Парадокс Паррондо

Парадокс Паррондо , парадокс в теории игр , был описан так: комбинация проигрышных стратегий становится выигрышной стратегией . ^{[ 1 ]} Он назван в честь своего создателя Хуана Паррондо , открывшего парадокс в 1996 году. Более поясняющее описание таково:

Существуют пары игр, каждая из которых имеет более высокую вероятность проигрыша, чем выигрыша, для которых можно построить выигрышную стратегию, играя в игры поочередно.

Паррондо придумал этот парадокс в связи со своим анализом броуновского храповика , мысленного эксперимента о машине, которая якобы может извлекать энергию из случайных тепловых движений, популяризированного физиком Ричардом Фейнманом . Однако парадокс исчезает при тщательном анализе. ^{[ 2 ]} Выигрышные стратегии, состоящие из различных комбинаций проигрышных стратегий, изучались в биологии до публикации парадокса Паррондо. ^{[ 3 ]}

Наглядные примеры

Простой пример

Рассмотрим две игры: Game A и Game B со следующими правилами:

В игре А вы теряете 1 доллар каждый раз, когда играете.
В игре B вы подсчитываете, сколько денег у вас осталось ⁠ ⁠ — если это четное число, вы выигрываете 3 доллара, в противном случае вы теряете 5 долларов.

Допустим, вы начинаете со 100 долларами в кармане. Если вы начнете играть исключительно в Игру А, вы, очевидно, потеряете все свои деньги за 100 раундов. Аналогично, если вы решите играть исключительно в Игру Б, вы также потеряете все свои деньги за 100 раундов.

Однако рассмотрите возможность играть в игры поочередно, начиная с игры Б, затем А, затем Б и так далее (БАБАБА...). Легко увидеть, что вы будете стабильно зарабатывать в общей сложности 2 доллара за каждые две игры.

Таким образом, хотя каждая игра является проигрышной, если играть в нее в одиночку, поскольку на результаты игры Б влияет игра А, последовательность, в которой проводятся игры, может повлиять на то, как часто игра Б приносит вам деньги, и, следовательно, результат будет другим. из случая, когда любая игра ведется сама по себе.

Пример пилообразного зуба

Рассмотрим пример, в котором есть две точки A и B , имеющие одинаковую высоту, как показано на рисунке 1. В первом случае мы имеем соединяющий их плоский профиль. Здесь, если мы оставим несколько круглых шариков в середине, которые случайным образом движутся взад и вперед, они будут катиться случайным образом, но в обоих концах с равной вероятностью. Теперь рассмотрим второй случай, когда между двумя точками имеется пилообразный профиль. Здесь также шарики будут катиться в обе стороны в зависимости от местного уклона. если мы наклоним весь профиль вправо, как показано на рисунке 2, станет совершенно ясно, что оба этих случая будут смещены в сторону B. Теперь ,

Теперь рассмотрим игру, в которой мы чередуем два профиля, разумно выбирая время между чередованием одного профиля на другой.

Когда мы оставляем несколько шариков на первом профиле в точке E , они распределяются по плоскости, демонстрируя преимущественное движение к B. точке Однако, если мы применим второй профиль, когда некоторые шарики пересекли точку C , но ни один не пересек точку D , мы в конечном итоге получим большинство шариков обратно в точку E (откуда мы начали изначально), но некоторые также в долине. к точке А, если у шариков будет достаточно времени, чтобы докатиться до долины. Затем мы снова применяем первый профиль и повторяем шаги (точки C , D и E теперь сдвинуты на один шаг, чтобы относиться к последней долине, ближайшей к A ). Если ни один шарик не пересекает точку C до того, как первый шарик пересечет точку D , мы должны применить второй профиль незадолго до того, как первый шарик пересечет точку D , чтобы начать все сначала.

что в конечном итоге у нас будут шарики в точке А , но не будет ни одного в точке Б. Отсюда легко следует , Следовательно, если мы определим наличие шариков в точке А как победу, а наличие шариков в точке Б как проигрыш, мы явно выиграем, чередуя (в правильно выбранное время) игру в две проигрышные игры.

