Парадокс познаваемости Fitch

Парадокс познаваемости Фитча – это загадка эпистемической логики . Это бросает вызов тезису о познаваемости , который утверждает, что каждая истина в принципе познаваема. Парадокс гласит , что это предположение подразумевает принцип всеведения , который утверждает, что каждая истина известна. По сути, парадокс Фитча утверждает, что существование неизвестной истины непознаваемо. Итак, если бы все истины были познаваемы, из этого следовало бы, что все истины на самом деле известны.

Парадокс вызывает беспокойство у верификационистских или антиреалистических теорий истины, для которых тезис познаваемости очень правдоподобен. но принцип всеведения очень неправдоподобен.

Парадокс появился как второстепенная теорема в статье Фредерика Фитча «Логический анализ некоторых концепций ценностей» 1963 года. Помимо тезиса о познаваемости, его доказательство делает лишь скромные предположения о модальной природе знания и возможности . Он также обобщил доказательство на различные модальности. Это вновь всплыло на поверхность в 1979 году, когда У. Д. Харт написал, что доказательство Fitch было «несправедливо забытым логическим сокровищем».

Доказательство

Предположим, что p — предложение, которое является неизвестной истиной ; то есть предложение p истинно, но неизвестно, истинно p . ли В таком случае предложение «предложение p является неизвестной истиной» истинно; и если все истины познаваемы, то должно быть возможно знать, что « p — неизвестная истина». Но это невозможно, потому что как только мы знаем, что « p — неизвестная истина», мы знаем, что p истинно, что делает p больше не неизвестной истиной, поэтому утверждение « p — неизвестная истина» становится ложным. Следовательно, утверждение « p — неизвестная истина» не может быть одновременно известным и истинным. Следовательно, если все истины познаваемы, набор «всех истин» не должен включать ничего из вида « что-то является неизвестной истиной»; таким образом, не должно быть неизвестных истин, и поэтому все истины должны быть известны.

Это можно формализовать с помощью модальной логики . K и L обозначают известные и возможные соответственно. Таким образом, LK означает возможно известное , другими словами, познаваемое . Используемые правила модальности:

(А)	К п → п	– знание подразумевает истину.
(Б)	K ( п & q ) → ( K п & K q )	– Знание союза подразумевает знание каждого союза.
(С)	п → ЛК п	– все истины познаваемы.
(Д)	из ¬ p вывести ¬ L p	– если ложность p может быть доказана без предположений, то p невозможна (что эквивалентно правилу необходимости : если q=¬p можно доказать истинность без предположений ( тавтология ), то q обязательно истинно , следовательно, p невозможно ).

Доказательство продолжается:

1. Предположим, что K ( p & ¬K p )
2. К п & К ¬ К п	из строки 1 по правилу (Б)
3. К п	из строки 2 путем исключения союза
4. K ¬ K p	из строки 2 путем исключения союза
5. ¬ K p	из строки 4 по правилу (А)
6. ¬ К ( п & ¬ К п )	из строк 3 и 5 путем доведения до абсурда , отбросив предположение 1
7. ¬LK ( p & ¬K p )	из строки 6 по правилу (D)
8. Предположим, что p & ¬K p
9. ЛК ( п & ¬К п )	из строки 8 по правилу (С)
10. ¬( p & ¬K p )	из строк 7 и 9 путем доведения до абсурда, освобождая от предположения 8.
11. п → К п	из строки 10 классической тавтологией о материальном кондиционале (отрицаемые кондиционалы)

В последней строке говорится, что если p истинно, то оно известно. Поскольку ничего другого относительно p не предполагалось, это означает, что каждая истина известна.

Поскольку приведенное выше доказательство использует минимальные предположения о природе L , замена L на F (см. временную логику Прайора (TL) ) обеспечивает доказательство того, что «если все истины могут быть известны в будущем, то они уже известны прямо сейчас».

