Парадокс парикмахерской
был Парадокс парикмахерской предложен Льюисом Кэрроллом в трехстраничном эссе под названием «Логический парадокс», которое появилось в июльском номере журнала Mind за 1894 год . Название происходит от «декоративного» рассказа, который Кэрролл использует в статье, чтобы проиллюстрировать парадокс. Ранее он существовал в нескольких альтернативных формах в его письмах и переписке, не всегда с участием парикмахерской. Кэрролл описал это как иллюстрацию «очень реальной трудности в теории гипотетических величин». [1] С точки зрения современной логики это видится не столько парадоксом, сколько простой логической ошибкой . Она представляет интерес сейчас главным образом как эпизод в развитии алгебро-логических методов , когда они не были так широко поняты (даже среди логиков), хотя проблема продолжает обсуждаться применительно к теориям импликации и модальной логики . [2]
Парадокс
[ редактировать ]По сюжету дядя Джо и дядя Джим идут в парикмахерскую. Они объясняют, что в магазине живут и работают три парикмахера — Аллен, Браун и Карр — и некоторые или все из них могут быть там. Нам даны две части информации, на основе которых можно сделать выводы. Во-первых, магазин определенно открыт, так что хотя бы один из парикмахеров должен быть внутри. Во-вторых, говорят, что Аллен очень нервничает, поэтому никогда не покидает магазин, если с ним не пойдет Браун.
Теперь, по словам дяди Джима, Карр очень хороший парикмахер, и он хочет знать, будет ли Карр его брить. Дядя Джо настаивает на том, что Карр обязательно будет дома, и утверждает, что может доказать это логически. Дядя Джим требует этих доказательств.
Дядя Джо приводит свои аргументы следующим образом:
Предположим, что Карр отсутствует. Покажем, что это предположение приводит к противоречию . Если Карра нет, то мы знаем следующее: «Если Аллена нет, то Браун присутствует», потому что должен быть кто-то, «чтобы присматривать за магазином». Но мы также знаем, что всякий раз, когда Аллен уходит, он берет с собой Брауна, поэтому, как правило, «если Аллен выбывает, то выбывает и Браун». Два утверждения, к которым мы пришли, несовместимы, поскольку, если Аллен отсутствует, то Браун не может быть одновременно «В» (согласно одному) и «Вне» (согласно другому). Существует противоречие. Поэтому мы должны отказаться от нашей гипотезы о том, что Карра нет, и заключить, что Карр должен быть внутри.
Ответ дяди Джима заключается в том, что этот вывод необоснован. Правильный вывод, который можно сделать из несовместимости двух «гипотетик», заключается в том, что то, что в них предполагается (что Аллен исключен), должно быть ложным, если предположить, что Карр исключен. Тогда наша логика просто позволяет нам прийти к выводу: «Если Карра нет, то Аллен обязательно должен быть внутри».
Источник
[ редактировать ]Парадокс возник из-за разногласий между Кэрроллом и его коллегой из Оксфорда, профессором логики из Уикхема Джоном Куком Уилсоном , между которыми существовал давний антагонизм. Проблема также обсуждалась другими, с кем Кэрролл переписывался, и рассматривалась в более поздних статьях, опубликованных Джоном Венном , Альфредом Сиджвиком и Бертраном Расселом , среди других. Точка зрения Кука Уилсона представлена в рассказе персонажем дяди Джо, который пытается доказать, что Карр всегда должен оставаться в магазине. Другие придерживались той же точки зрения, когда Кэрролл распространил свои версии проблемы, напечатанные в частном порядке. Как заметил Кэрролл: «Я веду переписку примерно с дюжиной логиков по этому любопытному вопросу; и до сих пор мнения относительно свободы C разделились поровну». [2] : 445-448
Упрощение
[ редактировать ]Обозначения
[ редактировать ]При чтении оригинала полезно иметь в виду следующее:
- То, что Кэрролл называл «гипотетиками», современные логики называют « логическими кондиционалами ».
- Дядя Джо завершает свое доказательство доведением до абсурда , что в переводе с английского означает « доказательство от противного ».
- То, что Кэрролл называет протазисом условного предложения, теперь известно как антецедент, а аподоз теперь называется консеквентом.
Символы можно использовать для значительного упрощения логических утверждений, подобных тем, которые присутствуют в этой истории:
| Оператор (Имя) | Разговорный | Символический | ||
|---|---|---|---|---|
| Отрицание | НЕТ | не Х | ¬ | ¬X |
| Соединение | И | Х и Y | ∧ | Икс ∧ Y |
| Дизъюнкция | ИЛИ | Х или Y | ∨ | Икс ∨ Y |
| Условный | ЕСЛИ... ТО | если Х, то Y | ⇒ | Х ⇒ Y |
Примечание:X ⇒ Y (также известный как «Импликация») на английском языке можно прочитать по-разному : от «X достаточно для Y» до «Y следует из X». .
переформулирование
[ редактировать ]Чтобы упростить изложение истории Кэрролла, мы возьмем следующие атомарные утверждения :
- A = Аллен в магазине
- B = Браун в игре
- C = Карр в игре
Так, например, (¬A ∧ B) представляет собой «Аллен отсутствует, а Браун присутствует».