Пример подбрасывания монеты

Третий пример парадокса Паррондо взят из области азартных игр. Рассмотрим две игры, игру А и игру Б, по следующим правилам. Для удобства определите $C_{t}$ быть нашей столицей в момент времени t , непосредственно перед тем, как мы сыграем в игру.

Победа в игре приносит нам 1 доллар, а проигрыш требует от нас сдать 1 доллар. Отсюда следует, что $C_{t+1}=C_{t}+1$ если мы выиграем на шаге t и $C_{t+1}=C_{t}-1$ если мы проиграем на шаге t .
В игре А мы подбрасываем монету с вероятностью выигрыша, Монету 1. $P_{1}=(1/2)-\epsilon$ , где $\epsilon$ — некоторая небольшая положительная константа. В долгосрочной перспективе это явно проигрышная игра.
В игре B мы сначала определяем, кратен ли наш капитал некоторому целому числу. $M$ . Если да, то мы подбрасываем монету «Монета 2» с вероятностью выигрыша. $P_{2}=(1/10)-\epsilon$ . Если это не так, мы подбрасываем еще одну смещенную монету, монету 3, с вероятностью выигрыша. $P_{3}=(3/4)-\epsilon$ . Роль по модулю $M$ обеспечивает периодичность как в храповых зубьях.

Понятно, что, играя в игру А, мы почти наверняка проиграем в долгосрочной перспективе. Хармер и Эбботт ^{[ 1 ]} показать с помощью моделирования, что если $M=3$ и $\epsilon =0.005,$ Игра Б также почти наверняка проигрышная. Фактически, игра B представляет собой цепь Маркова , и анализ ее матрицы переходов состояний (опять же с M=3) показывает, что устойчивая вероятность использования монеты 2 равна 0,3836, а вероятность использования монеты 3 — 0,6164. ^{[ 4 ]} Поскольку монета 2 выбирается почти в 40% случаев, она оказывает непропорционально большое влияние на выигрыш в игре B и приводит к тому, что игра оказывается проигрышной.

Однако, когда эти две проигрышные игры проводятся в некоторой чередующейся последовательности - например, две игры А, за которыми следуют две игры Б (ААББААББ...), комбинация двух игр, как это ни парадоксально, является выигрышной игрой. Не все чередующиеся последовательности A и B приводят к выигрышу в игре. Например, одна игра A, за которой следует одна игра B (ABABAB...), является проигрышной игрой, а одна игра A, за которой следуют две игры B (ABBABB...), является выигрышной игрой. Этот пример с подбрасыванием монеты стал канонической иллюстрацией парадокса Паррондо: две игры, обе проигрышные, если играть по отдельности, становятся выигрышными, если играть в определенной чередующейся последовательности.

Разрешение парадокса

Очевидный парадокс был объяснен с использованием ряда сложных подходов, включая цепи Маркова, ^{[ 5 ]} мигающие трещотки, ^{[ 6 ]} имитация отжига , ^{[ 7 ]} и теория информации. ^{[ 8 ]} Один из способов объяснить кажущийся парадокс заключается в следующем:

В то время как игра B является проигрышной игрой при распределении вероятностей, которое приводит к $C_{t}$ модуль $M$ когда играется индивидуально( $C_{t}$ модуль $M$ это остаток, когда $C_{t}$ делится на $M$ ), это может быть выигрышная игра при других распределениях, поскольку существует хотя бы одно состояние, в котором ее ожидание положительное.
Поскольку распределение результатов игры B зависит от капитала игрока, эти две игры не могут быть независимыми. Если бы это было так, игра в любой последовательности также привела бы к проигрышу.

Роль $M$ теперь выходит на первый план. Он служит исключительно для создания зависимости между играми А и Б, так что игрок с большей вероятностью войдет в состояния, в которых игра Б имеет положительное ожидание, что позволяет ему преодолеть потери от игры А. При таком понимании парадокс разрешается сам собой. : Отдельные игры проигрышны только при распределении, отличном от того, которое реально встречается при игре в составную игру. Подводя итог, можно сказать, что парадокс Паррондо является примером того, как зависимость может нанести ущерб вероятностным вычислениям, выполненным в рамках наивного предположения о независимости. Более подробное изложение этого вопроса, а также несколько связанных с ним примеров можно найти у Филипса и Фельдмана. ^{[ 9 ]}

