следовательно, изоморфизм порядка $I_{V}\circ I_{A}^{-1}\colon (A,<)\rightarrow (V,<)$ представляет собой взаимно однозначное соответствие между $A$ и $V.$

Цермело и аксиома

Эрнст Цермело в 1900-х годах

В 1930 году Цермело опубликовал статью о моделях теории множеств, в которой доказал, что некоторые из его моделей удовлетворяют аксиоме ограничения размера. Эти модели строятся в ZFC с использованием кумулятивной иерархии V _α , которая определяется трансфинитной рекурсией :

1. V ₀ знак равно ∅ .
2. V _α+1 знак равно V _α ∪ п ( V _α ). То есть объединение V α _и его набора степеней .
3. Для предела β: V _β = ∪ _{α < β}   V _α . То есть V _β является объединением предыдущего V _α .

Цермело работал с моделями вида V _κ, где κ — кардинал . Классы модели являются подмножествами V , а _κ отношение модели является стандартным отношением. Множествами модели являются классы X такие, что X ∈ V _κ . Цермело определил кардиналы κ такие, что V _κ удовлетворяет:

Теорема 1. Класс X является множеством тогда и только тогда, когда | Х | <к.

Теорема 2 В _κ | = κ.

Поскольку каждый класс является подмножеством V _κ , из теоремы 2 следует, что каждый класс X имеет мощность ≤ κ. Сочетание этого с теоремой 1 доказывает: каждый собственный класс имеет мощность κ. Следовательно, каждому собственному классу можно поставить во взаимно однозначное соответствие V _κ . Это соответствие является подмножеством V _κ , поэтому является классом модели. справедлива аксиома ограничения размера Следовательно, для модели V _κ .

Теорему о том, что V _κ имеет хороший порядок, можно доказать непосредственно . Так как κ – ординал мощности κ и | В _κ | = κ, существует взаимно однозначное соответствие между κ и V _κ . Это соответствие приводит к хорошему упорядочению V _κ . Доказательство фон Неймана является косвенным . Он использует парадокс Бурали-Форти, чтобы доказать от противного, что класс всех ординалов является собственным классом. Следовательно, аксиома ограничения размера подразумевает, что существует функция, которая отображает класс всех ординалов в класс всех множеств. Эта функция обеспечивает хорошее упорядочение V _κ .

Модель V _ω

Чтобы продемонстрировать, что теоремы 1 и 2 верны для некоторого V _κ , мы сначала докажем, что если множество принадлежит V _α , то оно принадлежит всем последующим V _β , или, что то же самое: V _α ⊆ V _β для α ⩽ β. Это доказывается трансфинитной индукцией по β:

1. β знак равно 0: V ₀ ⊆ V ₀ .
2. Для β+1: По индуктивному предположению V _α ⊆ V _β . Следовательно, V _α ⊆ V _β ⊆ V _β ∪ P ( V _β ) = V _β+1 .
3. Для предела β: Если α < β, то V _α ⊆ ∪ _{ξ < β}   V _ξ = V _β . Если α = β, то V _α ⊆ V _β .

Наборы входят в кумулятивную иерархию через набор мощности P ( V _β ) на шаге β+1. Потребуются следующие определения:

Если x — множество, то Rank ( x ) — это наименьший порядковый номер β такой, что x ∈ V _β+1 .

набора Верхняя грань ординалов A, обозначаемая sup A, — это наименьший ординал β такой, что α ⩽ β для всех α ∈ A.

Самая маленькая модель Цермело — V _ω . Математическая индукция доказывает, что V _n конечно для всех n < ω:

1. | В ₀ | = 0.
2. | В _{н +1} | = | В _п ∪ п ( В _п )| ≤ | В _н | + 2 ^{| В _н |} , которое конечно, поскольку V _n конечно по предположению индукции.

Доказательство теоремы 1: множество X входит в V _ω через P ( V _n ) для некоторого n < ω, поэтому X ⊆ V _n . Поскольку V _n конечно, X конечно. Обратно : если класс X конечен, пусть N = sup {rank( x ): x ∈ X }. Поскольку Rank( x ) ≤ N для всех x ∈ X , мы имеем X ⊆ V _{N +1} , поэтому X ∈ V _{N +2} ⊆ V _ω . , X ∈ Vω _{Следовательно} .

