Парадокс пьющего
Парадокс пьющего (также известный как теорема пьющего , принцип пьющего или принцип питья ) — это теорема классической , логики предикатов которую можно сформулировать так: «В пабе есть кто-то такой, что, если он или она пьет, то все в пабе пьют». Его популяризировал математический логик Рэймонд Смалльян , который назвал его «принципом питья» в своей книге 1978 года « Как называется эта книга?» [1]
Кажущаяся парадоксальная природа этого утверждения проистекает из того, как оно обычно излагается на естественном языке . Кажется нелогичным как то, что может быть человек, который заставляет других пить, так и то, что может быть человек, из которого всю ночь один человек всегда последним пил . Первое возражение возникает из-за того, что путают формальные утверждения «если тогда» с причинностью (см. Корреляция не подразумевает причинно-следственную связь или логику релевантности для логик, которые требуют соответствующих отношений между посылкой и следствием, в отличие от предполагаемой здесь классической логики). Формальное утверждение теоремы вне времени, что устраняет второе возражение, поскольку человек, для которого это утверждение справедливо в один момент, не обязательно является тем же человеком, для которого оно справедливо в любой другой момент. [ нужна ссылка ]
Формальная формулировка теоремы такова:
![{\displaystyle \exists x\in P, [D(x)\rightarrow \forall y\in P,D(y)].\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6ee8af2fd1fcc61589096d190f951396ff68f3dc)
где D — произвольный предикат , а P — произвольное непустое множество.
Доказательства
[ редактировать ]Доказательство начинается с признания правды того, что либо все в пабе пьют, либо по крайней мере один человек в пабе не пьет. Следовательно, следует рассмотреть два случая: [1] [2]
- Предположим, все пьют. Для любого конкретного человека не может быть ошибкой сказать, что если этот конкретный человек пьет, то все в пабе пьют , потому что все пьют. Поскольку все пьют, тогда этот человек должен пить, потому что, когда этот человек пьет , все пьют, все включают и этого человека. [1] [2]
- В противном случае хотя бы один человек не пьет. Для любого непьющего человека утверждение, если этот конкретный человек пьет, то все в пабе пьют, формально верно: его антецедент («этот конкретный человек пьет») ложен, следовательно, утверждение истинно в силу природы материала. импликация формальной логики, которая утверждает, что «Если P, то Q» всегда истинно, если P ложно. [1] [2] (Такие утверждения считаются пустой истиной .)
Несколько более формальный способ выразить вышеизложенное — сказать, что если все пьют, то любой может быть свидетелем справедливости теоремы. А если кто-то не пьет, то именно этот непьющий человек может быть свидетелем справедливости теоремы. [3]
Объяснение парадоксальности
[ редактировать ]В конечном итоге парадокс основан на принципе формальной логики, согласно которому утверждение истинно всякий раз, когда A ложно, т. е. любое утверждение следует из ложного утверждения [1] ( от всякой фальши ).
Что важно для парадокса, так это то, что кондиционал в классической (и интуиционистской) логике является материальным кондиционалом . Он обладает тем свойством, что истинно только тогда, когда B истинно или если A ложно (в классической логике, но не в интуиционистской логике , это также является достаточным условием).
Таким образом, в данном случае утверждение «если они пьют, то пьют все» считалось правильным в одном случае, если все пили, и в другом случае, если они не пили, даже несмотря на то, что их пьянство может не имел никакого отношения к чьему-либо пьянству.
История и вариации
[ редактировать ]Смуллян в своей книге 1978 года приписывает название «Принцип питья» своим аспирантам. [1] Он также обсуждает варианты (полученные путем замены D другими, более драматичными предикатами):
- «Есть на земле женщина такая, что если она станет бесплодной, то вымрет весь человеческий род». Смалльян пишет, что эта формулировка возникла в результате его разговора с философом Джоном Бэконом. [1]
- «Двойная» версия Принципа: «найдётся хотя бы один человек такой, что если кто-то пьёт, то он пьёт». [1]
Как «принцип пьющих» Смалльяна или просто «принцип пьющих» он появляется в книге Х. П. Барендрегта «В поисках правильности» (1996), сопровождаемой некоторыми машинными доказательствами. [2] С тех пор он регулярно появлялся в качестве примера в публикациях об автоматизированном рассуждении ; его иногда используют для противопоставления выразительности помощников доказательства . [4]
Непустой домен
[ редактировать ]В ситуации, когда разрешены пустые домены, парадокс пьющего должен быть сформулирован следующим образом: [5]
Набор P удовлетворяет
![{\displaystyle \exists x\in P.\ [D(x)\rightarrow \forall y\in P.\ D(y)]\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/db18168b2ba4e5820c506d949ff69bbf96d43806)
тогда и только тогда, когда оно непусто.
Или словами:
- Если и только если в пабе есть кто-то, то в пабе есть кто-то такой, что если он пьет, то пьют все в пабе .
См. также
[ редактировать ]Ссылки
[ редактировать ]- ^ Jump up to: а б с д и ж г час Раймонд Смалльян (1978). Как называется эта книга? Загадка Дракулы и другие логические загадки . Прентис Холл . Глава 14. Как что-либо доказать. (тема) 250. Принцип питья. стр. 209-211. ISBN 0-13-955088-7 .
- ^ Jump up to: а б с д HP Барендрегт (1996). «В поисках правильности». Изображения SMC Research, 1996 г. (PDF) . Stichting Mathematich Centrum. стр. 54–55. ISBN 978-90-6196-462-9 . Архивировано из оригинала (PDF) 11 июля 2015 г. Проверено 27 октября 2012 г.
- ^ Питер Дж. Кэмерон (1999). Множества, логика и категории . Спрингер. п. 91. ИСБН 978-1-85233-056-9 .
- ^ Фрик Видейк. 2001. Мицар Лайт для HOL Light . В материалах 14-й Международной конференции по доказательству теорем в логике высшего порядка (TPHOLs '01), Ричард Дж. Бултон и Пол Б. Джексон (ред.). Спрингер-Верлаг, Лондон, Великобритания, 378–394.
- ^ Мартин Эскардо; Пауло Олива. «Множества с возможностью поиска, компактность Дубюка-Пенона, принципы всеведения и парадокс пьющего» (PDF) . Вычислимость в Европе 2010: 2.
{{cite journal}}: Для цитирования журнала требуется|journal=( помощь )
