Парадокс Бурали-Форти

В теории множеств , области математики , парадокс Бурали-Форти демонстрирует, что построение «множества всех порядковых чисел » приводит к противоречию и, следовательно, показывает антиномию в системе, которая допускает его построение. Она названа в честь Чезаре Бурали-Форти , который в 1897 году опубликовал статью, доказывающую теорему, которая, ему неизвестная, противоречила ранее доказанному результату Георга Кантора . Бертран Рассел впоследствии заметил это противоречие, и когда он опубликовал его в своей книге « Принципы математики» 1903 года , он заявил, что оно было предложено ему в статье Бурали-Форти, в результате чего оно стало известно под именем Бурали-Форти.

Изложено в терминах ординалов фон Неймана.

Мы докажем это от противного.

1. Пусть Ω — множество, состоящее из всех порядковых чисел.
2. Ω является транзитивным , потому что для каждого элемента x из Ω (который является порядковым числом и может быть любым порядковым числом) и каждого элемента y из x (т.е. согласно определению ординалов фон Неймана для каждого порядкового числа y < x ) мы имеем что y является элементом Ω , поскольку любое порядковое число содержит только порядковые числа по определению этой порядковой конструкции.
3. Ω по хорошо упорядочен отношению принадлежности, поскольку все его элементы также хорошо упорядочены по этому отношению.
4. Итак, на шагах 2 и 3 мы получаем, что Ω является порядковым классом, а на шаге 1 — порядковым числом, поскольку все порядковые классы, являющиеся множествами, также являются порядковыми числами.
5. Это означает, что Ω является элементом Ω .
6. Согласно определению ординалов фон Неймана, Ω < Ω — это то же самое, что Ω является элементом Ω . Последнее утверждение доказывается шагом 5.
7. Но ни один порядковый класс не меньше самого себя, включая Ω из-за шага 4 ( Ω — порядковый класс), т. е. Ω ≮ Ω .

Мы вывели два противоречивых предложения ( Ω < Ω и Ω ≮ Ω ) из множества Ω и, следовательно, опровергли, что Ω является множеством.

В более общем смысле

Версия парадокса, приведенная выше, является анахронизмом, поскольку она предполагает определение ординалов, данное Джоном фон Нейманом , согласно которому каждый ординал представляет собой набор всех предыдущих ординалов, что не было известно в то время, когда парадокс был сформулирован Бурали-Форти. .Вот версия с меньшим количеством предпосылок: предположим, что мы связываем с каждым хорошо упорядоченным объект, названный своим типом заказа неопределенным образом (типы заказов — это порядковые номера). Типы порядка (порядковые номера) сами по себе упорядочены естественным образом,и этот хорошо упорядоченный порядок должен иметь тип заказа $\Omega$. Это легко показано на наивная теория множеств (и остается верной в ZFC , но не в New Foundations ), что порядоктип всех порядковых числительных меньше фиксированного $\alpha$ является $\alpha$ сам.Итак, порядоктип всех порядковых числительных меньше $\Omega$ является $\Omega$ сам. Ноэто означает, что $\Omega$, являющийся типом порядка правильного начального сегмента порядковых номеров, строго меньше типа порядка всех порядковых номеров,но последнее $\Omega$ себя по определению. Это противоречие.

Если мы воспользуемся определением фон Неймана, согласно которому каждый ординал идентифицируется как набор всех предыдущих ординалов, парадокс неизбежен: оскорбительное утверждение о том, что тип порядка всех порядковых чисел меньше фиксированного $\alpha$ является $\alpha$ само по себе должно быть правдой. Совокупность ординалов фон Неймана, как и совокупность в парадоксе Рассела , не может быть множеством ни в одной теории множеств с классической логикой. Но совокупность типов порядка в «Новых основах» (определяемых как классы эквивалентности правильного упорядочения при сходстве) на самом деле представляет собой набор, и парадокса удается избежать, поскольку тип порядка порядковых номеров меньше, чем $\Omega$оказывается, что это не так $\Omega$.

Разрешение парадокса

Современные аксиомы формальной теории множеств, такие как ZF и ZFC, обходят эту антиномию, не допуская построения множеств с использованием таких терминов, как «все множества со свойством $P$« , как это возможно в наивной теории множеств и как это возможно с аксиомами Готлоба Фреге – в частности, с Основным законом V – в «Grundgesetze der Arithmetik». Система Куайна «Новые основания » (NF) использует другое решение . Россер ( 1942 ) показал что в исходной версии системы Куайна «Математическая логика» (ML), являющейся продолжением «Новых основ», можно вывести парадокс Бурали-Форти, показывая, что эта система была противоречивой, пересмотр ML Куайном после открытия Россера не пострадал. доказал его равносовместимость с NF из этого недостатка, и действительно, впоследствии Хао Ван .

См. также

• Абсолютная бесконечность

Ссылки

• Бурали-Форти, Чезаре (1897), «Вопрос о трансфинитных числах» , Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo , 11 : 154–164, doi : 10.1007/BF03015911 , S2CID   121527917
• Ирвинг Копи (1958) «Парадокс Бурали-Форти», Philosophy of Science 25 (4): 281–286, дои : 10.1086/287617
• Мур, Грегори Х; Гарсиадиего, Алехандро (1981), «Парадокс Бурали-Форти: переоценка его происхождения», Historia Mathematica , 8 (3): 319–350, doi : 10.1016/0315-0860(81)90070-7
• Россер, Баркли (1942), «Парадокс Бурали-Форти», Журнал символической логики , 7 (1): 1–17, doi : 10.2307/2267550 , JSTOR   2267550 , MR   0006327 , S2CID   13389728

Внешние ссылки

• Стэнфордская энциклопедия философии : « Парадоксы и современная логика » — Андреа Кантини.