Байесовское коррелированное равновесие

Байесовское коррелированное равновесие
Концепция решения в теории игр
Отношение
Суперсет	Коррелированное равновесие , байесовское равновесие Нэша
Значение
Предложено	Дирк Бергеманн , Стивен Моррис

В теории игр байесовское коррелированное равновесие является концепцией решения для статических игр с неполной информацией . Это одновременно обобщение концепции идеального информационного решения коррелированного равновесия на байесовские игры, а также более широкая концепция решения, чем обычное байесовское равновесие Нэша . Кроме того, его можно рассматривать как обобщенное многопользовательское решение байесовской проблемы дизайна информации для убеждения .

Интуитивно, байесовское коррелированное равновесие позволяет игрокам коррелировать свои действия таким образом, чтобы ни у одного игрока не было стимула отклоняться для каждого возможного типа, который у них может быть. Впервые его предложили Дирк Бергеманн и Стивен Моррис .

Формальное определение

Предварительные сведения

Позволять $I$ быть набором игроков, и $\Theta$ совокупность возможных состояний мира. Игра кортеж определяется как $G=\langle (A_{i},u_{i})_{i\in I},\Theta ,\psi \rangle$, где $A_{i}$ – это набор возможных действий (с $A=\prod _{i\in I}A_{i}$) и $u_{i}:A\times \Theta \rightarrow \mathbb {R}$ – функция полезности для каждого игрока, и $\psi \in \Delta _{++}(\Theta )$ является полной поддержкой общего приора над государствами мира.

Информационная структура определяется как кортеж $S=\langle (T_{i})_{i\in I},\pi \rangle$, где $T_{i}$ — это набор возможных сигналов (или типов), которые может получить каждый игрок (с $T=\prod _{i\in I}T_{i}$), и $\pi :\Theta \rightarrow \Delta (T)$ - функция распределения сигнала, определяющая вероятность $\pi (t|\theta )$ наблюдения за совместным сигналом $t\in T$ когда состояние мира $\theta \in \Theta$.

Объединив эти два определения, можно определить $\Gamma =(G,S)$ как игра с неполной информацией . для Решающее правило игры с неполной информацией. $\Gamma =(G,S)$ это отображение $\sigma :T\times \Theta \rightarrow \Delta (A)$. Интуитивно значение правила принятия решения $\sigma (a|t,\theta )$ можно рассматривать как совместную рекомендацию игрокам играть по совместной смешанной стратегии. $\sigma (a)\in \Delta (A)$ когда полученный совместный сигнал $t\in T$ и состояние мира такое $\theta \in \Theta$.

Определение

Байесовское коррелированное равновесие (BCE) определяется как правило принятия решений. $\sigma$ который является послушным: то есть такой, в котором ни у одного игрока нет стимула в одностороннем порядке отклоняться от рекомендуемой совместной стратегии, любого возможного типа. Формально решающее правило $\sigma$ послушен (и имеет байесовское коррелированное равновесие) для игры $\Gamma =(G,S)$ если для каждого игрока $i\in I$, каждый сигнал $t_{i}\in T_{i}$ и каждое действие $a_{i}\in A_{i}$, у нас есть

$\sum _{a_{-i},t_{-i},\theta }\psi (\theta )\pi (t_{i},t_{-i}|\theta )\sigma (a_{i},a_{-i}|t_{i},t_{-i},\theta )u_{i}(a_{i},a_{-i},\theta )$

$\geq \sum _{a_{-i},t_{-i},\theta }\psi (\theta )\pi (t_{i},t_{-i}|\theta )\sigma (a_{i},a_{-i}|t_{i},t_{-i},\theta )u_{i}(a'_{i},a_{-i},\theta )$

для всех $a'_{i}\in A_{i}$.

То есть каждый игрок получает более высокий ожидаемый выигрыш, следуя рекомендациям правила принятия решения, чем отклоняясь от любого другого возможного действия.

Связь с другими понятиями

Нэша

Каждое байесовское равновесие Нэша (BNE) неполной информационной игры можно рассматривать как BCE, где рекомендуемая совместная стратегия — это просто равновесная совместная стратегия.

Формально пусть $\Gamma =(G,S)$ будет неполной информационной игрой, и пусть $s:T\rightarrow \Delta (A)$ быть равновесной совместной стратегией, в которой каждый игрок $i$ играя $s_{i}(a_{i}|t_{i})\in \Delta (A_{i})$. Таким образом, определение BNE подразумевает, что для каждого $i\in I$, $t_{i}\in T_{i}$ и $a_{i}\in A_{i}$ такой, что $s_{i}(a_{i}|t_{i})>0$, у нас есть

$\sum _{a_{-i},t_{-i},\theta }\psi (\theta )\pi (t_{i},t_{-i}|\theta )\left(\prod _{j\neq i}s_{j}(a_{j}|t_{j})\right)u_{i}(a_{i},a_{-i},\theta )$

$\geq \sum _{a_{-i},t_{-i},\theta }\psi (\theta )\pi (t_{i},t_{-i}|\theta )\left(\prod _{j\neq i}s_{j}(a_{j}|t_{j})\right)u_{i}(a'_{i},a_{-i},\theta )$

для каждого $a'_{i}\in A_{i}$.

Если мы определим решающее правило $\sigma$ на $\Gamma$ как $\sigma (a|t,\theta )=s(a|t)=\prod _{i}s_{i}(a_{i}|t_{i})$ для всех $t\in T$ и $\theta \in \Theta$, мы напрямую получаем BCE.

равновесие

Если нет неопределенности относительно состояния мира (например, если $\Theta$ является одноэлементным), тогда определение сводится к решению Аумана коррелированному равновесному . В этом случае, $\sigma \in \Delta (A)$ является BCE, если для каждого $i\in I$, у нас есть

$\sum _{a_{-i}\in A{-i}}\sigma (a_{i},a_{-i})u_{i}(a_{i},a_{-i})\geq \sum _{a_{-i}\in A{-i}}\sigma (a_{i},a_{-i})u_{i}(a'_{i},a_{-i})$

для каждого $a'_{i}\in A_{i}$, что эквивалентно определению коррелированного равновесия для такой ситуации.

Байесовское убеждение

Кроме того, проблему проектирования BCE можно рассматривать как многопользовательское обобщение байесовской убеждения проблемы Эмира Каменицы и Мэтью Генцкова . Точнее, пусть $v:A\times \Theta \rightarrow \mathbb {R}$ быть целевой функцией информационного дизайнера. Тогда ее предполагаемая ожидаемая полезность от правила принятия решений BCE $\sigma$ дается:

$V(\sigma )=\sum _{a,t,\theta }\psi (\theta )\pi (t|\theta )\sigma (a|t,\theta )v(a,\theta )$

Если набор игроков $I$ является синглтоном, затем выбирается информационная структура для максимизации $V(\sigma )$ эквивалентно байесовской проблеме убеждения, где разработчик информации называется отправителем, а игрок — получателем.