Приложения

Парадокс Паррондо широко используется в теории игр и его применении в инженерии, демографической динамике, ^{[ 3 ]} финансовый риск и т. д. являются областями активных исследований. Игры Паррондо не имеют практической пользы, например, для инвестирования в фондовые рынки. ^{[ 10 ]} поскольку оригинальные игры требуют, чтобы выигрыш хотя бы в одной из взаимодействующих игр зависел от капитала игрока. Однако игры не должны ограничиваться своей первоначальной формой, и работа по обобщению этого явления продолжается. Сходство с накачкой волатильности и проблемой двух конвертов ^{[ 11 ]} были указаны. Простые модели доходности ценных бумаг из учебников финансов были использованы для доказательства того, что отдельные инвестиции с отрицательной медианной долгосрочной доходностью могут быть легко объединены в диверсифицированные портфели с положительной медианной долгосрочной доходностью. ^{[ 12 ]} Аналогичным образом, модель, которая часто используется для иллюстрации оптимальных правил ставок, использовалась для доказательства того, что разделение ставок между несколькими играми может превратить отрицательную медианную долгосрочную доходность в положительную. ^{[ 13 ]} В эволюционной биологии как случайные фазовые вариации бактерий ^{[ 14 ]} и эволюция менее точных датчиков ^{[ 15 ]} были смоделированы и объяснены в терминах парадокса. В экологии периодическое чередование некоторых организмов между кочевым и колониальным поведением было предложено как проявление парадокса. ^{[ 16 ]} Было интересное применение в моделировании многоклеточного выживания вследствие парадокса. ^{[ 17 ]} и некоторые интересные дискуссии о целесообразности этого. ^{[ 18 ]}^{[ 19 ]} Приложения парадокса Паррондо можно найти и в теории надежности. ^{[ 20 ]}

Имя

В ранней литературе о парадоксе Паррондо обсуждалось, является ли слово «парадокс» подходящим описанием, учитывая, что эффект Паррондо можно понять в математических терминах. «Парадоксальный» эффект можно математически объяснить с помощью выпуклой линейной комбинации.

Однако Дерек Эбботт , ведущий исследователь этой темы, дает следующий ответ относительно использования слова «парадокс» в этом контексте:

Действительно ли парадокс Паррондо является «парадоксом»? Этот вопрос иногда задают математики, тогда как физики обычно не беспокоятся о таких вещах. Первое, на что следует обратить внимание, это то, что «парадокс Паррондо» — это всего лишь название, точно так же, как « парадокс Брасса » или « парадокс Симпсона ». Во-вторых, как и в случае с большинством названных парадоксов, все они на самом деле являются кажущимися парадоксами. В таких случаях люди опускают слово «очевидно», поскольку оно слишком громкое и в любом случае очевидное. Поэтому никто не утверждает, что это парадоксы в строгом смысле этого слова. В широком смысле парадокс — это просто нечто противоречащее здравому смыслу. Игры Паррондо определенно противоречат здравому смыслу — по крайней мере, до тех пор, пока вы интенсивно не изучите их в течение нескольких месяцев. Правда в том, что мы все еще продолжаем находить новые удивительные вещи, которые нас радуют, исследуя эти игры. Один математик жаловался мне, что игры всегда были для него очевидны, и поэтому нам не следует использовать слово «парадокс». Он либо гений, либо вообще никогда этого не понимал. В любом случае с такими людьми спорить не стоит. ^{[ 21 ]}

