Война на истощение (игра)

В теории игр война на истощение — это динамичная игра на время, в которой игроки выбирают время, чтобы остановиться, и принципиально обменивают стратегические выгоды от выживания других игроков и реальные затраты, затраченные с течением времени. Ее полной противоположностью является игра на упреждение , в которой игроки выбирают время, чтобы остановиться, и принципиально балансируют между стратегическими издержками, связанными с переживанием других игроков, и реальными выгодами, полученными с течением времени. Модель была первоначально сформулирована Джоном Мейнардом Смитом ; смешанная эволюционно стабильная стратегия (ESS) была определена Бишопом и Каннингсом. Примером может служить второй цены с полной оплатой аукцион , в котором приз достается игроку, предложившему самую высокую ставку, а каждый игрок платит меньшую ставку проигравшего (что делает его полной оплатой аукционом второй цены с и закрытой ставкой ).

Изучение игры

Чтобы увидеть, как работает война на истощение, рассмотрим аукцион с полной оплатой: предположим, что каждый игрок делает ставку на предмет, и тот, кто предложит самую высокую цену, выигрывает ресурс стоимостью V . Каждый игрок платит свою ставку. Другими словами, если игрок делает ставку b , то его выигрыш составит -b , если он проиграет, и Vb , если он выиграет. Наконец, предположим, что если оба игрока предложили одинаковую сумму b , то они разделили стоимость V , каждый из которых получил V /2- b . Наконец, подумайте о ставке b как о времени, и это превратится в войну на истощение, поскольку более высокая ставка обходится дорого, но более высокая ставка выигрывает приз.

Предположение о том, что игроки могут предлагать любое количество ставок, важно для анализа аукциона второй цены с полной оплатой и закрытыми ставками. Ставка может даже превышать стоимость ресурса, за который ведется спор. На первый взгляд это кажется иррациональным: глупо платить за ресурс больше, чем его ценность; однако помните, что каждый участник торгов платит только самую низкую ставку. Таким образом, кажется, что в интересах каждого игрока предложить максимально возможную сумму, а не сумму, равную или меньшую стоимости ресурса.

Однако есть одна загвоздка; если оба игрока сделают ставку выше, чем V , тот, кто предложит более высокую цену, не столько выиграет, сколько проиграет меньше. Игрок, предложивший меньшее значение b, теряет b , а тот, кто предложил больше, теряет b - V (где в этом сценарии b>V). Эту ситуацию обычно называют пирровой победой . При ничьей, такой что b > V /2, они оба проигрывают b - V /2. Люси и Райффа назвали последнюю ситуацию «разрушительной ситуацией»; оба игрока страдают, и победителя нет.

Вывод, который можно сделать из этой псевдоматрицы, заключается в том, что не существует ценности предложения, которая была бы выгодна во всех случаях, поэтому не существует доминирующей стратегии . существует множество асимметричных слабых равновесий Нэша Однако в чистых стратегиях . Например, любой игрок может принять любую b ≥ V. ставку Лучший ответ для другого игрока — сделать нулевую ставку, поскольку нет ставки, с помощью которой он мог бы выиграть приз и получить положительный выигрыш. Игрок с положительной ставкой в ​​равновесии ничего не платит. Таким образом, у них нет стимула предлагать меньше. Это равновесие является совершенным по подыграм .

существует и Симметричное равновесие в смешанных стратегиях .

Нэша

Другая популярная формулировка войны на истощение такова: в споре участвуют два игрока. Ценность объекта для каждого игрока равна $v_{i}>0$. Время моделируется как непрерывная переменная, которая начинается с нуля и продолжается бесконечно. Каждый игрок выбирает, когда передать объект другому игроку. В случае ничьей каждый игрок получает $v_{i}/2$ полезность. Время ценно, каждый игрок использует одну единицу полезности за период времени. Эта формулировка немного сложнее, поскольку она позволяет каждому игроку присвоить объекту разное значение. Мы предполагаем, что оба игрока знают оценку другого игрока. Таким образом, игра является полноценной информационной игрой.

Уникальное симметричное равновесие Нэша определяется следующей функцией выживания для t :

$S_{i}(x)=e^{(-x/V_{j})}$

Значение $S_{i}(x)$, для игрока i , чей оппонент оценивает ресурс в $V_{j}$ с течением времени t — это вероятность того, что t ≥ x . Эта стратегия не гарантирует победу ни одному из игроков. Скорее, это оптимальная стратегия, учитывая, что ваш оппонент также использует стратегию той же формы. Обратите внимание, что если $V_{1}>V_{2}$,

$S_{1}(x)=e^{(-x/V_{2})}<e^{(-x/V_{1})}=S_{2}(x)$

Таким образом, игрок с меньшим значением сохраняется дольше, чем игрок с более высоким значением. Это означает, что игрок с меньшим значением имеет более высокую вероятность победы в войне. Обратите внимание, что не существует x такого, что функция выживания равна нулю. Итак, распределение ставок имеет полную поддержку. Более того, оба игрока получают нулевой ожидаемый выигрыш, поскольку их выигрыш равен нулю при t = 0 , а их ожидаемый выигрыш должен быть равным при каждом значении t .

и эволюционно

Уникальная эволюционно стабильная стратегия совпадает с симметричным равновесием Нэша. Это следует из того факта, что любая ESS должна быть равновесием Нэша и что никакое чистое время персистентности не может быть ESS. То, что чистое время персистентности не является ESS, можно продемонстрировать, просто рассмотрев предполагаемую ставку ESS, равную x , которая будет превзойдена ставкой x+. $\delta$.

Также было показано, что даже если люди могут использовать только чистые стратегии, среднее по времени значение стратегии всех людей точно сходится к рассчитанному ESS. В такой обстановке можно наблюдать циклическое поведение конкурирующих особей.

См. также

• Эволюционная теория игр
• Теорема Бишопа-Каннингса
• Модель переговоров Рубинштейна
• Игра «Ястреб-голубь»
• Долларовый аукцион
• Война на истощение