Максимальные лотереи

Максимальные лотереи относятся к вероятностному правилу голосования . Метод использует избирательные бюллетени и возвращает распределение вероятностей (или линейную комбинацию ) кандидатов, которых большинство избирателей слабо предпочли бы любому другому. ^{[ 1 ]}

Максимальные лотереи удовлетворяют широкому спектру желательных свойств: они выбирают победителя Кондорсе с вероятностью 1, если он существует. ^{[ 1 ]} и никогда не выбирайте кандидатов за пределами набора Смита . ^{[ 1 ]} Более того, они удовлетворяют подкреплению , ^{[ 2 ]} участие , ^{[ 3 ]} и независимость клонов . ^{[ 2 ]} Правило вероятностного голосования, возвращающее все максимальные лотереи, является единственным правилом, удовлетворяющим подкреплению, согласованности по Кондорсе и независимости клонов. ^{[ 2 ]} Функция социального благосостояния , которая занимает первое место в максимальных лотереях, была уникально охарактеризована с использованием независимости Эрроу от нерелевантных альтернатив и эффективности по Парето . ^{[ 4 ]}

Максимальные лотереи не удовлетворяют стандартному понятию устойчивости стратегии, поскольку Аллан Гиббард показал, что только случайные диктатуры могут обеспечить устойчивость стратегии и эффективность ex post. ^{[ 5 ]} Максимальные лотереи также немонотонны по вероятностям, т.е. возможно, что вероятность альтернативы уменьшается, когда избиратель оценивает эту альтернативу выше. ^{[ 1 ]} Однако они удовлетворяют относительной монотонности, т. е. вероятности $x$ относительно того, что $y$ не уменьшается, когда $x$ улучшено по сравнению с $y$ . ^{[ 6 ]}

Поддержка максимальных лотерей, известных как необходимый набор или двухпартийный набор , детально изучен. ^{[ 7 ]}^{[ 8 ]}^{[ 9 ]}^{[ 10 ]}

История

Максимальные лотереи были впервые предложены французским математиком и социологом Жерменом Креверасом в 1965 году. ^{[ 11 ]} и популяризирован Питером Фишберном . ^{[ 1 ]} С тех пор экономисты неоднократно переоткрывали их. ^{[ 8 ]} математики, ^{[ 1 ]}^{[ 12 ]} политологи, философы, ^{[ 13 ]} и компьютерщики. ^{[ 14 ]}

Несколько естественных динамик, сходных с максимальными лотереями, наблюдались в биологии, физике, химии и машинном обучении. ^{[ 15 ]}^{[ 16 ]}^{[ 17 ]}

Коллективные предпочтения перед лотереями

Входные данные для этой системы голосования состоят из порядковых предпочтений агентов по результатам (не лотереи по сравнению с альтернативами), но отношение на множестве лотерей может быть построено следующим образом: если $p$ и $q$ это лотереи альтернатив, $p\succ q$ если ожидаемое значение перевеса в исходе, выбранном с распределением $p$ при личном голосовании против результата, выбранного с распределением $q$ является положительным. Другими словами, $p\succ q$ если более вероятно, что случайно выбранный избиратель предпочтет альтернативы, выбранные из $p$ к альтернативе, выбранной из $q$ чем наоборот. ^{[ 4 ]} Хотя это отношение не обязательно транзитивно, оно всегда допускает хотя бы один максимальный элемент.

Вполне возможно, что таких максимальных лотерей существует несколько в результате ничьей. Однако максимальная лотерея уникальна, если число избирателей нечетное. ^{[ 18 ]} По тому же аргументу двухпартийный набор однозначно определяется за счет поддержки уникальной максимальной лотереи, которая решает турнирную игру. ^{[ 8 ]}

Стратегическая интерпретация

Максимальные лотереи эквивалентны смешанным максиминным стратегиям (или равновесиям Нэша ) симметричной игры с нулевой суммой, заданной попарным преимуществом большинства. Таким образом, они имеют естественную интерпретацию с точки зрения избирательной конкуренции между двумя политическими партиями. ^{[ 19 ]} и быть компьютером с полиномиальным временем посредством [линейного программирования].

Пример

Предположим, есть пять избирателей, которые имеют следующие предпочтения перед тремя альтернативами:

2 избирателя: $a\succ b\succ c$
2 избирателя: $b\succ c\succ a$
1 избиратель: $c\succ a\succ b$

Парные предпочтения избирателей можно представить в виде следующей кососимметричной матрицы , где запись для строки $x$ и столбец $y$ обозначает количество избирателей, которые предпочитают $x$ к $y$ минус число избирателей, которые предпочитают $y$ к $x$ .

