Парето-эффективность

В экономике благосостояния улучшение по Парето формализует идею о том, что результат «лучший во всех возможных отношениях». Изменение называется улучшением по Парето, если оно делает всех членов общества более обеспеченными (или, по крайней мере, такими же обеспеченными, как и раньше). Ситуация называется эффективной по Парето или оптимальной по Парето, если все возможные улучшения по Парето уже сделаны; другими словами, больше не осталось способов улучшить благосостояние одного человека, если только мы не захотим ухудшить положение другого человека.

В теории социального выбора ту же концепцию иногда называют принципом единогласия , который гласит, что если каждый в обществе ( нестрого ) предпочитает А перед Б, то общество в целом также нестрого предпочитает А перед Б.

Фронт Парето состоит из всех ситуаций, эффективных по Парето.

В дополнение к контексту эффективности распределения , концепция эффективности по Парето также возникает в контексте эффективности производства в сравнении с x-неэффективностью : набор выпускаемых товаров является Парето-эффективным, если нет осуществимого перераспределения производительных ресурсов. такие факторы производства, что выпуск одного продукта увеличивается, в то время как выпуск всех других товаров либо увеличивается, либо остается прежним.

Помимо экономики, понятие эффективности Парето также применялось для выбора альтернатив в технике и биологии . Каждый вариант сначала оценивается по множеству критериев, а затем определяется подмножество вариантов со свойством, согласно которому ни один другой вариант не может категорически превзойти указанный вариант. Это утверждение о невозможности улучшения одной переменной без ущерба для других переменных в рамках многокритериальной оптимизации (также называемой оптимизацией Парето ).

История

Концепция названа в честь Вильфредо Парето (1848–1923), итальянского инженера-строителя и экономиста , который использовал эту концепцию в своих исследованиях экономической эффективности и распределения доходов .

Первоначально Парето использовал слово «оптимальный» для обозначения этой концепции, но это в некоторой степени неправильное употребление : концепция Парето более тесно связана с идеей «эффективности», поскольку она не определяет ни одного «лучшего» (оптимального) результата. Вместо этого он определяет только набор результатов, которые может считать оптимальными. хотя бы один человек

Обзор

Формально государство называется Парето-оптимальным, если не существует альтернативного состояния, в котором благосостояние хотя бы одного участника выше, а благосостояние никого другого не ниже. Если происходит изменение состояния, удовлетворяющее этому условию, новое состояние называется «улучшением Парето». Когда улучшения по Парето невозможны, состояние является «оптимумом Парето».

Другими словами, эффективность по Парето – это когда невозможно улучшить благосостояние одной стороны, не ухудшив при этом положение другой. Это состояние указывает на то, что ресурсы больше не могут распределяться таким образом, чтобы улучшить положение одной стороны, не причиняя вреда другим сторонам. В состоянии эффективности по Парето ресурсы распределяются наиболее эффективным способом.

Эффективность по Парето математически представляется, когда не существует другого профиля стратегии s', такого, что u _i (s') ≥ u _i (s) для каждого игрока i и u _j (s') > u _j (s) для некоторого игрока j . В этом уравнении s представляет собой профиль стратегии, u представляет полезность или выгоду, а j представляет игрока.

Эффективность — важный критерий оценки поведения в игре. В известной и часто анализируемой игре, известной как «Дилемма узника» , изображенной ниже как игра нормальной формы , можно наблюдать эту концепцию эффективности, поскольку профиль стратегии ( Cooperate , Cooperate ) более эффективен, чем ( Defect , Defect ).

Игра «Дилемма заключенного»

	Сотрудничать	Дефект
Сотрудничать	2, 2	0, 3
Дефект	3, 0	1, 1

Используя приведенное выше определение, u(C _i ) ≥ u(D _i ) для i ∈ {1, 2}, что дает эту стратегию как эффективную по Парето стратегию. Другими словами, оба игрока получают увеличение выигрыша, выбрав «Сотрудничество» вместо «Отказ» .