Доказательство теоремы 2: V _ω — объединение счетного и бесконечного числа конечных множеств возрастающего размера. Следовательно, он имеет мощность $\aleph _{0}$, что равно ω по кардинальному назначению фон Неймана .

Множества и классы V _ω удовлетворяют всем аксиомам NBG, кроме аксиомы бесконечности .

Модели V _κ , где κ — сильно недоступный кардинал

были использованы два свойства конечности Для доказательства теорем 1 и 2 для V _ω :

1. Если λ — конечный кардинал, то 2 ^л конечно.
2. Если A — набор ординалов такой, что | А | конечен, а α конечен для всех α ∈ A , то sup A конечен.

Чтобы найти модели, удовлетворяющие аксиоме бесконечности, замените «конечный» на «< κ», чтобы получить свойства, которые определяют строго недоступные кардиналы . Кардинал κ сильно недоступен, если κ > ω и:

1. Если λ — такой кардинал, что λ < κ, то 2 ^л <к.
2. Если A — набор ординалов такой, что | А | < κ и α < κ для всех α ∈ A , то sup A < κ.

Эти свойства утверждают, что κ нельзя достичь снизу. Первое свойство гласит, что κ не может быть достигнуто наборами степеней; второй говорит, что κ невозможно достичь с помощью аксиомы замены. Точно так же, как аксиома бесконечности необходима для получения ω, аксиома необходима для получения сильно недоступных кардиналов. Цермело постулировал существование неограниченной последовательности сильно недоступных кардиналов.

Если κ — сильно недостижимый кардинал, то трансфинитная индукция доказывает | В _α | < κ для всех α < κ:

1. α = 0: | В ₀ | = 0.
2. Для +1: | В _а+1 | = | V _α ∪ п ( V _α )| ≤ | Ва _​ | + 2 ^{| Ва _​ |}  = 2  ^{| Ва _​ |} <к. Последнее неравенство использует индуктивную гипотезу и κ строго недостижимо.
3. Для предела α: | В _α | знак равно |∪ _{ξ < α}   V _ξ | ≤ суп {| В _ξ | : ξ < α} < κ. Последнее неравенство использует индуктивную гипотезу и κ строго недостижимо.

Доказательство теоремы 1: множество X входит в V _κ через P ( V _α ) для некоторого α < κ, поэтому X ⊆ V _α . Поскольку | В _α | < κ, получаем | Х | <к. И наоборот: если класс X имеет | Х | < κ, пусть β = sup {rank( x ): x ∈ X }. Поскольку κ сильно недоступно, | Х | < κ и Rank( x ) < κ для всех x ∈ X влекут β = sup {rank( x ): x ∈ X } < κ. Поскольку Rank( x ) ≤ β для всех x ∈ X , мы имеем X ⊆ V _β+1 , поэтому X ∈ V _β+2 ⊆ V _κ . Следовательно X ∈ Vκ _. ,

Доказательство теоремы 2: | В _κ | знак равно |∪ _{α < κ}   V _α | ≤ суп {| В _α | : α < κ}. Пусть β — эта верхняя грань. Поскольку каждый ординал в супремуме меньше κ, имеем β ≤ κ. Предположим, что β < κ. Тогда существует кардинал λ такой, что β < λ < κ; например, пусть λ = 2 ^|б| . Поскольку λ ⊆ V _λ и | В _λ | находится в супремуме, то λ ≤ | В _λ | ≤ β. Это противоречит β < λ. Следовательно, | В _κ | = β = κ.

Множества и классы V _κ удовлетворяют всем аксиомам NBG.

ограничения

Доктрина ограничения размера — это эвристический принцип, который используется для обоснования аксиом теории множеств. Он позволяет избежать установленных теоретических парадоксов, ограничивая схему аксиом полного (противоречивого) понимания:

$\forall w_{1},\ldots ,w_{n}\,\exists x\,\forall u\,(u\in x\iff \varphi (u,w_{1},\ldots ,w_{n}))$

к экземплярам, ​​«которые не дают наборов «слишком больше», чем те, которые они используют».