См. также

Ссылки

^ Перейти обратно: ^а ^б Хармер, врач общей практики; Эбботт, Д. (1999). «Проигрышные стратегии могут привести к победе благодаря парадоксу Паррондо» . Природа . 402 (6764): 864. дои : 10.1038/47220 . S2CID 41319393 .
^ Шу, Цзянь-Цзюнь; Ван, К.-В. (2014). «За пределами парадокса Паррондо» . Научные отчеты . 4 (4244): 4244. arXiv : 1403.5468 . Бибкод : 2014NatSR...4E4244S . дои : 10.1038/srep04244 . ПМК 5379438 . ПМИД 24577586 .
^ Перейти обратно: ^а ^б Янсен, ВАА; Ёсимура, Дж. (1998). «Популяции могут сохраняться в среде, состоящей только из мест обитания раковин» . Труды Национальной академии наук США . 95 (7): 3696–3698. Бибкод : 1998PNAS...95.3696J . дои : 10.1073/pnas.95.7.3696 . ЧВК 19898 . ПМИД 9520428 . .
^ Д. Минор, «Парадокс Паррондо - надежда для неудачников!», The College Mathematics Journal 34 (1) (2003) 15-20
^ Хармер, врач общей практики; Эбботт, Д. (1999). «Парадокс Паррондо» . Статистическая наука . 14 (2): 206–213. дои : 10.1214/ss/1009212247 .
^ Г. П. Хармер, Д. Эбботт , П. Г. Тейлор и Дж. М. Р. Паррондо , в Proc. 2-й Межд. Конф. Нерешенные проблемы шума и флуктуаций , Д. Эбботт и Л. Б. Киш , ред., Американский институт физики, 2000 г.
^ Хармер, врач общей практики; Эбботт, Д .; Тейлор, П.Г. (2000). «Парадокс игр Паррондо». Труды Лондонского королевского общества А. 456 (1994): 1–13. Бибкод : 2000RSPSA.456..247H . дои : 10.1098/rspa.2000.0516 . S2CID 54202597 .
^ Г.П. Хармер, Д. Эбботт , П.Г. Тейлор, С.Э.М. Пирс и Дж.М.Р. Паррондо, Информационная энтропия и храповик Паррондо в дискретном времени , в Proc. Стохастическая и хаотическая динамика в озерах , Эмблсайд, Великобритания, PVE McClintock , изд., Американский институт физики, 2000 г.
^ Томас К. Филипс и Эндрю Б. Фельдман, Парадокс Паррондо не парадоксальный , Рабочие документы Сети социальных исследований (SSRN), август 2004 г.
^ Айенгар, Р.; Кохли, Р. (2004). «Почему парадокс Паррондо не имеет отношения к теории полезности, покупке акций и возникновению жизни». Сложность . 9 (1): 23–27. дои : 10.1002/cplx.10112 .
^ Победа при проигрыше: новая стратегия решает парадокс «двух конвертов» на Physorg.com
^ Штутцер, Майкл. «Парадокс диверсификации» (PDF) . Проверено 28 августа 2019 г.
^ Штутцер, Майкл. «Простой парадокс Паррондо» (PDF) . Проверено 28 августа 2019 г.
^ Вольф, Дениз М.; Вазирани, Виджай В.; Аркин, Адам П. (21 мая 2005 г.). «Разнообразие во времена невзгод: вероятностные стратегии в играх на выживание микробов». Журнал теоретической биологии . 234 (2): 227–253. Бибкод : 2005JThBi.234..227W . дои : 10.1016/j.jtbi.2004.11.020 . ПМИД 15757681 .
^ Чеонг, Кан Хао; Тан, Цзун Сюань; Се, Нэн-ган; Джонс, Майкл К. (14 октября 2016 г.). «Парадоксальный эволюционный механизм в стохастически меняющейся среде» . Научные отчеты . 6 : 34889. Бибкод : 2016NatSR...634889C . дои : 10.1038/srep34889 . ISSN 2045-2322 . ПМК 5064378 . ПМИД 27739447 .
^ Тан, Цзун Сюань; Чонг, Кан Хао (13 января 2017 г.). «Кочевнические колониальные стратегии жизни обеспечивают парадоксальное выживание и рост, несмотря на разрушение среды обитания» . электронная жизнь . 6 : е21673. дои : 10.7554/eLife.21673 . ISSN 2050-084X . ПМК 5319843 . ПМИД 28084993 .
^ Джонс, Майкл С.; Ко, Цзинь Мин; Чонг, Кан Хао (5 июня 2018 г.). «Многоклеточное выживание как следствие парадокса Паррондо» . Труды Национальной академии наук . 115 (23): Е5258–Е5259. Бибкод : 2018PNAS..115E5258C . дои : 10.1073/pnas.1806485115 . ISSN 0027-8424 . ПМК 6003326 . ПМИД 29752380 .
^ Нельсон, Пол; Мазель, Джоанна (11 мая 2018 г.). «Ответ Чеонгу и др.: Выживание одноклеточных исключает парадокс Паррондо» . Труды Национальной академии наук . 115 (23): Е5260. Бибкод : 2018PNAS..115E5260N . дои : 10.1073/pnas.1806709115 . ISSN 0027-8424 . ПМК 6003321 . ПМИД 29752383 .
^ Чеонг, Кан Хао; Ко, Цзинь Мин; Джонс, Майкл К. (21 февраля 2019 г.). «Играют ли арктические зайцы в игры Паррондо?». Флуктуационные и шумовые буквы . 18 (3): 1971001. Бибкод : 2019FNL....1871001C . дои : 10.1142/S0219477519710019 . ISSN 0219-4775 . S2CID 127161619 .
^ Ди Крещенцо, Антонио (2007). «Парадокс Паррондо в теории надежности» (PDF) . Ученый-математик . 32 (1): 17–22. ^{[ постоянная мертвая ссылка ]}
^ Эбботт, Дерек. «Официальная страница парадокса Паррондо» . Университет Аделаиды. Архивировано из оригинала 21 июня 2018 года.

