Равновесие Бержа

Равновесие Бержа — это теории игр, концепция решения названная в честь математика Клода Бержа . Оно похоже на стандартное равновесие Нэша , за исключением того, что оно направлено на отражение типа альтруизма, а не чисто некооперативной игры . В то время как равновесие Нэша — это ситуация, в которой каждый игрок в стратегической игре гарантирует, что он лично получит наивысший выигрыш с учетом стратегий других игроков, в равновесии Берджа каждый игрок гарантирует, что все остальные игроки получат максимально возможный выигрыш. Хотя Берге представил интуитивное представление об этом понятии равновесия в 1957 году, формально оно было определено Владиславом Иосифовичем Жуковским только в 1985 году и не получило широкого распространения до тех пор, пока Берге его первоначально не разработал.

История

Равновесие Бержа было впервые введено в книге Клода Берже 1957 года « Общая теория игр n лиц» . Мусса Ларбани и Владислав Иосифович Жуковский пишут, что идеи этой книги не получили широкого распространения в России отчасти из-за резкой рецензии, которую она получила вскоре после перевода на русский язык в 1961 году, и они не были использованы в англоязычном мире, поскольку книга получил только французские и русские издания. Эти объяснения повторяют и другие авторы. с Пьером Куртуа и др. добавив, что влияние книги, вероятно, было ослаблено отсутствием в ней экономических примеров, а также использованием инструментов теории графов , которые были менее знакомы экономистам того времени.

Берге ввел свое первоначальное понятие равновесия только в интуитивных терминах, а первое формальное определение равновесия Берге было опубликовано Владиславом Иосифовичем Жуковским в 1985 году. Тема равновесий Берге была затем подробно изучена Константином Семеновичем Вайсманом в его докторской диссертации 1995 года. Ларбани и Жуковский документально подтверждают, что этот инструмент стал более широко использоваться в середине 2000-х годов, когда экономисты стали интересоваться все более сложными системами, в которых игроки могут быть более склонны искать глобально благоприятное равновесие и придавать ценность выигрышам других игроков. Колман и др. свяжите интерес к равновесию Бержа с интересом к теории кооперативных игр , эволюции кооперации и таким темам, как альтруизм в эволюционной теории игр .

Определение

Формальное определение

Рассмотрим игру нормальной формы. $G=\langle N,S_{i},u_{i}\rangle$, где $N=\{1,2,\ldots ,n\}$ это набор $n$ игроки, $S_{i}$ (непустое) множество стратегий игрока $i$ где $i\in N$, и $u_{i}$ это функция полезности этого игрока. Обозначим профиль стратегии как $s=(s_{1},s_{2},\ldots ,s_{n})\in S$и обозначим неполный профиль стратегии $s_{-i}=(s_{1},s_{2},\ldots ,s_{i-1},s_{i+1},\ldots ,s_{n})$. Профиль стратегии $s^{\ast }\in S$ называется равновесием Бержа, если для любого игрока $i\in N$ и любой $s_{-i}\in S_{-i}$, профиль стратегии удовлетворяет $u_{i}(s_{i}^{\ast },s_{-i})\leq u_{i}(s^{\ast })$.

Неофициальное определение

Игроки в игре соблюдают равновесие Бержа, если они выбрали такой стратегический профиль, что если какой-либо данный игрок $i$ придерживается выбранной стратегии, в то время как некоторые другие игроки меняют свои стратегии, затем игрок $i$выплата не увеличится. Таким образом, каждый игрок в равновесии Берджа гарантирует наилучший возможный выигрыш для каждого другого игрока, который использует свою стратегию равновесия Берджа; это контрастирует с равновесием Нэша, в котором каждый игрок $i$ озабочен только максимизацией собственных выигрышей от своей стратегии, и ни один другой игрок не заботится о выигрыше, полученном игроком. $i$.

Пример

Рассмотрим следующую игру -дилемму заключенного , предложенную Ларбани и Жуковским (2017):

Красный Синий	Сотрудничать	Дефект
Сотрудничать	20 20	25 5
Дефект	5 25	10 10

Результат Берге

Равновесие Бержа в этой игре — это ситуация, в которой оба игрока выбирают «сотрудничать», обозначим это. $(C,C)$. Это равновесие Бержа, поскольку каждый игрок может снизить выигрыш другого игрока только за счет переключения своей стратегии; если какой-либо игрок переключится с «сотрудничать» на «отказ», то он снизит выигрыш другого игрока с 20 до 5, поэтому они должны находиться в равновесии Берджа.

Берге

Прежде всего заметим, что равновесие Бержа $(C,C)$ не является равновесием Нэша, потому что либо игрок в строке, либо игрок в столбце может увеличить свой выигрыш с 20 до 25, переключившись на «отказ» вместо «сотрудничества».

Равновесие Нэша в этой игре с дилеммой заключенного — это ситуация, в которой оба игрока выбирают «дефект», обозначаем его. $(D,D)$. Эта пара стратегий приносит выигрыш 10 игроку строки и 10 игроку столбца, и ни у одного игрока нет одностороннего стимула изменить свою стратегию, чтобы максимизировать свой собственный выигрыш. Однако, $(D,D)$ не является равновесием Бержа, поскольку игрок в ряду может обеспечить более высокий выигрыш для игрока в столбце, переключив стратегию и дав игроку в столбце выигрыш 25 вместо 10, а игрок в столбце может сделать то же самое для игрока в ряду.

Таким образом, кооперативный характер равновесия Бержа позволяет избежать проблемы взаимного отступничества, которая сделала дилемму заключенного печально известным примером возможности того, что рассуждения о равновесии Нэша могут привести к взаимно неоптимальному результату.

Мотивация

Равновесие Берджа было мотивировано как полная противоположность равновесию Нэша, поскольку равновесие Нэша моделирует эгоистичное поведение, равновесие Берджа моделирует альтруистическое поведение. Мусса Ларбани и Владислав Иосифович Жуковский отмечают, что равновесия Берге можно интерпретировать как метод формализации золотого правила в стратегических взаимодействиях.

Одним из преимуществ равновесия Бержа перед равновесием Нэша является то, что результаты Берджа могут более точно согласовываться с результатами, полученными из экспериментальной психологии и экспериментальной экономики . Некоторые авторы отмечают, что игроки, которых просят сыграть в такие игры, как «Дилемма узника» или игра «Ультиматум», в лабораторных сценариях редко достигают результата равновесия Нэша, отчасти потому, что люди в реальных ситуациях часто действительно придают ценность благополучию других, и поэтому Равновесия Берджа иногда могут лучше соответствовать реальному поведению в определенных ситуациях.

Проблема с использованием равновесий Берджа заключается в том, что они не обладают такими сильными свойствами существования, как равновесия Нэша, хотя их существование можно гарантировать, добавив дополнительные условия. Концепция равновесного решения Бержа может также использоваться для игр, которые не удовлетворяют условиям теоремы существования Нэша и не имеют равновесия Нэша, например, некоторые игры с бесконечными множествами стратегий, или в ситуациях, когда равновесие в чистых стратегиях желательно, но все же существуют среди профилей чистой стратегии нет равновесия Нэша.