Дробный социальный выбор

Дробный , стохастический или взвешенный социальный выбор — это ветвь теории социального выбора , в которой коллективное решение представляет собой не единственную альтернативу, а скорее взвешенную сумму двух или более альтернатив. ^[1] Например, если обществу приходится выбирать между тремя кандидатами (А, В или С), то при стандартном социальном выборе выбирается ровно один из этих кандидатов. Напротив, при дробном социальном выборе можно выбрать любую линейную комбинацию , например, «2/3 от A и 1/3 от B». их ^[2]

Распространенная интерпретация взвешенной суммы - это лотерея, в которой кандидат A выбирается с вероятностью 2/3, а кандидат B выбирается с вероятностью 1/3. Правило также можно интерпретировать как рецепт обмена, например:

Разделение времени: кандидат А (детерминированно) выбирается на 2/3 времени, а кандидат Б выбирается на 1/3 времени.
Распределение бюджета: кандидат А получает 2/3 бюджета, а кандидат Б — 1/3 бюджета.
Справедливое разделение с различными правами также может использоваться для разделения разнородного ресурса между кандидатами A и B, при этом их права составляют 2/3 и 1/3.

Формальные определения

Существует конечное множество альтернатив (также называемое кандидатами ) и конечное множество избирателей (также называемое агентами ). Избиратели могут иметь разные предпочтения по отношению к альтернативам. Предпочтения агентов могут быть выражены несколькими способами:

Дихотомические предпочтения – у каждого избирателя есть набор «утвержденных кандидатов», которые в его глазах равноценны. Эта модель подробно описана на странице о дробном голосовании .

Отношения предпочтений – у каждого избирателя есть рейтинг кандидатов. Связь может быть строгой или слабой . Строгость означает отсутствие «привязок» — агент всегда отдает предпочтение тому или иному кандидату. Слабый означает, что могут быть связи: агенту может быть безразлично, есть ли два или более кандидатов.
Идеальные распределения – каждый избиратель имеет в виду идеальное распределение вероятности/времени/бюджета среди кандидатов. Эта модель подробно описана на странице «Агрегирование бюджетных предложений» .

Функция случайного социального выбора (RSCF) принимает в качестве входных данных набор отношений предпочтений избирателей. На выходе он возвращает « смесь » — вектор p действительных чисел в [0,1], по одному числу для каждого кандидата, такой, что сумма чисел равна 1. Эту смесь можно интерпретировать как случайную величину (лотерею). , значение которого равно каждому кандидату x с вероятностью p ( x ). Это также можно интерпретировать как детерминированное присвоение дробной доли каждому кандидату.

Поскольку избиратели выражают предпочтения только по отношению к отдельным кандидатам, для оценки РПКФ необходимо «поднять» эти предпочтения до предпочтений по смешанным кандидатам. Этот процесс подъема часто называют расширением лотереи , и он приводит к одному из нескольких стохастических порядков .

Характеристики

Основные свойства

Двумя основными желаемыми свойствами RSCF являются анонимность (имена избирателей не имеют значения) и нейтральность (названия результатов не имеют значения). Анонимность и нейтральность не всегда могут быть обеспечены детерминированной функцией социального выбора. Например, если есть два избирателя и две альтернативы A и B, и каждый избиратель хочет другую альтернативу, то единственной анонимной и нейтральной смесью будет 1/2*A+1/2*B. Поэтому использование смесей необходимо для обеспечения основных свойств однородности. ^[3]^: 1

Свойства согласованности

Следующие свойства включают изменения в наборе избирателей или наборе альтернатив.

Согласованность Кондорсе - если существует победитель Кондорсе, то функция возвращает вырожденную смесь, в которой этот победитель получает 1, а остальные альтернативы получают 0 (то есть победитель Кондорсе выбирается с вероятностью 1).

Согласованность повестки дня - пусть p будет смесью, и пусть A, B будут наборами альтернатив, которые содержат поддержку p . Затем функция возвращает p для объединения A и B, если она возвращает p для A и для B. Сенатор назвал это свойство расширением/сжатием. ^[4]^[5]^[6]

Согласованность населения — если функция возвращает смесь p для двух непересекающихся наборов избирателей, то она возвращает то же самое p для их объединения. ^[7]^[8]^[9]

Независимость клонов (также называемая согласованностью клонирования ) — если альтернатива «клонирована», так что все избиратели ранжируют все ее клоны рядом друг с другом, то вес (= вероятность) всех других альтернатив в возвращенной смеси не изменяется. . ^[9]

Более сильным вариантом является согласованность композиции : она также требует, чтобы в каждом компоненте вес каждой альтернативы был пропорционален ее весу, когда компонент рассматривается изолированно.