Дальнейшее чтение

Джон Аллен Паулос , Математик играет на фондовом рынке , Basic Books, 2004 г., ISBN 0-465-05481-1 .
Нил Ф. Джонсон , Пол Джеффрис, Пак Мин Хуэй, Сложность финансового рынка , Oxford University Press, 2003 г., ISBN 0-19-852665-2 .
Нин Чжун и Цзиминь Лю, Технология интеллектуальных агентов: исследования и разработки, World Scientific, 2001 г., ISBN 981-02-4706-0 .
Элька Корутчева и Родольфо Куэрно, Достижения в области конденсированного состояния и статистической физики , Nova Publishers, 2004, ISBN 1-59033-899-5 .
Мария Карла Галавотти , Роберто Скацциери и Патрик Суппес, Рассуждение, рациональность и вероятность , Центр изучения языка и информации, 2008 г., ISBN 1-57586-557-2 .
Дерек Эбботт и Ласло Б. Киш , Нерешенные проблемы шума и флуктуаций , Американский институт физики, 2000 г., ISBN 1-56396-826-6 .
Висарат Ин, Патрик Лонгини и Антонио Паласиос, «Приложения нелинейной динамики: модель и проектирование сложных систем» , Springer, 2009 г., ISBN 3-540-85631-5 .
Марк Мур, Сорана Фрода и Кристиан Леже, Математическая статистика и приложения: Festschrift для Констанс ван Эден , IMS, 2003, ISBN 0-940600-57-9 .
Эрхард Берендс, Пять минут математики: 100 статей из математической колонки газеты Die Welt , Vieweg+Teubner Verlag, 2006, ISBN 3-8348-0082-1 .
Лутц Шиманский-Гейер, Шум в сложных системах и стохастическая динамика , SPIE, 2003, ISBN 0-8194-4974-1 .
Сьюзен Шеннон, Искусственный интеллект и информатика , Nova Science Publishers, 2005 г., ISBN 1-59454-411-5 .
Эрик В. Вайсштейн , Краткая математическая энциклопедия CRC , CRC Press, 2003, ISBN 1-58488-347-2 .
Дэвид Регера, Хосе М.Г. Вилар и Хосе-Мигель Руби, Статистическая механика биосложности , Springer, 1999, ISBN 3-540-66245-6 .
Сергей М. Безруков , Нерешенные проблемы шума и флуктуаций , Springer, 2003, ISBN 0-7354-0127-6 .
Джулиан Чела-Флорес , Тобиас К. Оуэн и Ф. Раулин, Первые шаги в происхождении жизни во Вселенной , Springer, 2001, ISBN 1-4020-0077-4 .
Тёну Пуу и Ирина Сушко , Динамика делового цикла: модели и инструменты , Springer, 2006, ISBN 3-540-32167-5 .
Анджей С. Новак и Кшиштоф Шайовский, Достижения в динамических играх: приложения к экономике, финансам, оптимизации и стохастическому управлению , Биркхойзер, 2005 г., ISBN 0-8176-4362-1 .
Кристель Чандре, Ксавье Леончини и Джордж М. Заславски, Хаос, сложность и перенос: теория и приложения , World Scientific, 2008 г., ISBN 981-281-879-0 .
Ричард А. Эпштейн , Теория азартных игр и статистическая логика (второе издание), Academic Press, 2009 г., ISBN 0-12-374940-9 .
Клиффорд А. Пиковер , Книга математики, Стерлинг, 2009 г., ISBN 1-4027-5796-4 .