Обобщения

В доказательстве используются минимальные предположения о природе K и L , поэтому вместо «известных» можно заменить другие модальности. Джо Салерно приводит пример «вызванного Богом»: правило (С) гласит, что каждый истинный факт мог быть вызван Богом, и вывод состоит в том, что каждый истинный факт был вызван Богом. Правило (А) также можно ослабить, включив в него модальности, которые не подразумевают истину. Например, вместо «известного» мы могли бы использовать доксастическую модальность «в которую верит разумный человек» (представленную B ). Правило (А) заменяется следующим:

(И)	Б п → ББ п	– рациональная вера прозрачна; если в p рационально верят, то рационально верят, что p рационально верят.
(Ф)	¬( Б п & Б ¬ п )	- рациональные убеждения последовательны

На этот раз доказательство продолжается:

1. Предположим, что B ( p & ¬ B p )
2. Б п & Б¬б ​ ​ п	из строки 1 по правилу (Б)
3. Б п	из строки 2 путем исключения союза
4. ББ п	из строки 3 по правилу (E)
5. B ¬ B p	из строки 2 путем исключения союза
6. ББ п & Б¬Б ​ ​ п	из строк 4 и 5 путем введения союза
7. ¬( BB p & B ¬ B p )	по правилу (F)
8. ¬ B ( p & ¬ B p )	из строк 6 и 7 путем доведения до абсурда , отбросив предположение 1

Последняя строка соответствует строке 6 в предыдущем доказательстве, а остальная часть выполняется так же, как и раньше. Таким образом, если разумный человек может поверить в какое-либо истинное предложение, то в это предложение верят один или несколько разумных людей.

Некоторые антиреалисты выступают за использование интуиционистской логики ; однако, за исключением последней строки, которая переходит от «нет неизвестных истин» к «все истины известны» , доказательство фактически является интуиционистски достоверным.

Тезис познаваемости

Правило (С) обычно считается ошибочным, а не любой другой используемый логический принцип. Можно утверждать, что это правило неточно передает идею о том, что все истины познаваемы, и что правило (C) не должно применяться неограниченно. Кванвиг утверждает, что это представляет собой незаконную замену модального контекста.

Теорема Гёделя доказывает, что в любой рекурсивно аксиоматизированной системе, достаточной для вывода математики (например, арифметики Пеано), существуют утверждения, которые неразрешимы. В этом контексте трудно утверждать, что «все истины познаваемы», поскольку некоторые потенциальные истины неопределенны.

Однако отказ от тезиса познаваемости не обязательно решает парадокс, поскольку можно заменить более слабую версию тезиса познаваемости, называемую (C').

(С')

∃ x ((( x & ¬ K x ) & LK x ) & LK (( x & ¬ K x ) & LK x ))

– Есть неизвестная, но познаваемая истина, и познаваемо, что это неизвестная, но познаваемая истина.

Тот же аргумент показывает, что (C') приводит к противоречию, указывая, что любая познаваемая истина либо известна, либо непознаваема, поскольку это неизвестная, но познаваемая истина; и наоборот, оно утверждает, что если истина неизвестна, то она непознаваема, или непознаваемо, что она познаваема, но неизвестна.

См. также

• Парадокс Мура
• Парадокс Мено

Ссылки

• Фредерик Фитч, « Логический анализ некоторых концепций стоимости ». Журнал символической логики Vol. 28, № 2 (июнь 1963 г.), стр. 135–142.
• В. Д. Харт. «Эпистемология абстрактных объектов», Труды Аристотелевского общества, доп. том. 53, 1979, стр. 153–65.
• Джонатан Кванвиг. Парадокс познаваемости . Издательство Оксфордского университета, 2006.
• Джо Салерно, изд. Новые эссе о парадоксе познаваемости. Архивировано 17 февраля 2009 г. в Wayback Machine . Издательство Оксфордского университета, 2009.

Внешние ссылки

• Залта, Эдвард Н. (ред.). «Парадокс познаваемости Фитча» . Стэнфордская энциклопедия философии .
• Знание в PhilPapers
• Парадокс познаваемости Fitch в проекте онтологии философии Индианы