${\begin{matrix}{\begin{matrix}&&a\quad &b\quad &c\quad \\\end{matrix}}\\{\begin{matrix}a\\b\\c\\\end{matrix}}{\begin{pmatrix}0&1&-1\\-1&0&3\\1&-3&0\\\end{pmatrix}}\end{matrix}}$

Эту матрицу можно интерпретировать как игру с нулевой суммой , и она допускает уникальное равновесие Нэша (или минимаксную стратегию ). $p$ где $p(a)=3/5$ , $p(b)=1/5$ , $p(c)=1/5$ . По определению, это также уникальная максимальная лотерея из приведенного выше профиля предпочтений. Пример был выбран тщательно, чтобы не было победителя Кондорсе . Многие профили предпочтений допускают победителя Кондорсе, и в этом случае уникальная максимальная лотерея присваивает победителю Кондорсе вероятность 1. Если последний избиратель в приведенном выше примере меняет альтернативы $a$ и $c$ в своем отношении предпочтения, $a$ станет победителем Кондорсе и будет выбран с вероятностью 1.

Ссылки

^ Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д ^и ^ж ПК Фишберн. Вероятностный социальный выбор, основанный на простом сравнении результатов голосования . Обзор экономических исследований, 51 (4): 683–692, 1984.
^ Перейти обратно: ^а ^б ^с Ф. Брандл, Ф. Брандт и Х. Г. Сидиг. Последовательный вероятностный социальный выбор . Эконометрика. 84(5), страницы 1839–1880, 2016.
^ Ф. Брандл, Ф. Брандт и Дж. Хофбауэр. Максимизация благосостояния побуждает к участию . Игры и экономическое поведение. 14, стр. 308-314, 2019.
^ Перейти обратно: ^а ^б Ф. Брандл и Ф. Брандт. Арровианская агрегация выпуклых предпочтений . Эконометрика. 88(2), страницы 799–844, 2020.
^ Гиббард, Аллан (1977). «Манипулирование схемами, смешивающими голосование со случайностью» . Эконометрика . 45 (3): 665–681. дои : 10.2307/1911681 . hdl : 10419/220534 . ISSN 0012-9682 . JSTOR 1911681 .
^ Брандл, Флориан; Брандт, Феликс; Стрикер, Кристиан (1 января 2022 г.). «Аналитическое и экспериментальное сравнение схем максимальной лотереи» . Социальный выбор и благосостояние . 58 (1): 5–38. дои : 10.1007/s00355-021-01326-x . hdl : 10419/286729 . ISSN 1432-217X .
^ Б. Дутта и Ж.-Ф. Ласьер. Функции сравнения и соответствия выбора . Социальный выбор и благосостояние, 16: 513–532, 1999.
^ Перейти обратно: ^а ^б ^с Ж. Лаффон, Ж.-Ф. Ласлье и М. Ле Бретон. Двухпартийный набор турнирной игры . Игры и экономическое поведение, 5(1):182–201, 1993.
^ Ласлье, Ж.-Ф. Решения для турниров и большинство голосов Springer-Verlag, 1997.
^ Ф. Брандт, М. Брилл, Х. Г. Сидиг и В. Суксомпонг. О структуре устойчивых турнирных решений . Экономическая теория, 65(2):483–507, 2018.
^ Г. Креверас. Агрегация упорядочений предпочтений . В «Математике и социальных науках» I: Материалы семинаров в Ментон-Сен-Бернаре, Франция (1–27 июля 1960 г.) и в Гёзинге, Австрия (3–27 июля 1962 г.), страницы 73–79, 1965.
^ Округ Колумбия Фишер и Дж. Райан. Турнирные игры и позитивные турниры . Журнал теории графов, 19(2):217–236, 1995.
^ DS Felsenthal и М. Мачовер. Должна ли быть реализована процедура голосования Кондорсе через два столетия? Поведенческая наука, 37(4):250–274, 1992.
^ Р. Л. Ривест и Э. Шен. Оптимальная система преференциального голосования с одним победителем, основанная на теории игр . В материалах 3-го международного семинара по вычислительному социальному выбору, страницы 399–410, 2010 г.
^ Б. Ласлье и Ж.-Ф. Ласьер. Обучение с подкреплением на основе сравнений: трех альтернатив достаточно, двух — нет . Анналы прикладной вероятности 27 (5): 2907–2925, 2017.
^ Якопо Грилли, Дьёрдь Барабас, Мэтью Дж. Михальска-Смит и Стефано Аллесина. Взаимодействия более высокого порядка стабилизируют динамику в моделях конкурентных сетей . Природа 548: 210-214, 2017.
^ Ф. Брандл и Ф. Брандт. Естественный адаптивный процесс коллективного принятия решений . Теоретическая экономика 19 (2): 667–703, 2024.
^ Жильбер Лаффон, Жан-Франсуа Ласлье и Мишель Ле Бретон Теорема о симметричных играх с нулевой суммой для двух игроков . Журнал экономической теории 72: 426–431, 1997.
^ Ласлье, Ж.-Ф. Интерпретация избирательных смешанных стратегий . Социальный выбор и благосостояние 17: страницы 283–292, 2000.