Внешние ссылки

JMR Parrondo, парадоксальные игры Паррондо
Статья в новостях природы о парадоксе Паррондо
Парадокс Паррондо — симуляция
Парадокс Паррондо в бесполезном чулане
Парадокс Паррондо в Вольфраме
Онлайн симулятор Паррондо
Парадокс Паррондо в Maplesoft
Оптимальные адаптивные стратегии и Паррондо
Рид, Флойд А. (1 июля 2007 г.). «Двухлокусный эпистаз с сексуально антагонистическим отбором: парадокс генетического Паррондо» . Генетика . 176 (3). Оксфорд: 1923–1929. дои : 10.1534/генетика.106.069997 . ЧВК 1931524 . ПМИД 17483431 . S2CID 28986153 .

[:0-1] Перейти обратно: ^а ^б Хармер, врач общей практики; Эбботт, Д. (1999). «Проигрышные стратегии могут привести к победе благодаря парадоксу Паррондо» . Природа . 402 (6764): 864. дои : 10.1038/47220 . S2CID 41319393 .

[ShuParrondo-2] Шу, Цзянь-Цзюнь; Ван, К.-В. (2014). «За пределами парадокса Паррондо» . Научные отчеты . 4 (4244): 4244. arXiv : 1403.5468 . Бибкод : 2014NatSR...4E4244S . дои : 10.1038/srep04244 . ПМК 5379438 . ПМИД 24577586 .

[jansen1998-3] Перейти обратно: ^а ^б Янсен, ВАА; Ёсимура, Дж. (1998). «Популяции могут сохраняться в среде, состоящей только из мест обитания раковин» . Труды Национальной академии наук США . 95 (7): 3696–3698. Бибкод : 1998PNAS...95.3696J . дои : 10.1073/pnas.95.7.3696 . ЧВК 19898 . ПМИД 9520428 . .

[4] Д. Минор, «Парадокс Паррондо - надежда для неудачников!», The College Mathematics Journal 34 (1) (2003) 15-20

[5] Хармер, врач общей практики; Эбботт, Д. (1999). «Парадокс Паррондо» . Статистическая наука . 14 (2): 206–213. дои : 10.1214/ss/1009212247 .

[6] Г. П. Хармер, Д. Эбботт , П. Г. Тейлор и Дж. М. Р. Паррондо , в Proc. 2-й Межд. Конф. Нерешенные проблемы шума и флуктуаций , Д. Эбботт и Л. Б. Киш , ред., Американский институт физики, 2000 г.

[7] Хармер, врач общей практики; Эбботт, Д .; Тейлор, П.Г. (2000). «Парадокс игр Паррондо». Труды Лондонского королевского общества А. 456 (1994): 1–13. Бибкод : 2000RSPSA.456..247H . дои : 10.1098/rspa.2000.0516 . S2CID 54202597 .

[8] Г.П. Хармер, Д. Эбботт , П.Г. Тейлор, С.Э.М. Пирс и Дж.М.Р. Паррондо, Информационная энтропия и храповик Паррондо в дискретном времени , в Proc. Стохастическая и хаотическая динамика в озерах , Эмблсайд, Великобритания, PVE McClintock , изд., Американский институт физики, 2000 г.

[9] Томас К. Филипс и Эндрю Б. Фельдман, Парадокс Паррондо не парадоксальный , Рабочие документы Сети социальных исследований (SSRN), август 2004 г.

[10] Айенгар, Р.; Кохли, Р. (2004). «Почему парадокс Паррондо не имеет отношения к теории полезности, покупке акций и возникновению жизни». Сложность . 9 (1): 23–27. дои : 10.1002/cplx.10112 .

[11] Победа при проигрыше: новая стратегия решает парадокс «двух конвертов» на Physorg.com

[12] Штутцер, Майкл. «Парадокс диверсификации» (PDF) . Проверено 28 августа 2019 г.

[13] Штутцер, Майкл. «Простой парадокс Паррондо» (PDF) . Проверено 28 августа 2019 г.