В играх с нулевой суммой каждый исход эффективен по Парето.

Особым случаем государства является распределение ресурсов. Формальное представление этой концепции в экономике следующее: Рассмотрим экономику с $n$ агенты и $k$ товары. Затем распределение $\{x_{1},\dots ,x_{n}\}$, где $x_{i}\in \mathbb {R} ^{k}$ для всех i является оптимальным по Парето, если нет другого возможного распределения $\{x_{1}',\dots ,x_{n}'\}$ где для функции полезности $u_{i}$ за каждого агента $i$, $u_{i}(x_{i}')\geq u_{i}(x_{i})$ для всех $i\in \{1,\dots ,n\}$ с $u_{i}(x_{i}')>u_{i}(x_{i})$ для некоторых $i$. Здесь, в этой простой экономике, «осуществимость» относится к распределению, при котором общая сумма каждого распределяемого товара не превышает общую сумму блага в экономике. В более сложной экономике с производством распределение будет состоять как из векторов потребления , так и из векторов производства, и осуществимость потребует, чтобы общее количество каждого потребляемого товара не превышало первоначальный запас плюс произведенное количество.

Согласно предположениям первой теоремы благосостояния , конкурентный рынок приводит к результату, эффективному по Парето. Этот результат был впервые математически продемонстрирован экономистами Кеннетом Эрроу и Жераром Дебре . Однако результат справедлив только при предположениях теоремы: рынки существуют для всех возможных товаров, внешние эффекты отсутствуют , рынки совершенно конкурентны, а участники рынка обладают совершенной информацией .

, в отсутствие совершенной информации или целостных рынков результаты обычно будут неэффективными по Парето Согласно теореме Гринвальда-Стиглица .

Вторая теорема о благосостоянии по существу является противоположностью первой теоремы о благосостоянии. Он утверждает, что при аналогичных идеальных предположениях любой оптимум Парето может быть получен с помощью некоторого конкурентного равновесия или системы свободного рынка , хотя он также может потребовать единовременной передачи богатства.

рынка

Неэффективное распределение ресурсов на свободном рынке известно как провал рынка. Учитывая, что есть возможности для улучшения, провал рынка подразумевает неэффективность по Парето.

Например, чрезмерное употребление негативных товаров (таких как наркотики и сигареты) приводит к расходам для некурящих, а также к ранней смертности среди курильщиков. Налоги на сигареты могут помочь людям бросить курить, а также собрать деньги для лечения заболеваний, вызванных курением.

эффективность и

Можно увидеть улучшение по Парето, но это не всегда означает, что результат желателен или справедлив. После улучшения по Парето неравенство все еще может существовать. Однако это подразумевает, что любое изменение нарушит принцип «не навреди», поскольку по крайней мере одному человеку станет хуже.

Общество может быть эффективным по Парето, но иметь значительный уровень неравенства. Наиболее справедливым решением было бы разделить пирог на три равные части, если бы было три человека и один пирог. Третий человек не проигрывает (даже если он не участвует в пироге), поэтому разделение его пополам и раздача двум людям будет считаться эффективным по Парето.

На границе производственных возможностей достигается эффективность по Парето. Невозможно увеличить выпуск продукции без снижения выпуска услуг, когда экономика функционирует на границе базового производственного потенциала, например, в точках A, B или C.