Внешние ссылки

voiceing.ml (сайт для расчета максимальных лотерей)

[Fish84a-1] Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д ^и ^ж ПК Фишберн. Вероятностный социальный выбор, основанный на простом сравнении результатов голосования . Обзор экономических исследований, 51 (4): 683–692, 1984.

[Bran13a-2] Перейти обратно: ^а ^б ^с Ф. Брандл, Ф. Брандт и Х. Г. Сидиг. Последовательный вероятностный социальный выбор . Эконометрика. 84(5), страницы 1839–1880, 2016.

[Bran15a-3] Ф. Брандл, Ф. Брандт и Дж. Хофбауэр. Максимизация благосостояния побуждает к участию . Игры и экономическое поведение. 14, стр. 308-314, 2019.

[BrBr19a-4] Перейти обратно: ^а ^б Ф. Брандл и Ф. Брандт. Арровианская агрегация выпуклых предпочтений . Эконометрика. 88(2), страницы 799–844, 2020.

[5] Гиббард, Аллан (1977). «Манипулирование схемами, смешивающими голосование со случайностью» . Эконометрика . 45 (3): 665–681. дои : 10.2307/1911681 . hdl : 10419/220534 . ISSN 0012-9682 . JSTOR 1911681 .

[6] Брандл, Флориан; Брандт, Феликс; Стрикер, Кристиан (1 января 2022 г.). «Аналитическое и экспериментальное сравнение схем максимальной лотереи» . Социальный выбор и благосостояние . 58 (1): 5–38. дои : 10.1007/s00355-021-01326-x . hdl : 10419/286729 . ISSN 1432-217X .

[DL99-7] Б. Дутта и Ж.-Ф. Ласьер. Функции сравнения и соответствия выбора . Социальный выбор и благосостояние, 16: 513–532, 1999.

[LLL93b-8] Перейти обратно: ^а ^б ^с Ж. Лаффон, Ж.-Ф. Ласлье и М. Ле Бретон. Двухпартийный набор турнирной игры . Игры и экономическое поведение, 5(1):182–201, 1993.

[Laslier97-9] Ласлье, Ж.-Ф. Решения для турниров и большинство голосов Springer-Verlag, 1997.

[BBHS18-10] Ф. Брандт, М. Брилл, Х. Г. Сидиг и В. Суксомпонг. О структуре устойчивых турнирных решений . Экономическая теория, 65(2):483–507, 2018.

[Krew65a-11] Г. Креверас. Агрегация упорядочений предпочтений . В «Математике и социальных науках» I: Материалы семинаров в Ментон-Сен-Бернаре, Франция (1–27 июля 1960 г.) и в Гёзинге, Австрия (3–27 июля 1962 г.), страницы 73–79, 1965.

[FiRy95a-12] Округ Колумбия Фишер и Дж. Райан. Турнирные игры и позитивные турниры . Журнал теории графов, 19(2):217–236, 1995.

[FeMa92a-13] DS Felsenthal и М. Мачовер. Должна ли быть реализована процедура голосования Кондорсе через два столетия? Поведенческая наука, 37(4):250–274, 1992.

[RiSh10a-14] Р. Л. Ривест и Э. Шен. Оптимальная система преференциального голосования с одним победителем, основанная на теории игр . В материалах 3-го международного семинара по вычислительному социальному выбору, страницы 399–410, 2010 г.

[LL17-15] Б. Ласлье и Ж.-Ф. Ласьер. Обучение с подкреплением на основе сравнений: трех альтернатив достаточно, двух — нет . Анналы прикладной вероятности 27 (5): 2907–2925, 2017.

[Grillil17-16] Якопо Грилли, Дьёрдь Барабас, Мэтью Дж. Михальска-Смит и Стефано Аллесина. Взаимодействия более высокого порядка стабилизируют динамику в моделях конкурентных сетей . Природа 548: 210-214, 2017.

[BrBr21a-17] Ф. Брандл и Ф. Брандт. Естественный адаптивный процесс коллективного принятия решений . Теоретическая экономика 19 (2): 667–703, 2024.

[18] Жильбер Лаффон, Жан-Франсуа Ласлье и Мишель Ле Бретон Теорема о симметричных играх с нулевой суммой для двух игроков . Журнал экономической теории 72: 426–431, 1997.

[Laslier2000-19] Ласлье, Ж.-Ф. Интерпретация избирательных смешанных стратегий . Социальный выбор и благосостояние 17: страницы 283–292, 2000.

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]

[ 6 ]

[ 7 ]

[ 8 ]

[ 9 ]

[ 10 ]

[ 11 ]

[ 12 ]

[ 13 ]

[ 14 ]

[ 15 ]

[ 16 ]

[ 17 ]

[ 18 ]

[ 19 ]