[14] Вольф, Дениз М.; Вазирани, Виджай В.; Аркин, Адам П. (21 мая 2005 г.). «Разнообразие во времена невзгод: вероятностные стратегии в играх на выживание микробов». Журнал теоретической биологии . 234 (2): 227–253. Бибкод : 2005JThBi.234..227W . дои : 10.1016/j.jtbi.2004.11.020 . ПМИД 15757681 .

[:1-15] Чеонг, Кан Хао; Тан, Цзун Сюань; Се, Нэн-ган; Джонс, Майкл К. (14 октября 2016 г.). «Парадоксальный эволюционный механизм в стохастически меняющейся среде» . Научные отчеты . 6 : 34889. Бибкод : 2016NatSR...634889C . дои : 10.1038/srep34889 . ISSN 2045-2322 . ПМК 5064378 . ПМИД 27739447 .

[:2-16] Тан, Цзун Сюань; Чонг, Кан Хао (13 января 2017 г.). «Кочевнические колониальные стратегии жизни обеспечивают парадоксальное выживание и рост, несмотря на разрушение среды обитания» . электронная жизнь . 6 : е21673. дои : 10.7554/eLife.21673 . ISSN 2050-084X . ПМК 5319843 . ПМИД 28084993 .

[17] Джонс, Майкл С.; Ко, Цзинь Мин; Чонг, Кан Хао (5 июня 2018 г.). «Многоклеточное выживание как следствие парадокса Паррондо» . Труды Национальной академии наук . 115 (23): Е5258–Е5259. Бибкод : 2018PNAS..115E5258C . дои : 10.1073/pnas.1806485115 . ISSN 0027-8424 . ПМК 6003326 . ПМИД 29752380 .

[18] Нельсон, Пол; Мазель, Джоанна (11 мая 2018 г.). «Ответ Чеонгу и др.: Выживание одноклеточных исключает парадокс Паррондо» . Труды Национальной академии наук . 115 (23): Е5260. Бибкод : 2018PNAS..115E5260N . дои : 10.1073/pnas.1806709115 . ISSN 0027-8424 . ПМК 6003321 . ПМИД 29752383 .

[19] Чеонг, Кан Хао; Ко, Цзинь Мин; Джонс, Майкл К. (21 февраля 2019 г.). «Играют ли арктические зайцы в игры Паррондо?». Флуктуационные и шумовые буквы . 18 (3): 1971001. Бибкод : 2019FNL....1871001C . дои : 10.1142/S0219477519710019 . ISSN 0219-4775 . S2CID 127161619 .

[20] Ди Крещенцо, Антонио (2007). «Парадокс Паррондо в теории надежности» (PDF) . Ученый-математик . 32 (1): 17–22. ^{[ постоянная мертвая ссылка ]}

[21] Эбботт, Дерек. «Официальная страница парадокса Паррондо» . Университет Аделаиды. Архивировано из оригинала 21 июня 2018 года.

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]

[ 6 ]

[ 7 ]

[ 8 ]

[ 9 ]

[ 10 ]

[ 11 ]

[ 12 ]

[ 13 ]

[ 14 ]

[ 15 ]

[ 16 ]

[ 17 ]

[ 18 ]

[ 19 ]

[ 20 ]

[ 21 ]

v т и Известные парадоксы
Philosophical	Analysis Buridan's bridge Dream argument Epicurean Fiction Fitch's knowability Free will Goodman's Hedonism Liberal Meno's Mere addition Moore's Newcomb's Nihilism Omnipotence Preface Rule-following Sorites Theseus' ship White horse Zeno's
Logical	Barber Berry Bhartrhari's Burali-Forti Court Crocodile Curry's Epimenides Free choice paradox Grelling–Nelson Kleene–Rosser Liar Card No-no Pinocchio Quine's Yablo's Opposite Day Paradoxes of set theory Richard's Russell's Socratic Hilbert's Hotel Temperature paradox Barbershop Catch-22 Chicken or the egg Drinker Entailment Lottery Plato's beard Raven Ross's Unexpected hanging "What the Tortoise Said to Achilles" Heat death paradox Olbers's paradox
Economic	Allais Antitrust Arrow information Bertrand Braess's Competition Income and fertility Downs–Thomson Easterlin Edgeworth Ellsberg European Gibson's Giffen good Icarus Jevons Leontief Lerner Lucas Mandeville's Mayfield's Metzler Plenty Productivity Prosperity Scitovsky Service recovery St. Petersburg Thrift Toil Tullock Value
Decision theory	Abilene Apportionment Alabama New states Population Arrow's Buridan's ass Chainstore Condorcet's Decision-making Downs Ellsberg Fenno's Fredkin's Green Hedgehog's Inventor's Kavka's toxin puzzle Morton's fork Navigation Newcomb's Parrondo's Preparedness Prevention Prisoner's dilemma Tolerance Willpower
List Category