Порядок Парето

Если несколько подцелей $f_{i}$ (с $i>1$) существуют, объединенные в векторную целевую функцию ${\vec {f}}=(f_{1},\dots f_{n})^{T}$, как правило, поиск единственного оптимума ${\vec {x}}^{*}$ становится сложной задачей. Это связано с отсутствием отношения полного порядка для $n>1$. В этом случае различные решения могут оказаться «несравнимыми». поскольку нет отношения полного порядка для облегчения сравнения ${\vec {f}}({\vec {x}}^{*})\geq {\vec {f}}({\vec {x}})$. Применим только порядок Парето:

Рассмотрим векторную задачу минимизации: ${\vec {y}}^{(1)}\in \mathbb {R} ^{n}$ Парето доминирует ${\vec {y}}^{(2)}\in \mathbb {R} ^{n}$ тогда и только тогда, когда:  : $\forall i\in {1,\dots m}:{\vec {y}}_{i}^{(1)}\leq {\vec {y}}_{i}^{(2)}$ и $\exists j\in {1,\dots m}:{\vec {y}}_{j}^{(1)}<{\vec {y}}_{j}^{(2)}.$ Затем мы пишем ${\vec {y}}^{(1)}\prec {\vec {y}}^{(2)}$, где $\prec$ это порядок Парето. Это означает, что ${\vec {y}}^{(1)}$ не хуже, чем ${\vec {y}}^{(2)}$ в любой цели, но лучше (поскольку меньше) хотя бы в одной цели $j$. Порядок Парето — это строгий частичный порядок , хотя он не является порядком продуктов (ни нестрогим, ни строгим).

Если ${\vec {f}}({\vec {x}}_{1})\prec {\vec {f}}({\vec {x}}_{2})$, то это определяет предварительный порядок в пространстве поиска, и мы говорим ${\vec {x}}_{1}$ Парето доминирует над альтернативой ${\vec {x}}_{2}$ и мы пишем ${\vec {x}}_{1}\prec _{\vec {f}}{\vec {x}}_{2}$.

${\vec {f}}(x)$ доминирует ${\vec {f}}(y)$ в порядке Парето (который стремится минимизировать цели $f_{1}$ и $f_{2}$)

${\vec {f}}(x)$ не доминирует ${\vec {f}}(y)$ в порядке Парето и ${\vec {f}}(y)$ не доминирует ${\vec {f}}(x)$ в порядке Парето (который стремится минимизировать цели $f_{1}$ и $f_{2}$)

Варианты

Слабая

Слабая эффективность по Парето — это ситуация, которую невозможно улучшить строго для каждого человека.

Формально сильное улучшение по Парето определяется как ситуация, в которой все агенты становятся строго более обеспеченными (в отличие от простого «улучшения по Парето», которое требует, чтобы один агент был строго более обеспеченным, а другие агенты были, по крайней мере, такими же хорошими). . Ситуация является слабой Парето-эффективной, если она не имеет сильных улучшений по Парето.

Любое сильное улучшение по Парето также является слабым улучшением по Парето. Обратное неверно; например, рассмотрим задачу распределения ресурсов с двумя ресурсами, которые Алиса оценивает как {10, 0}, а Джордж — как {5, 5}. Рассмотрим распределение, отдающее все ресурсы Алисе, где профиль полезности равен (10, 0):

• Это слабый РО, поскольку никакое другое распределение не является строго лучшим для обоих агентов (нет сильных улучшений по Парето).
• Но это не сильное ПО, поскольку распределение, при котором Джордж получает второй ресурс, строго лучше для Джорджа и немного лучше для Алисы (это слабое улучшение по Парето) – его профиль полезности равен (10, 5).

Рынку не требуется локальное ненасыщение , чтобы достичь слабого оптимума Парето.

эффективность

Ограниченная эффективность по Парето — это ослабление оптимальности по Парето, объясняющее тот факт, что потенциальный планировщик (например, правительство) может оказаться не в состоянии улучшить результат децентрализованного рынка, даже если этот результат неэффективен. Это произойдет, если оно будет ограничено теми же информационными или институциональными ограничениями, что и отдельные агенты.