Дядя Джим дает нам две аксиомы:
- Сейчас в магазине есть хотя бы один парикмахер (A ∨ B ∨ C)
- Аллен никогда не покидает магазин без Брауна (¬A ⇒ ¬B)
Дядя Джо представляет доказательство:
| Сокращенный английский с логическими маркерами | В основном символическое |
|---|---|
| Предположим, Карра НЕТ. | Н0: ¬С |
| Учитывая НЕ C, ЕСЛИ Аллена НЕТ, ТО Браун должен быть внутри, чтобы удовлетворить аксиоме 1 (A1). | По H0 и A1 ¬A ⇒ B |
| Но Аксиома 2(А2) показывает, что универсально верно, что ЕСЛИ Аллен НЕТ, ТО Браун не внутри (всегда верно, что если ¬A, то ¬B) | По A2 ¬A ⇒ ¬B |
| До сих пор мы имеем, что NOT C дает и (Not A THEN B), И (Not A THEN Not B). | Таким образом, ¬C ⇒ ( (¬A ⇒ B) ∧ (¬A ⇒ ¬B)) |
| Дядя Джо утверждает, что это противоречиво. | ⊥ |
| Следовательно, Карр должен быть внутри. | ∴C |
Дядя Джо, по сути, приводит аргумент, что (¬A ⇒ B) и (¬A ⇒ ¬B) противоречивы, говоря, что один и тот же антецедент не может привести к двум различным консеквентам.
Это предполагаемое противоречие является сутью «доказательства» Джо. Кэрролл представляет этот бросающий вызов интуиции результат как парадокс, надеясь, что современная двусмысленность будет разрешена.
Обсуждение
[ редактировать ]В современной теории логики этот сценарий не является парадоксом. Закон импликации примиряет то, что дядя Джо называет несовместимыми гипотезами. Этот закон гласит, что «если X, то Y» логически идентично «X ложно или Y истинно» (¬X ∨ Y). Например, учитывая утверждение «если вы нажмете кнопку, то загорится свет», в любой данный момент должно быть верно, что либо вы не нажали кнопку, либо свет горит.
Короче говоря, получается не то, что ¬C приводит к противоречию, а лишь то, что оно требует A, потому что ¬A — это то, что на самом деле приводит к противоречию.
В данном сценарии это означает, что Карру не обязательно быть дома, но если его нет, то должен быть Аллен.
Упрощение до аксиомы 1
[ редактировать ]Применение закона импликации к нарушающим кондиционалам показывает, что вместо того, чтобы противоречить друг другу, они просто повторяют тот факт, что, поскольку магазин открыт, один или несколько из Аллена, Брауна или Карра находятся в нем, а другой накладывает очень мало ограничений на то, кто может, а кто не может. быть в магазине.
Чтобы убедиться в этом, давайте рассмотрим большой «противоречивый» результат Джима, главным образом, неоднократно применяя закон импликации. Сначала давайте разберем одно из двух оскорбительных условий:
|
|
Подставив это в
|
|
Что дает, при дальнейшем применении закона импликации,
|
|
- обратите внимание, что: C ∨ ( (A ∨ B) ∧ (A ∨ ¬B)) можно упростить до C ∨ A
- поскольку ( (A ∨ B) ∧ (A ∨ ¬B)) — это просто A
И наконец, (справа распределяем по скобкам)
|
|
Таким образом, два утверждения, которые одновременно становятся истинными: «Один или несколько из Аллена, Брауна или Карра присутствуют», что является просто Аксиомой 1, и «Карр присутствует, или Аллен присутствует, или Браун отсутствует». Очевидно, что оба этих утверждения могут стать истинными одновременно в случае, когда Аллен находится внутри (поскольку дом Аллена — это парикмахерская, а в какой-то момент Браун покинул парикмахерскую).
Другой способ описать, как (X ⇒ Y) ⇔ (¬X ∨ Y) превращает это в действительный набор утверждений, — это перефразировать утверждение Джима о том, что «Если Аллен тоже отсутствует…» на «Если Карр отсутствует, а Аллен отсутствует». выходит, то Браун входит" ((¬C ∧ ¬A) ⇒ B).
Показаны совместимые условные выражения
[ редактировать ]Эти два кондиционала не являются логическими противоположностями: чтобы доказать от противного, Джиму нужно было показать ¬C ⇒ (Z ∧ ¬Z), где Z оказался кондиционалом.
Противоположностью (A ⇒ B) является ¬(A ⇒ B), которая, используя закон Де Моргана , превращается в (A ∧ ¬B), что совсем не то же самое, что (¬A ∨ ¬B), которое это то, к чему сводится A ⇒ ¬B.
Эту путаницу по поводу «совместимости» этих двух кондиционалов предвидел Кэрролл, который упомянул об этом в конце рассказа. Он пытается прояснить проблему, утверждая, что протазис и аподосис импликации «Если Карр находится в ...» «неправильно разделены». Однако применение Закона импликации полностью удаляет «Если ...» (сводя к дизъюнкции), поэтому протазиса и аподоза не существует и контраргументы не нужны.
См. также
[ редактировать ]Примечания
[ редактировать ]- ^ Кэрролл, Льюис (июль 1894 г.). «Логический парадокс» . Разум . 3 (11): 436–438.
- ^ Jump up to: а б Кэрролл, Льюис (1977). Бартли, Уильям Уоррен (ред.). Символическая логика, части I и II . Харвестер Пресс. ISBN 0855279842 .
Дальнейшее чтение
[ редактировать ]- Рассел, Бертран (1903). «Глава II. Символическая логика». Принципы математики . п. § 19 п. 1. ISBN 0-415-48741-2 . Рассел предлагает функциональное по истине понятие логических кондиционалов , которое (помимо прочего) влечет за собой, что ложное предложение будет подразумевать все предложения. В заметке он упоминает, что его теория импликации разрешит парадокс Кэрролла, поскольку она не только допускает, но фактически требует, чтобы и « p подразумевает q », и « p подразумевает не- q » были истинными, пока p не истинно . .
