Сильное равновесие Нэша
| Сильное равновесие Нэша | |
|---|---|
| Концепция решения в теории игр | |
| Отношение | |
| Подмножество | Эволюционно стабильная стратегия (если сильное равновесие Нэша не является также слабым) |
| Значение | |
| Используется для | Все некооперативные игры с участием более двух игроков. |
В теории игр сильное равновесие Нэша (SNE) представляет собой комбинацию действий различных игроков, в которой ни одна коалиция игроков не может совместно отклоняться таким образом, чтобы это приносило строго выгоду всем ее членам, при условии, что действия других игроков остаются неизменными. зафиксированный. В этом отличие от простого равновесия Нэша, которое учитывает только отклонения отдельных игроков. Концепция была представлена Израилем Ауманном в 1959 году. [1] SNE особенно полезен в таких областях, как изучение систем голосования , в которых обычно игроков намного больше, чем возможных результатов, и поэтому простых равновесий Нэша слишком много. [2]
Существование [ править ]
Несса и Тиан [3] докажите, что СНЭ существует, если выполняются следующие условия:
- Пространство стратегий каждого игрока компактно и выпукло ;
- Функция выигрыша каждого игрока вогнутая и непрерывная;
- : Свойство согласованности коалиции существует набор весовых векторов w , присваивающий весовой вектор w S каждой возможной коалиции S , такой, что для каждого профиля стратегии x существует профиль стратегии z , в котором z S максимизирует взвешенное (по w S ) социальное благосостояние членов S , учитывая x - S .
- Обратите внимание: если x сам является SNE, то z можно принять равным x . Если x не является SNE, условие требует, чтобы можно было перейти к другому стратегическому профилю, который является лучшим ответом на социальное благосостояние для всех коалиций одновременно.
Например, рассмотрим игру с двумя игроками, пространства стратегий [1/3, 2] и [3/4, 2] явно компактны и выпуклы. Полезные функции:
- и1(х) = - х1 2 + х2 + 1
- и2(х) = х1 - х2 2 + 1
которые непрерывны и выпуклы. Осталось проверить состоятельность коалиции. Для каждого кортежа стратегий x мы проверяем взвешенный лучший ответ каждой коалиции:
- Для коалиции {1} нам нужно для каждого x2 найти max y1 (-y1 2 +х2+1); ясно, что максимум достигается в наименьшей точке пространства стратегий, то есть y1=1/3.
- Для коалиции {2} мы аналогично видим, что для каждого x1 максимальный выигрыш достигается в наименьшей точке, y2=3/4.
- Для коалиции {1,2} с весами w1,w2 нужно найти max y1,y2 (w1*(-y1 2 + y2 + 1)+w2*(y1 - y2 2 + 1)). Используя тест на производную , мы можем узнать, что точка максимума — это y1=w2/(2*w1) и y2=w1/(2*w2). Взяв w1=0,6,w2=0,4, мы получим y1=1/3 и y2=3/4.
Итак, при w1=0,6,w2=0,4 точка (1/3,3/4) представляет собой последовательный наилучший ответ социального благосостояния для всех коалиций одновременно. Следовательно, СНЭ существует в той же точке (1/3,3/4).
Вот пример, в котором последовательность коалиции терпит неудачу, и действительно нет СНЭ. [3] : Пример.3.1 Есть два игрока со стратегическим пространством [0,1]. Их полезные функции:
- и1(х) = -х1 + 2*х2;
- и2(х) = 2*х1 - х2.
Существует единственное равновесие Нэша в точке (0,0) с вектором выигрыша (0,0). Однако это не СНЭ, поскольку коалиция {1,2} может отклоняться к (1,1) с вектором выигрыша (1,1). Действительно, согласованность коалиции нарушается при x = (0,0): для коалиции {1,2} для любого весового вектора w S лучший ответ социального благосостояния находится либо на линии (1,0), либо --(1,1) или на строке (0,1)--(1,1); но любая такая точка не является лучшим ответом для игрока, играющего 1.
Несса и Тиан [3] также представляют необходимое и достаточное условие существования SNE, а также алгоритм, который находит SNE тогда и только тогда, когда он существует.
Свойства [ править ]
Каждый SNE представляет собой равновесие Нэша. В этом можно убедиться, рассмотрев отклонение n одноэлементных коалиций.
Каждый SNE слабо эффективен по Парето . В этом можно убедиться, рассмотрев отклонения от большой коалиции – коалиции всех игроков.
Каждый SNE находится в слабом альфа-ядре и в слабом бета-ядре . [3]
Критика [ править ]
Сильную концепцию Нэша критикуют как слишком «сильную», поскольку среда допускает неограниченное частное общение. В результате этих требований Strong Nash редко встречается в играх, достаточно интересных, чтобы заслуживать изучения. Тем не менее, возможно существование нескольких сильных равновесий Нэша. Например, при голосовании за одобрение всегда существует сильное равновесие Нэша для любого существующего победителя по Кондорсе , но оно уникально только (за исключением несущественных изменений), когда существует победитель по Кондорсе с большинством голосов.
Относительно более слабая, но уточненная концепция стабильности Нэша называется устойчивым к коалициям равновесием Нэша (CPNE). [2] в которых равновесия невосприимчивы к многосторонним отклонениям, которые имеют самоподдерживающийся характер. Каждая коррелирующая стратегия, поддерживаемая повторяющимся строгим доминированием и находящаяся на границе Парето, представляет собой CPNE. [4] Кроме того, игра может иметь равновесие Нэша, устойчивое к коалициям меньшего размера, чем заданный k . CPNE связан с теорией ядра .
Как ни странно, концепция сильного равновесия Нэша не связана с концепцией слабого равновесия Нэша . То есть равновесие Нэша может быть как сильным, так и слабым, либо ни одним из них.
Ссылки [ править ]
- ^ Р. Ауманн (1959), Приемлемые баллы в общих кооперативных играх n человек в «Вкладе в теорию игр IV» , Princeton Univ. Пресс, Принстон, Нью-Джерси.
- ↑ Перейти обратно: Перейти обратно: а б Б.Д. Бернхайм; Б. Пелег; Доктор медицинских наук Уинстон (1987), «Коалиционное равновесие I. Концепции», Журнал экономической теории , 42 : 1–12, doi : 10.1016/0022-0531(87)90099-8 .
- ↑ Перейти обратно: Перейти обратно: а б с д Несса, Рабия; Тянь, Гоцян (15 июня 2014 г.). «О существовании сильных равновесий Нэша» . Журнал математического анализа и приложений . 414 (2): 871–885. дои : 10.1016/j.jmaa.2014.01.030 . ISSN 0022-247X .
- ^ Д. Морено; Дж. Вудерс (1996), «Равновесие, защищенное от коалиций», Games and Economic Behavior , 17 : 80–112, doi : 10.1006/game.1996.0095 , hdl : 10016/4408 .
 | Эта по теории игр статья незавершена . Вы можете помочь Википедии, расширив ее . |