Примером может служить ситуация, когда люди обладают частной информацией (например, рынок труда, где собственная производительность работника известна работнику, но не потенциальному работодателю, или рынок подержанных автомобилей, где качество автомобиля известно продавцу, а не покупателю), что приводит к моральному риску или неблагоприятному выбору и неоптимальному результату. В таком случае планировщик, желающий улучшить ситуацию, вряд ли будет иметь доступ к какой-либо информации, которой нет у участников рынков. Следовательно, планировщик не может реализовать правила распределения, основанные на индивидуальных характеристиках людей; например, «если человек принадлежит к типу A , он платит цену p ₁ , но если человек принадлежит к типу B , он платит цену p ₂ » (см. цены Линдаля ). По сути, разрешены только анонимные правила (типа «Каждый платит цену p ») или правила, основанные на наблюдаемом поведении; «Если какой-либо человек выберет x по цене p _x , то он получит субсидию в размере десяти долларов и ничего больше». Если не существует разрешенного правила, которое могло бы успешно улучшить результат рынка, то этот результат называется «ограниченно оптимальным по Парето».

Дробная

Основная статья: Дробная эффективность Парето

Дробная эффективность Парето — это усиление эффективности Парето в контексте справедливого распределения статей . Распределение неделимых элементов является частично эффективным по Парето (fPE или fPO), если в нем не доминирует Парето даже при распределении, при котором некоторые элементы разделены между агентами. Это контрастирует со стандартной эффективностью Парето, которая учитывает только доминирование за счет возможных (дискретных) распределений.

В качестве примера рассмотрим задачу распределения элементов с двумя элементами, которые Алиса оценивает как {3, 2}, а Джордж — как {4, 1}. Рассмотрим распределение, передающее первый элемент Алисе, а второй Джорджу, где профиль полезности равен (3, 1):

• Это эффективно по Парето, поскольку любое другое дискретное распределение (без разделения элементов) ухудшает положение кого-либо.
• Однако он не является дробно-эффективным по Парето, поскольку в нем преобладает Парето распределение, дающее Алисе 1/2 первого предмета и весь второй предмет, а другую 1/2 первого предмета Джорджу – его полезность. профиль (3.5, 2).

Экс-анте

Когда процесс принятия решений является случайным, например, при справедливом случайном назначении , случайном социальном выборе или голосовании за дробное одобрение , существует разница между эффективностью Парето ex post и ex ante :

• Эффективность по Парето ex-post означает, что любой результат случайного процесса эффективен по Парето.
• Экс-анте эффективность по Парето означает, что лотерея, определяемая этим процессом, эффективна по Парето в отношении ожидаемой полезности. То есть ни одна другая лотерея не обеспечивает более высокую ожидаемую полезность для одного агента и, по крайней мере, столь же высокую ожидаемую полезность для всех агентов.

Если какая-то лотерея L является PE ex-ante, то она также является PE ex-post. Доказательство постфактум : предположим, что один из результатов x для L доминируется по Парето некоторым другим результатом y . Затем, перемещая некоторую вероятностную массу от x к y , можно получить еще одну лотерею L ' , которая ex-ante Парето доминирует над L' .

Обратное неверно: прогнозируемая PE сильнее, чем фактическая PE. Например, предположим, что есть два объекта — машина и дом. Алиса оценивает машину в 2, а дом в 3; Джордж оценивает машину в 2, а дом в 9. Рассмотрим следующие две лотереи:

1. С вероятностью 1/2 отдайте машину Алисе, а дом Джорджу; в противном случае отдайте машину Джорджу, а дом Алисе. Ожидаемая полезность равна (2/2 + 3/2) = 2,5 для Алисы и (2/2 + 9/2) = 5,5 для Джорджа. Оба распределения производятся ex-post PE, поскольку невозможно улучшить благосостояние того, кто получил машину, не причинив вреда тому, кто получил дом.
2. С вероятностью 1 отдайте Алисе машину, затем с вероятностью 1/3 отдайте Алисе дом, иначе отдайте его Джорджу. Ожидаемая полезность равна (2 + 3/3) = 3 для Алисы и (9 × 2/3) = 6 для Джорджа. Опять же, оба распределения производятся по факту.

Хотя обе лотереи являются ex-post PE, лотерея 1 не является ex-ante PE, поскольку в ней доминирует Парето лотерея 2.