Если «больше» означает «больше по кардинальному размеру», то большинство аксиом можно оправдать: аксиома разделения создает подмножество x , которое не больше x . Аксиома замены создает набор изображений f ( x ), который не больше x . Аксиома объединения создает объединение, размер которого не превышает размера самого большого множества в объединении, умноженного на количество множеств в объединении. Аксиома выбора создает множество выбора, размер которого не превышает размера данного множества непустых множеств.

Доктрина ограничения размера не оправдывает аксиому бесконечности:

$\exists y\,[\emptyset \in y\,\land \,\forall x(x\in y\implies x\cup \{x\}\in y)],$

который использует пустой набор и наборы, полученные из пустого набора путем итерации операции порядкового преемника . Поскольку эти множества конечны, любое множество, удовлетворяющее этой аксиоме, например ω, намного больше этих множеств. Френкель и Леви считают пустое множество и бесконечное множество натуральных чисел , существование которых подразумевается аксиомами бесконечности и разделения, отправной точкой для порождающих наборов.

Подход фон Неймана к ограничению размера использует аксиому ограничения размера. Как упоминалось в § Следствия аксиомы , аксиома фон Неймана подразумевает аксиомы разделения, замены, объединения и выбора. Подобно Френкелю и Леви, фон Нейману пришлось добавить к своей системе аксиому бесконечности, поскольку ее нельзя доказать с помощью других его аксиом. Различия между подходом фон Неймана к ограничению размера и подходом Френкеля и Леви заключаются в следующем:

• Аксиома фон Неймана накладывает ограничение на размер системы аксиом, позволяя доказать большинство аксиом существования множества. Доктрина ограничения размера оправдывает аксиомы, используя неформальные аргументы, которые скорее вызывают разногласия, чем доказательства.
• Фон Нейман принял аксиому о наборе степеней, поскольку ее нельзя доказать с помощью других его аксиом. Френкель и Леви заявляют, что доктрина ограничения размера оправдывает аксиому набора власти.

Существуют разногласия относительно того, оправдывает ли доктрина ограничения размера аксиому набора полномочий. Майкл Халлетт проанализировал аргументы Френкеля и Леви. Некоторые из их аргументов измеряют размер по критериям, отличным от кардинального размера — например, Френкель вводит понятия «полноценность» и «расширяемость». Халлетт указывает на недостатки их аргументов, которые он считает.

Затем Халлетт утверждает, что результаты теории множеств, похоже, подразумевают отсутствие связи между размером бесконечного множества и размером его степенного множества. Это означало бы, что доктрина ограничения размера не способна оправдать аксиому набора мощности, поскольку она требует, чтобы набор мощности x не был «слишком намного больше», чем x . В случае, когда размер измеряется кардинальным размером, Халлетт упоминает Пола Коэна . работу Начиная с модели ZFC и $\aleph _{\alpha }$Коэн построил модель, в которой мощность набора степеней ω равна $\aleph _{\alpha }$ если конфинальность ​ $\aleph _{\alpha }$ не является ω; в противном случае его мощность равна $\aleph _{\alpha +1}$. Поскольку мощность набора степеней ω не имеет границ, нет связи между кардинальным размером ω и кардинальным размером P (ω).

Халлетт также обсуждает случай, когда размер измеряется «полнотой», согласно которой коллекция считается «слишком большой», если она имеет «неограниченное понимание» или «неограниченный объем». Он указывает, что для бесконечного множества мы не можем быть уверены, что у нас есть все его подмножества, не пройдя через неограниченную протяженность Вселенной. Он также цитирует Джона Л. Белла и Моше Мачовера : «... набор мощности P ( u ) данного [бесконечного] множества u пропорционален не только размеру u , но и «богатству» всей вселенной. ..." Сделав эти наблюдения, Халлетт заявляет: «Приходится подозревать, что ) просто нет связи между размером (полнотой) бесконечного а и размером Р ( а ».

Халлетт считает доктрину ограничения размера ценной для обоснования большинства аксиом теории множеств. Его аргументы лишь указывают на то, что они не могут оправдать аксиомы бесконечности и набора мощности. Он заключает, что «явное предположение фон Неймана [о малости наборов степеней] кажется предпочтительнее, чем неявно скрытое неявное предположение Цермело, Френкеля и Леви о малости наборов степеней».

