Кун покер

Покер Куна - это упрощенная форма покера, разработанная Гарольдом В. Куном как простая модель игры с нулевой суммой для двух игроков и несовершенной информацией , поддающаяся полному теоретико-игровому анализу. В покере Куна колода включает в себя только три игральные карты , например, король, дама и валет. Каждому игроку раздается по одной карте, который может делать ставки аналогично стандартному покеру. Если оба игрока делают ставку или оба игрока пасуют, побеждает игрок с более старшей картой, в противном случае выигрывает игрок, сделавший ставку. Недавно она была решена с использованием понятий идеального байесовского равновесия Лориенте и Диеса (2023).

Описание игры

В общепринятых терминах покера игра в покер Куна протекает следующим образом:

• Каждый игрок делает ставку 1.
• Каждому игроку раздается одна из трех карт, а третья откладывается невидимой.
• Первый игрок может сделать чек или сделать ставку 1.
  • Если первый игрок делает чек, второй игрок может сделать чек или сделать ставку 1.
    • Если второй игрок делает чек, происходит вскрытие банка в размере 2 (т. е. более старшая карта выигрывает 1 у другого игрока).
    • Если второй игрок сделает ставку, то первый игрок может сбросить карты или уравнять .
      • Если первый игрок сбрасывает карты, то второй игрок забирает банк из 3 (т.е. выигрывает 1 у игрока 1).
      • Если первый игрок делает колл, происходит вскрытие банка в размере 4 (т. е. более старшая карта выигрывает 2 карты у другого игрока).
  • Если первый игрок сделает ставку, второй игрок может сбросить карты или уравнять.
    • Если второй игрок сбрасывает карты, то первый игрок забирает банк в размере 3 (т.е. выигрывает 1 у игрока 2).
    • Если второй игрок делает колл, происходит вскрытие банка в размере 4 (т. е. старшая карта выигрывает 2 у другого игрока).

Оптимальная стратегия

В игре присутствует со смешанной стратегией равновесие Нэша ; когда оба игрока используют равновесные стратегии, первый игрок должен рассчитывать на проигрыш с коэффициентом -1/18 за руку (поскольку игра ведется с нулевой суммой, второй игрок должен рассчитывать на выигрыш с коэффициентом +1/18). равновесия не существует Чисто стратегического .

Кун продемонстрировал, что существует бесконечно много равновесных стратегий для первого игрока, образующих континуум, управляемый одним параметром. В одной из возможных формулировок первый игрок свободно выбирает вероятность $\alpha \in [0,1/3]$ с помощью которой он будет делать ставку, когда у него будет валет (в противном случае он сделает чек; если другой игрок сделает ставку, он всегда должен сбросить карты). Имея короля, он должен делать ставку с вероятностью $3\alpha$ (в противном случае он делает чек; если другой игрок делает ставку, он всегда должен коллировать). Ему следует всегда делать чек, когда у него дама, и если другой игрок делает ставку после этого чека, он должен коллировать с вероятностью $\alpha +1/3$.

У второго игрока есть единственная стратегия равновесия: всегда делать ставку или колл, когда у него король; при наличии дамы по возможности чек, в противном случае колл с вероятностью 1/3; при наличии валета никогда не коллировать и не ставить с вероятностью 1/3.

Полное дерево покера Куна, включая вероятности равновесия Нэша в смешанной стратегии. Пунктирные линии обозначают поддеревья доминируемых стратегий .

Обобщенные версии

В дополнение к базовой версии, изобретенной Куном, появились и другие версии, в которых добавлялась колода большего размера, больше игроков, раунды ставок и т. д., что увеличивало сложность игры.

Кун-покер для 3 игроков

Вариант для трех игроков был представлен в 2010 году Ником Абу Риском и Дуэйном Шафроном. В этой версии колода включает в себя четыре карты (добавляется десять карт), из которых игрокам раздаются три; в остальном базовая структура та же: пока нет выдающейся ставки, игрок может сделать чек или сделать ставку, при выдающейся ставке игрок может уравнять или сбросить карты. Если все игроки сделали чек или хотя бы один игрок уравнял, игра переходит к вскрытию карт, в противном случае выигрывает игрок, сделавший ставку.

Семейство равновесий Нэша для покера Куна с тремя игроками известно аналитически, что делает его самой крупной игрой с более чем двумя игроками с аналитическим решением. Семейство параметризуется с использованием 4–6 параметров (в зависимости от выбранного равновесия). Во всех состояниях равновесия игрок 1 имеет фиксированную стратегию, и первым действием он всегда делает чек; Полезность игрока 2 постоянна и равна –1/48 на руку. Обнаруженные профили равновесия демонстрируют интересную особенность: корректируя параметр стратегии $\beta$ (между 0 и 1), игрок 2 может свободно распределять полезность между двумя другими игроками, оставаясь при этом в равновесии; Полезность игрока 1 равна $-{\frac {1+2\beta }{48}}$ (что всегда хуже, чем полезность игрока 2), полезность игрока 3 равна ${\frac {1+\beta }{24}}$.

Неизвестно, охватывает ли это семейство равновесия все равновесия Нэша для игры.

Ссылки

• Кун, HW (1950). «Упрощенный покер для двух человек». В Куне, HW; Такер, AW (ред.). Вклад в теорию игр . Том. 1. Издательство Принстонского университета. стр. 97–103.
• Джеймс Пек. «Идеальное байесовское равновесие» (PDF) . Университет штата Огайо . Проверено 2 сентября 2016 г.
• Лориенте, Мартин Иньяки и Диес, Хуан Крус. «Идеальное байесовское равновесие в покере Куна» (PDF) . Университет Сан-Андрес. {{cite web}}: CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка )

Внешние ссылки

• Эффективная краткосрочная эксплуатация противника в упрощенном покере