Другой пример касается дихотомических предпочтений . Есть 5 возможных исходов ( a , b , c , d , e ) и 6 избирателей. Наборы одобрения избирателей: ( ac , ad , ae , bc , bd , be ) . Все пять исходов являются PE, поэтому каждая лотерея является PE постфактум. Но лотерея, в которой выбираются c , d , e с вероятностью 1/3 каждого, не является ожидаемым PE, поскольку она дает ожидаемую полезность 1/3 каждому избирателю, в то время как лотерея, в которой выбирают a , b с вероятностью 1/2 каждый, дает ожидаемая полезность 1/2 для каждого избирателя.

эффективность

Основная статья: Байесовская эффективность

Байесовская эффективность — это адаптация эффективности Парето к условиям, в которых игроки имеют неполную информацию о типах других игроков.

эффективность

Основная статья: Порядковая эффективность Парето

Порядковая эффективность Парето — это адаптация эффективности Парето к условиям, в которых игроки сообщают только о рейтингах отдельных элементов, и мы не знаем наверняка, как они ранжируют целые пакеты.

эффективность и

Хотя результатом может быть улучшение по Парето, это не означает, что результат является справедливым. Вполне возможно, что неравенство сохранится даже после улучшения по Парето. Несмотря на то, что термин «эффективность» часто используется в сочетании с идеей оптимальности по Парето, он относится к процессу повышения общественной продуктивности. Общество может обладать эффективностью по Парето и при этом иметь высокий уровень неравенства. Рассмотрим следующий сценарий: есть пирог и три человека; наиболее справедливым способом было бы разделить пирог на три равные части. Однако если пирог разделен пополам и разделен между двумя людьми, это считается эффективным по Парето – это означает, что третий человек не проигрывает (несмотря на то, что он не получает кусок пирога). При вынесении суждений крайне важно учитывать различные аспекты, включая социальную эффективность, общее благосостояние и такие вопросы, как уменьшение предельной стоимости.

рынка

Чтобы полностью понять провал рынка, необходимо сначала понять рыночный успех, который определяется как способность набора идеализированных конкурентных рынков достигать равновесного распределения ресурсов, оптимального по Парето с точки зрения распределения ресурсов. Согласно определению провала рынка, это обстоятельство, при котором вывод первой фундаментальной теоремы благосостояния ошибочен; то есть, когда распределение средств через рынки неэффективно. На свободном рынке провал рынка определяется как неэффективное распределение ресурсов. Поскольку улучшение возможно, провал рынка подразумевает неэффективность по Парето. Например, чрезмерное потребление обесценивающихся товаров (наркотики/табак) приводит к внешним издержкам для некурящих, а также к преждевременной смерти курильщиков, которые не бросают курить. Повышение цен на сигареты может побудить людей бросить курить, а также собрать средства на лечение заболеваний, связанных с курением.

эффективность

При некотором ε > 0 результат называется ε -Парето-эффективным , если никакой другой результат не дает всем агентам хотя бы одинаковую полезность, а одному агенту полезность как минимум (1 + ε ) выше. Это отражает идею о том, что улучшения, меньшие, чем (1 + ε ), незначительны и не должны рассматриваться как нарушение эффективности.

благосостояния

См. Также: Парето-эффективное деление без зависти.

Предположим, что каждому агенту i присвоен положительный вес a _i . Для каждого распределения x определите благосостояние x в как взвешенную сумму полезностей всех агентов x :

$W_{a}(x):=\sum _{i=1}^{n}a_{i}u_{i}(x).$

Пусть x _a будет распределением, которое максимизирует благосостояние по всем распределениям:

$x_{a}\in \arg \max _{x}W_{a}(x).$

Легко показать, что распределение x _a является эффективным по Парето: поскольку все веса положительны, любое улучшение по Парето приведет к увеличению суммы, что противоречит определению x _a .