История

Фон Нейман разработал аксиому ограничения размера как новый метод идентификации множеств. ZFC идентифицирует множества с помощью своих аксиом построения множеств. Однако, как отмечал Абрахам Френкель : «Довольно произвольный характер процессов, которые выбраны в аксиомах Z [ZFC] в качестве основы теории, оправдывается историческим развитием теории множеств, а не логическими аргументами. "

Историческое развитие аксиом ZFC началось в 1908 году, когда Цермело выбрал аксиомы, чтобы устранить парадоксы и поддержать свое доказательство теоремы о хорошем порядке . В 1922 году Абрахам Френкель и Торальф Сколем указали, что Цермело не могут доказать существование множества { Z0 _{аксиомы} , Z1 _а , Z2 ₁ , ...}, где — _{множество} натуральных чисел , Zn _{+ Z0} — набор мощности Z _n . Они также ввели аксиому замены, гарантирующую существование этого множества. Однако добавление аксиом по мере необходимости не гарантирует существования всех разумных множеств и не проясняет разницу между множествами, безопасными в использовании, и коллекциями, приводящими к противоречиям.

В письме Цермело в 1923 году фон Нейман изложил подход к теории множеств, который определяет множества, которые «слишком велики» и могут привести к противоречиям. Фон Нейман идентифицировал эти множества, используя критерий: «Набор «слишком велик» тогда и только тогда, когда он эквивалентен множеству всех вещей». Затем он ограничил способы использования этих наборов: «…во избежание парадоксов те [наборы], которые являются «слишком большими», объявляются недопустимыми в качестве элементов ». Объединив это ограничение со своим критерием, фон Нейман получил свою первую версию аксиомы ограничения размера, которая на языке классов гласит: Класс является собственным классом тогда и только тогда, когда он V. равнозначен К 1925 году фон Нейман модифицировал свою аксиому, заменив фразу «она равнозначна V   » на фразу «она может быть отображена на V   », что привело к аксиоме ограничения размера. Эта модификация позволила фон Нейману дать простое доказательство аксиомы замены. Аксиома фон Неймана определяет множества как классы, которые не могут быть отображены V. на Фон Нейман понял, что даже с учетом этой аксиомы его теория множеств не полностью характеризует множества.

Гёдель нашел аксиому фон Неймана «представляющей большой интерес»:

«В частности, я считаю, что его [фон Неймана] необходимое и достаточное условие, которому свойство должно удовлетворять, чтобы определить множество, представляет большой интерес, поскольку оно проясняет связь аксиоматической теории множеств с парадоксами. Что это условие действительно Достижение сущности вещей видно из того, что оно подразумевает аксиому выбора, которая раньше стояла совершенно особняком от других экзистенциальных принципов. Выводы, граничащие с парадоксами, которые становятся возможными благодаря такому взгляду на вещи. на мой взгляд, не только очень элегантно, но и очень интересно с логической точки зрения. Более того, я считаю, что только продвигаясь дальше в этом направлении, т. е. в направлении, противоположном конструктивизму , будут решены основные проблемы абстрактной теории множеств».