Эти свойства гарантируют, что центральный планировщик не сможет выполнять простые манипуляции, такие как разделение альтернатив, клонирование альтернатив или разделение совокупности.

Обратите внимание, что свойства непротиворечивости зависят только от ранжирования отдельных альтернатив — они не требуют ранжирования смесей.

Свойства сравнения смесей

Следующие свойства предполагают сравнение смесей. Чтобы точно их определить, необходимо предположить, как избиратели ранжируют смеси. Это требует стохастического порядка в лотереях. Существует несколько таких порядков; наиболее распространенными в теории социального выбора в порядке силы являются DD (детерминированное доминирование), BD (билинейное доминирование), SD (стохастическое доминирование) и PC (доминирование парного сравнения). см. в разделе стохастический порядок Определения и примеры .

Эффективность : ни одна смесь не является лучшей хотя бы для одного избирателя и не является одинаково хорошей для всех избирателей. Можно определить DD-эффективность, BD-эффективность, SD-эффективность, эффективность ПК и эффективность ex-post (конечный результат всегда эффективен).

Устойчивость к стратегии – сообщение о ложных предпочтениях не приводит к получению более выгодной для избирателя смеси. Опять же, можно определить DD-стратегическую устойчивость, BD-стратегическую устойчивость, SD-стратегическую устойчивость и PC-стратегическую устойчивость.

Участие – воздержание от участия не приводит к получению более выгодной для избирателя смеси. Опять же, можно определить DD-участие, BD-участие, SD-участие и ПК-участие.

Общие функции

Некоторые часто используемые правила случайного социального выбора: ^[3]

Случайная диктатура – избиратель выбирается случайным образом и определяет результат. Если предпочтения строгие, это дает смесь, в которой вес каждой альтернативы точно пропорционален числу избирателей, которые ставят ее на первое место. Если предпочтения слабы и выбранному избирателю безразлично два или более лучших варианта, то для выбора среди них случайным образом выбирается второй избиратель и так далее. Это расширение называется случайной серийной диктатурой . Он удовлетворяет фактической эффективности, сильной устойчивости к стратегиям устойчивого развития, очень сильному участию в устойчивом развитии, согласованности программ и согласованности клонирования. Он не обеспечивает последовательность Кондорсе, последовательность состава и (при слабых предпочтениях) последовательность населения.

Макс Борда — возвращает смесь, в которой все альтернативы с наибольшим количеством Борда имеют одинаковый вес, а все остальные альтернативы имеют вес 0. Другими словами, он случайным образом выбирает одного из победителей Борда ( другие функции оценки) вместо этого можно использовать . из Борды). Он удовлетворяет требованиям эффективности устойчивого развития, активного участия устойчивого развития и согласованности населения, но не удовлетворяет никаким формам стратегической устойчивости или какой-либо другой последовательности.

Пропорциональная Борда — возвращает смесь, в которой вес каждой альтернативы пропорционален ее счету Борда . Другими словами, он рандомизирует все альтернативы, где вероятность каждой альтернативы пропорциональна ее оценке ( другие функции оценки вместо Борды можно использовать ). Он удовлетворяет сильной устойчивости к стратегиям устойчивого развития, сильному участию устойчивого развития и согласованности населения, но не какой-либо форме эффективности или какой-либо другой последовательности.

Максимальные лотереи – правило, основанное на попарном сравнении альтернатив. Для любых двух альтернатив x,y мы вычисляем, сколько избирателей предпочитают x вместо y и сколько избирателей предпочитают y вместо x , и пусть M _xy будет разницей. Результирующая матрица M называется матрицей мажоритарного запаса . Смесь p называется максимальной тогда и только тогда, когда $p^{T}M\geq 0$ . При интерпретации как лотереи это означает, что p слабо предпочтительнее любой другой лотереи ожидаемым большинством избирателей (ожидаемое число агентов, которые предпочитают альтернативу, возвращаемую p , альтернативе, возвращаемой любой другой лотереей q , по крайней мере, столь же велико как ожидаемое число агентов, которые предпочитают альтернативу, возвращаемую q , альтернативе, возвращаемой p ). Максимальная лотерея является непрерывным аналогом выигрыша Кондорсе . Однако, хотя победителя Кондорсе может не существовать, максимальная лотерея всегда существует. Это следует из применения теоремы о минимаксе к подходящей симметричной игре с нулевой суммой для двух игроков . Он удовлетворяет эффективности ПК, устойчивости к DD-стратегиям, участию ПК и всем свойствам согласованности, в частности, согласованности Кондорсе.