Японский - неовальрасианец экономист Такаси Негиши доказал что при определенных предположениях верно и обратное: для каждого эффективного по Парето распределения x существует положительный вектор a такой, что x максимизирует W _a . Более короткое доказательство предоставлено Хэлом Варианом .

Использование в технике

Понятие эффективности Парето использовалось в технике. Учитывая набор вариантов и способ их оценки, фронт Парето (или множество Парето или граница Парето ) представляет собой набор вариантов, эффективных по Парето. Ограничивая внимание набором вариантов, эффективных по Парето, дизайнер может пойти на компромисс внутри этого набора, вместо того, чтобы рассматривать полный диапазон каждого параметра.

Использование в государственной политике

Современная микроэкономическая теория в качестве вдохновения во многом опирается на концепцию эффективности по Парето. Парето и его последователи были склонны описывать это техническое определение оптимального распределения ресурсов в контексте равновесия, которое теоретически может быть достигнуто в рамках абстрактной модели рыночной конкуренции. Поэтому ее очень часто рассматривают как подтверждение » Адама Смита идеи « невидимой руки . В частности, это послужило мотивом дебатов о « рыночном социализме » в 1930-х годах.

Однако, поскольку эффективный по Парето результат трудно оценить в реальном мире, когда возникают такие проблемы, как асимметричная информация, сигнализация, неблагоприятный отбор и моральный риск, большинство людей не воспринимают теоремы экономики благосостояния как точное описание реального мира. . Таким образом, значение двух экономических теорем о благосостоянии заключается в их способности создать структуру, которая доминировала в неоклассическом мышлении о государственной политике. Эта основа заключается в том, что теоремы экономики благосостояния позволяют изучать политическую экономию в следующих двух ситуациях: «провал рынка» и «проблема перераспределения».

Анализ «провалов рынка» можно понять, изучая литературу, посвященную внешним эффектам. При сравнении «реальной» экономики с полной условной рыночной экономикой (которая считается эффективной) неэффективность становится очевидной. Эту неэффективность или внешние эффекты затем можно устранить с помощью механизмов, включая права собственности и корректирующие налоги.

Анализ «проблемы с перераспределением» касается наблюдаемого политического вопроса о том, как следует использовать подоходный или товарный налоги. Теорема говорит нам, что никакое налогообложение не является эффективным по Парето, а налогообложение с перераспределением неэффективно по Парето. По этой причине большая часть литературы сосредоточена на поиске решений, когда при наличии налоговой структуры, как налоговая структура может предписывать ситуацию, когда ни один человек не может улучшить свое благосостояние за счет изменения доступных налогов.

Использование в биологии

Оптимизация Парето также изучалась в биологических процессах. Было показано, что у бактерий гены либо недороги в производстве (эффективны с точки зрения ресурсов), либо их легче читать ( эффективны при трансляции ). Естественный отбор подталкивает высокоэкспрессированные гены к границе Парето по использованию ресурсов и эффективности трансляции. Также было показано, что гены вблизи границы Парето развиваются медленнее (что указывает на то, что они обеспечивают селективное преимущество).

Распространенные заблуждения

Было бы неправильно рассматривать эффективность Парето как эквивалент социальной оптимизации. поскольку последнее является нормативной концепцией, а это вопрос интерпретации, которая обычно учитывает последствия степени неравенства распределения. Примером может служить интерпретация того, что один школьный округ с низкими доходами от налога на недвижимость по сравнению с другим с гораздо более высокими доходами, является признаком того, что более равномерное распределение происходит с помощью государственного перераспределения.

Критика

Некоторые комментаторы оспаривают, что эффективность Парето потенциально может служить идеологическим инструментом. Поскольку это подразумевает, что капитализм саморегулируется, вполне вероятно, что встроенные структурные проблемы, такие как безработица, будут рассматриваться как отклонение от равновесия или нормы и, таким образом, игнорироваться или не приниматься во внимание.