v т и Темы теории игр
Definitions	Congestion game Cooperative game Determinacy Escalation of commitment Extensive-form game First-player and second-player win Game complexity Graphical game Hierarchy of beliefs Information set Normal-form game Preference Sequential game Simultaneous game Simultaneous action selection Solved game Succinct game Mechanism design
Equilibrium concepts	Bayes correlated equilibrium Bayesian Nash equilibrium Berge equilibrium Core Correlated equilibrium Coalition-proof Nash equilibrium Epsilon-equilibrium Evolutionarily stable strategy Gibbs equilibrium Mertens-stable equilibrium Markov perfect equilibrium Nash equilibrium Pareto efficiency Perfect Bayesian equilibrium Proper equilibrium Quantal response equilibrium Quasi-perfect equilibrium Risk dominance Satisfaction equilibrium Self-confirming equilibrium Sequential equilibrium Shapley value Strong Nash equilibrium Subgame perfection Trembling hand equilibrium
Strategies	Appeasement Backward induction Bid shading Collusion Cheap talk De-escalation Deterrence Escalation Forward induction Grim trigger Markov strategy Dominant strategies Pure strategy Mixed strategy Strategy-stealing argument Tit for tat
Classes of games	Auction Bargaining problem Global game Intransitive game Mean-field game n-player game Perfect information Large Poisson game Potential game Repeated game Screening game Signaling game Strictly determined game Stochastic game Symmetric game Zero-sum game
Games	Go Chess Infinite chess Checkers All-pay auction Prisoner's dilemma Gift-exchange game Optional prisoner's dilemma Traveler's dilemma Coordination game Chicken Centipede game Lewis signaling game Volunteer's dilemma Dollar auction Battle of the sexes Stag hunt Matching pennies Ultimatum game Electronic mail game Rock paper scissors Pirate game Dictator game Public goods game Blotto game War of attrition El Farol Bar problem Fair division Fair cake-cutting Bertrand competition Cournot competition Stackelberg competition Deadlock Diner's dilemma Guess 2/3 of the average Kuhn poker Nash bargaining game Induction puzzles Trust game Princess and monster game Rendezvous problem
Theorems	Aumann's agreement theorem Folk theorem Minimax theorem Nash's theorem Negamax theorem Purification theorem Revelation principle Sprague–Grundy theorem Zermelo's theorem
Key figures	Albert W. Tucker Amos Tversky Antoine Augustin Cournot Ariel Rubinstein Claude Shannon Daniel Kahneman David K. Levine David M. Kreps Donald B. Gillies Drew Fudenberg Eric Maskin Harold W. Kuhn Herbert Simon Hervé Moulin John Conway Jean Tirole Jean-François Mertens Jennifer Tour Chayes John Harsanyi John Maynard Smith John Nash John von Neumann Kenneth Arrow Kenneth Binmore Leonid Hurwicz Lloyd Shapley Melvin Dresher Merrill M. Flood Olga Bondareva Oskar Morgenstern Paul Milgrom Peyton Young Reinhard Selten Robert Axelrod Robert Aumann Robert B. Wilson Roger Myerson Samuel Bowles Suzanne Scotchmer Thomas Schelling William Vickrey
Search optimizations	Alpha–beta pruning Aspiration window Principal variation search Maxn algorithm Paranoid algorithm Lazy SMP
Miscellaneous	Bounded rationality Combinatorial game theory Confrontation analysis Coopetition Evolutionary game theory Glossary of game theory List of game theorists List of games in game theory No-win situation Topological game Tragedy of the commons