См. также

Дробное голосование за одобрение
Стимулы участия в дробном социальном выборе. ^[10]

Ссылки

^ Азиз, Харис (28 марта 2015 г.). «Парадокс Кондорсе и теорема о медианном избирателе для рандомизированного социального выбора» . Экономический вестник . 35 (1): 745–749. ISSN 1545-2921 .
^ Паттанаик, Прасанта К.; Пелег, Бецалель (1986). «Распределение власти по правилам стохастического социального выбора». Эконометрика . 54 (4): 909–921. дои : 10.2307/1912843 . ISSN 0012-9682 . JSTOR 1912843 .
^ Jump up to: ^а ^б Феликс Брандт (26 октября 2017 г.). «Игра в кости: последние результаты вероятностного социального выбора» . В Эндриссе, Улле (ред.). Тенденции в вычислительном социальном выборе . Лулу.com. ISBN 978-1-326-91209-3 .
^ Сен, Амартия К. (1971). «Функции выбора и выявленные предпочтения». Обзор экономических исследований . 38 (3): 307–317. дои : 10.2307/2296384 . ISSN 0034-6527 . JSTOR 2296384 .
^ Сен, Амартья (1977). «Теория социального выбора: пересмотр». Эконометрика . 45 (1): 53–89. дои : 10.2307/1913287 . ISSN 0012-9682 . JSTOR 1913287 .
^ Сен, Амартья (1 января 1986 г.). «Глава 22 Теория социального выбора» . Справочник по математической экономике . 3 : 1073–1181. дои : 10.1016/S1573-4382(86)03004-7 . ISBN 9780444861283 . ISSN 1573-4382 .
^ Смит, Джон Х. (1973). «Агрегация предпочтений при переменном электорате». Эконометрика . 41 (6): 1027–1041. дои : 10.2307/1914033 . ISSN 0012-9682 . JSTOR 1914033 .
^ Янг, HP (1 сентября 1974 г.). «Аксиоматизация правления Борды» . Журнал экономической теории . 9 (1): 43–52. дои : 10.1016/0022-0531(74)90073-8 . ISSN 0022-0531 .
^ Jump up to: ^а ^б Хорошо, Б.; Файн, К. (1974). «Социальный выбор и индивидуальный рейтинг I». Обзор экономических исследований . 41 (3): 303–322. дои : 10.2307/2296751 . ISSN 0034-6527 . JSTOR 2296751 .
^ Азиз, Харис (08 ноября 2016 г.). «Стимулы к участию в рандомизированном социальном выборе». arXiv : 1602.02174 [ cs.GT ].

[1] Азиз, Харис (28 марта 2015 г.). «Парадокс Кондорсе и теорема о медианном избирателе для рандомизированного социального выбора» . Экономический вестник . 35 (1): 745–749. ISSN 1545-2921 .

[2] Паттанаик, Прасанта К.; Пелег, Бецалель (1986). «Распределение власти по правилам стохастического социального выбора». Эконометрика . 54 (4): 909–921. дои : 10.2307/1912843 . ISSN 0012-9682 . JSTOR 1912843 .

[:0-3] Jump up to: ^а ^б Феликс Брандт (26 октября 2017 г.). «Игра в кости: последние результаты вероятностного социального выбора» . В Эндриссе, Улле (ред.). Тенденции в вычислительном социальном выборе . Лулу.com. ISBN 978-1-326-91209-3 .

[4] Сен, Амартия К. (1971). «Функции выбора и выявленные предпочтения». Обзор экономических исследований . 38 (3): 307–317. дои : 10.2307/2296384 . ISSN 0034-6527 . JSTOR 2296384 .

[5] Сен, Амартья (1977). «Теория социального выбора: пересмотр». Эконометрика . 45 (1): 53–89. дои : 10.2307/1913287 . ISSN 0012-9682 . JSTOR 1913287 .

[6] Сен, Амартья (1 января 1986 г.). «Глава 22 Теория социального выбора» . Справочник по математической экономике . 3 : 1073–1181. дои : 10.1016/S1573-4382(86)03004-7 . ISBN 9780444861283 . ISSN 1573-4382 .

[7] Смит, Джон Х. (1973). «Агрегация предпочтений при переменном электорате». Эконометрика . 41 (6): 1027–1041. дои : 10.2307/1914033 . ISSN 0012-9682 . JSTOR 1914033 .

[8] Янг, HP (1 сентября 1974 г.). «Аксиоматизация правления Борды» . Журнал экономической теории . 9 (1): 43–52. дои : 10.1016/0022-0531(74)90073-8 . ISSN 0022-0531 .

[:1-9] Jump up to: ^а ^б Хорошо, Б.; Файн, К. (1974). «Социальный выбор и индивидуальный рейтинг I». Обзор экономических исследований . 41 (3): 303–322. дои : 10.2307/2296751 . ISSN 0034-6527 . JSTOR 2296751 .

[10] Азиз, Харис (08 ноября 2016 г.). «Стимулы к участию в рандомизированном социальном выборе». arXiv : 1602.02174 [ cs.GT ].

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]