Эффективность по Парето не требует абсолютно справедливого распределения богатства, что является еще одним аспектом, вызывающим критику. Экономика, в которой немногие богатые владеют подавляющим большинством ресурсов, может быть эффективной по Парето. Простой пример — раздача пирога между тремя людьми. Наиболее справедливое распределение предусматривало бы выделение одной трети на каждого человека. Однако выделение, скажем, половины раздела каждому из двух индивидуумов и ни одной — третьему также является оптимальным по Парето, несмотря на то, что оно не является справедливым, поскольку ни один из получателей не может улучшить свое благосостояние без уменьшения чьей-либо доли; и есть много других подобных примеров распространения. Примером неэффективного по Парето распределения пирога может быть распределение четверти пирога каждому из троих, а остаток отбрасывается.

Либеральный парадокс, разработанный Амартией Сеном, показывает, что, когда у людей есть предпочтения относительно того, что делают другие, цель эффективности по Парето может вступить в конфликт с целью индивидуальной свободы.

Наконец, предполагается, что эффективность по Парето в некоторой степени препятствует обсуждению других возможных критериев эффективности. Как утверждает профессор Уортонской школы Бен Локвуд, одна из возможных причин заключается в том, что любые другие критерии эффективности, установленные в неоклассической области, в конце концов сведутся к эффективности по Парето.

См. также

• Допустимое решающее правило , аналог в теории принятия решений.
• Теорема невозможности Эрроу
• Байесова эффективность
• Фундаментальные теоремы экономики благосостояния
• Безвозвратные потери
• Экономическая эффективность
• Высшее и лучшее использование
• Эффективность Калдора – Хикса
• Предельная полезность
• Несостоятельность рынка , когда результат рынка не является оптимальным по Парето.
• Максимальный элемент , понятие в теории порядка
• Максимумы множества точек
• Многокритериальная оптимизация
• Равновесие Нэша
• Парето-эффективное деление без зависти
• Социальный выбор и индивидуальные ценности для «(слабого) принципа Парето»
• ТОТРЕП
• Экономика благосостояния

Ссылки

Парето, В. (1906). Руководство по политической экономии. Издательство Оксфордского университета. https://global.oup.com/academic/product/manual-of-politic-economy-9780199607952?cc=ca&lang=en& .

Дальнейшее чтение

• Фуденберг, Дрю ; Тироль, Жан (1991). Теория игр . Кембридж, Массачусетс: MIT Press . стр. 18–23 . ISBN  9780262061414 . Предварительный просмотр книги.
• Бендор, Джонатан; Мукерджи, Дилип (апрель 2008 г.). «Коммунитарные и универсалистские нормы». Ежеквартальный журнал политической науки . 3 (1): 33–61. дои : 10.1561/100.00007028 .
• Канбур, Рави (январь – июнь 2005 г.). «Месть Парето» (PDF) . Журнал социального и экономического развития . 7 (1): 1–11.
• Нг, Ю-Кван (2004). Экономика благосостояния в направлении более полного анализа . Бейзингсток, Хэмпшир, Нью-Йорк: Пэлгрейв Макмиллан. ISBN  9780333971215 .
• Рубинштейн, Ариэль ; Осборн, Мартин Дж. (1994), «Введение», Рубинштейн, Ариэль ; Осборн, Мартин Дж. (ред.), Курс теории игр , Кембридж, Массачусетс: MIT Press, стр. 6–7, ISBN.  9780262650403 Предварительный просмотр книги.
• Матур, Виджай К. (весна 1991 г.). «Насколько хорошо мы знаем оптимальность по Парето?». Журнал экономического образования . 22 (2): 172–178. дои : 10.2307/1182422 . JSTOR   1182422 .
• Ньюбери, Дэвид М.Г .; Стиглиц, Джозеф Э. (январь 1984 г.). «Низшая по Парето торговля». Обзор экономических исследований . 51 (1): 1–12. дои : 10.2307/2297701 . JSTOR   2297701 .