Библиография

• Белл, Джон Л.; Мачовер, Моше (2007), Курс математической логики , Elsevier Science Ltd, ISBN  978-0-7204-2844-5 .
• Бернейс, Пол (1937), «Система аксиоматической теории множеств — Часть I», Журнал символической логики , 2 (1): 65–77, doi : 10.2307/2268862 , JSTOR   2268862 .
• Бернейс, Пол (1941), «Система аксиоматической теории множеств — Часть II», Журнал символической логики , 6 (1): 1–17, doi : 10.2307/2267281 , JSTOR   2267281 , S2CID   250344277 .
• Бернейс, Пол (1991), Аксиоматическая теория множеств , Dover Publications, ISBN  0-486-66637-9 .
• Коэн, Пол (1966), Теория множеств и гипотеза континуума , WA Бенджамин, ISBN  978-0-486-46921-8 .
• Истон, Уильям Б. (1964), Полномочия обычных кардиналов (докторская диссертация), Принстонский университет .
• Феррейрос, Хосе (2007), Лабиринт мысли: история теории множеств и ее роль в математической мысли (2-е исправленное издание), Биркхойзер, ISBN  978-3-7643-8349-7 .
• Френкель, Абрахам (1922), «Об основах теории множеств Кантора-Цермело» , Mathematical Annals , 86 (3–4): 230–237, doi : 10.1007/bf01457986 , S2CID   122212740 .
• Френкель, Авраам; Бар-Гилель, Иегошуа; Леви, Азриэль (1973), Основы теории множеств (2-е исправленное издание), Базель, Швейцария: Elsevier, ISBN  0-7204-2270-1 .
• Гёдель, Курт (1939), «Доказательство непротиворечивости обобщенной гипотезы континуума» (PDF) , Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America , 25 (4): 220–224, doi : 10.1073/pnas.25.4 .220 , PMC   1077751 , PMID   16588293 .
• Гёдель, Курт (1940), Непротиворечивость гипотезы континуума , Princeton University Press .
• Халлетт, Майкл (1984), Канторианская теория множеств и ограничение размера , Оксфорд: Clarendon Press, ISBN  0-19-853179-6 .
• Канамори, Акихиро (2003), «Станислав Улам» (PDF) , в книге Соломона Фефермана и Джона В. Доусона-младшего. (редактор), Собрание сочинений Курта Гёделя, Том V: Переписка HZ , Clarendon Press, стр. 280–300, ISBN  0-19-850075-0 .
• Келли, Джон Л. (1955), Общая топология , Ван Ностранд, ISBN  978-0-387-90125-1 .
• Кунен, Кеннет (1980), Теория множеств: введение в доказательства независимости , Северная Голландия, ISBN  0-444-86839-9 .
• Леви, Азриэль (1968), «О системе аксиом фон Неймана для теории множеств», American Mathematical Monthly , 75 (7): 762–763, doi : 10.2307/2315201 , JSTOR   2315201 .
• Мириманов, Дмитрий (1917), «Антиномии Рассела и Бурали-Форти и фундаментальная проблема теории множеств», L'Enseignement Mathématique , 19 : 37–52 .
• Мур, Грегори Х. (1982), Аксиома выбора Цермело: ее истоки, развитие и влияние , Springer, ISBN  0-387-90670-3 .
• Серпинский, Вацлав; Тарский, Альфред (1930), «О характеристическом свойстве недоступных чисел» (PDF) , Fundamenta Mathematicae , 15 : 292–300, doi : 10.4064/fm-15-1-292-300 , ISSN   0016-2736 .
• Сколем, Торальф (1922), «Некоторые замечания по аксиоматическому обоснованию теории множеств», Matematikerkongressen i Helsingfors, 4–7 июля 1922 г. , стр. 217–232 .
  • Английский перевод: ван Хейеноорт, Жан (1967b), «Некоторые замечания по аксиоматизированной теории множеств», От Фреге до Геделя: Справочник по математической логике, 1879–1931 , издательство Гарвардского университета, стр. 290–301, ISBN  978-0-674-32449-7 .
• фон Нейман, Джон (1925), «Аксиоматизация теории множеств» , Журнал чистой и прикладной математики , 154 : 219–240 .
  • Английский перевод: ван Хейеноорт, Жан (1967c), «Аксиоматизация теории множеств», От Фреге до Геделя: Справочник по математической логике, 1879–1931 , издательство Гарвардского университета, стр. 393–413, ISBN  978-0-674-32449-7 .
• фон Нейман, Джон (1928), «Аксиоматизация теории множеств» , Mathematical Journal , 27 : 669–752, doi : 10.1007/bf01171122 , S2CID   123492324 .
• Цермело, Эрнст (1908), «Исследования по основам теории множеств» , Mathematical Annals , 65 (2): 261–281, doi : 10.1007/bf01449999 , S2CID   120085563 .
  • Английский перевод: ван Хейеноорт, Жан (1967a), «Исследования по основам теории множеств», От Фреге до Геделя: Справочник по математической логике, 1879–1931 , издательство Гарвардского университета, стр. 199–215, ISBN  978-0-674-32449-7 .
• Цермело, Эрнст (1930), «О предельных числах и диапазонах множеств: новые исследования основ теории множеств» (PDF) , Fundamenta Mathematicae , 16 : 29–47, doi : 10.4064/fm-16-1-29- 47 .
  • Английский перевод: Эвальд, Уильям Б. (1996), «О граничных числах и областях множеств: новые исследования в основах теории множеств», От Иммануила Канта до Дэвида Гильберта: Справочник по основам математики , Oxford University Press, стр. 1208–1233, ISBN  978-0-19-853271-2 .