Минимаксный метод Кондорсе

В системах голосования минимаксный метод Кондорсе представляет собой с одним победителем метод голосования по рейтингу , который всегда выбирает победителя большинства (Кондорсе) . Minimax сравнивает всех кандидатов друг с другом в круговом турнире , а затем ранжирует кандидатов по их худшему результату на выборах (результату, при котором они получат наименьшее количество голосов). кандидат, набравший наибольшее (максимальное) количество голосов в худшем Победителем объявляется (минимальном) матче.

Описание метода

Минимаксный метод Кондорсе выбирает кандидата, для которого наибольший парный балл другого кандидата против него или нее является наименьшим таким баллом среди всех кандидатов.

Футбольная аналогия

Представьте себе, что политики соревнуются, как футбольные команды, в круговом турнире , где каждая команда играет против каждой другой команды один раз. В каждом матче балл кандидата равен количеству избирателей, которые поддерживают его, а не оппонента.

Минимакс находит худшую игру каждой команды (или кандидата) — ту, в которой они получили наименьшее количество очков (голосов). Турнирный результат каждой команды равен количеству очков, которые она набрала в худшей игре. Первое место в турнире достаётся команде, набравшей лучший турнирный результат.

Формальное определение

Формально пусть $\operatorname {score} (X,Y)$ обозначим попарный балл для $X$ против $Y$. Тогда кандидат, $W$ выбранный минимаксом (он же победитель), определяется:

$W=\arg \min _{X}\left(\max _{Y}\operatorname {score} (Y,X)\right)$

Варианты парного счета

Когда разрешено ранжировать кандидатов одинаково или не ранжировать всех кандидатов, возможны три интерпретации правила. Когда избиратели должны ранжировать всех кандидатов, все три варианта эквивалентны.

Позволять $d(X,Y)$ быть числом избирателей, X выше Y. ранжирующих Варианты определяют оценку $\operatorname {score} (X,Y)$ для кандидата X против Y как:

1. Число избирателей с рейтингом X выше Y тогда, когда этот балл превышает количество избирателей с рейтингом Y выше X. , но только Если нет, то оценка X против Y равна нулю. Этот вариант, который иногда называют выигрышем голосов, является наиболее часто используемым и предпочитаемым теоретиками социального выбора .
   • $\operatorname {score} (X,Y):={\begin{cases}d(X,Y),&d(X,Y)>d(Y,X)\\0,&{\text{else}}\end{cases}}$
2. Число избирателей с рейтингом X выше Y количество избирателей с рейтингом Y выше X. минус Этот вариант называется поля и используется реже.
   • $\operatorname {score} (X,Y):=d(X,Y)-d(Y,X)$
3. Число избирателей, имеющих рейтинг X выше Y , независимо от того, имеет ли больше избирателей рейтинг X выше Y или наоборот. Этот вариант называется парной оппозицией и также используется редко.
   • $\operatorname {score} (X,Y):=d(X,Y)$

Когда используется один из первых двух вариантов, метод можно переформулировать так: «Не обращайте внимания на самое слабое парное поражение, пока один кандидат не останется непобежденным». «Непобежденный» кандидат имеет максимальный балл против него, равный нулю или отрицательный.

Удовлетворенные и неудовлетворительные критерии

Минимакс с использованием выигравших голосов или разницы удовлетворяет Кондорсе и критерию большинства , но не критерию Смита , критерию взаимного большинства или критерию проигравшего Кондорсе . При выигрышных голосов использовании минимакс также удовлетворяет критерию множественности .

Минимакс не обеспечивает независимость от нерелевантных альтернатив , независимость от клонов , локальную независимость от нерелевантных альтернатив и независимость альтернатив, в которых доминирует Смит .

При варианте парной оппозиции силы большинства (иногда называемом MMPO) минимакс удовлетворяет только критерию Кондорсе ; кандидат, имеющий относительное большинство над всеми остальными, не может быть избран. MMPO — это более поздняя система без вреда , которая также соответствует искреннему любимому критерию .

Николаус Тайдман модифицировал минимакс так , чтобы отбрасывать только ребра, создающие циклы Кондорсе , что позволило его методу удовлетворить многие из вышеперечисленных свойств. Метод Шульце аналогичным образом сводится к минимаксу, когда кандидатов всего три.

Примеры

Пример с победителем Кондорсе

Предположим, что в Теннесси проводятся выборы по вопросу о местонахождении своей столицы . Население сосредоточено вокруг четырех крупных городов. Все избиратели хотят, чтобы столица была как можно ближе к ним. Возможные варианты:

• Мемфис , крупнейший город, но далекий от остальных (42% избирателей)
• Нэшвилл , недалеко от центра штата (26% избирателей)
• Чаттануга , немного восточнее (15% избирателей)
• Ноксвилл , далеко на северо-востоке (17% избирателей)

Предпочтения избирателей каждого региона таковы:

42% избирателей Дальний Запад	26% избирателей Центр	15% избирателей Центр-Восток	17% избирателей Дальний Восток
Мемфис Нэшвилл Чаттануга Ноксвилл	Нэшвилл Чаттануга Ноксвилл Мемфис	Чаттануга Ноксвилл Нэшвилл Мемфис	Ноксвилл Чаттануга Нэшвилл Мемфис

Результаты парных оценок будут сведены в следующую таблицу:

Результаты парных выборов

		Х
		Мемфис	Нэшвилл	Чаттануга	Ноксвилл
И	Мемфис		[Х] 58% [Д] 42%	[Х] 58% [Д] 42%	[Х] 58% [Д] 42%
	Нэшвилл	[Х] 42% [Д] 58%		[Х] 32% [Д] 68%	[Х] 32% [Д] 68%
	Чаттануга	[Х] 42% [Д] 58%	[Х] 68% [Д] 32%		[Х] 17% [Д] 83%
	Ноксвилл	[Х] 42% [Д] 58%	[Х] 68% [Д] 32%	[Х] 83% [Д] 17%
Результаты парных выборов (выиграл-ничья-проиграл):		0-0-3	3-0-0	2-0-1	1-0-2
худшее парное поражение (победные голоса):		58%	0%	68%	83%
худшее парное поражение (разрыв):		16%	−16%	36%	66%
худшая парная оппозиция:		58%	42%	68%	83%

• [X] обозначает избирателей, которые предпочли кандидата, указанного в заголовке столбца, кандидату, указанному в заголовке строки.
• [Y] указывает избирателей, которые предпочли кандидата, указанного в заголовке строки, кандидату, указанному в заголовке столбца.

Результат: Во всех трех альтернативах Нэшвилл имеет наименьшее значение и становится победителем.

Пример с победителем Кондорсе, который не избирается победителем (для парного противостояния)

Предположим, что три кандидата A, B и C и избиратели имеют следующие предпочтения:

4% избирателей	47% избирателей	43% избирателей	6% избирателей
1. А и С	1. А	1. С	1. Б
	2. С	2. Б	2. А и С
3. Б	3. Б	3. А

Результаты будут сведены в следующую таблицу:

Результаты парных выборов

		Х
		А	Б	С
И	А		[Х] 49% [Д] 51%	[Х] 43% [Д] 47%
	Б	[Х] 51% [Д] 49%		[Х] 94% [Д] 6%
	С	[Х] 47% [Д] 43%	[Х] 6% [Д] 94%
Результаты парных выборов (выиграл-ничья-проиграл):		2-0-0	0-0-2	1-0-1
худшее парное поражение (победные голоса):		0%	94%	47%
худшее парное поражение (разрыв):		−2%	88%	4%
худшая парная оппозиция:		49%	94%	47%

• [X] обозначает избирателей, которые предпочли кандидата, указанного в заголовке столбца, кандидату, указанному в заголовке строки.
• [Y] указывает избирателей, которые предпочли кандидата, указанного в заголовке строки, кандидату, указанному в заголовке столбца.

Результат : С учетом выигрышных голосов и альтернативных вариантов разницы победитель Кондорсе А объявляется победителем Минимакса. Однако, используя альтернативу парного противостояния, C объявляется победителем, поскольку меньше избирателей решительно выступают против него в его худшем парном счете против A, чем против A в его худшем парном счете против B.

Пример без победителя Кондорсе

Предположим, что четыре кандидата A, B, C и D. Избирателям разрешено не рассматривать некоторых кандидатов (обозначая в таблице «нет данных»), так что их бюллетени не учитываются при подсчете парных оценок этих кандидатов.

30 избирателей	15 избирателей	14 избирателей	6 избирателей	4 избирателя	16 избирателей	14 избирателей	3 избирателя
1. А	1. Д	1. Д	1. Б	1. Д	1. С	1. Б	1. С
2. С	2. Б	2. Б	2. С	2. С	2. А и Б	2. С	2. А
3. Б	3. А	3. С	3. А	3. А и Б
4. Д	4. С	4. А	4. Д
					н/д Д	н/д А и D	н/д B и D

Результаты будут сведены в следующую таблицу:

Результаты парных выборов

		Х
		А	Б	С	Д
И	А		[Х] 35 [Д] 30	[Х] 43 [Д] 45	[Х] 33 [Д] 36
	Б	[Х] 30 [Д] 35		[Х] 50 [Д] 49	[Х] 33 [Д] 36
	С	[Х] 45 [Д] 43	[Х] 49 [Д] 50		[Х] 33 [Д] 36
	Д	[Х] 36 [Д] 33	[Х] 36 [Д] 33	[Х] 36 [Д] 33
Результаты парных выборов (выиграл-ничья-проиграл):		2-0-1	2-0-1	2-0-1	0-0-3
худшее парное поражение (победные голоса):		35	50	45	36
худшее парное поражение (разрыв):		5	1	2	3
худшая парная оппозиция:		43	50	49	36

• [X] обозначает избирателей, которые предпочли кандидата, указанного в заголовке столбца, кандидату, указанному в заголовке строки.
• [Y] указывает избирателей, которые предпочли кандидата, указанного в заголовке строки, кандидату, указанному в заголовке столбца.

Результат :Каждая из трех альтернатив дает еще одного победителя:

• альтернатива победивших голосов выбирает А в качестве победителя, поскольку она имеет наименьшее значение в 35 голосов для победителя при его самом большом поражении;
• альтернатива с перевесом выбирает победителем B , поскольку у него наименьшая разница голосов при его самом большом поражении;
• и парная оппозиция выбирает проигравшего по Кондорсе D победителем, поскольку он имеет наименьшее количество голосов среди самого большого противника во всех парных баллах.

См. также

• Минимакс - основная статья о минимаксе
• Голосование за нескольких победителей - содержит информацию о некоторых вариантах Minimax Condorcet с несколькими победителями.

Ссылки

• Левин, Джонатан и Барри Нейлбафф. 1995. «Введение в схемы подсчета голосов». Журнал экономических перспектив, 9 (1): 3–26.

Внешние ссылки

• Описание методов ранжированного голосования: Симпсон Роба ЛеГранда
• класса Condorcet PHP- библиотека , поддерживающая несколько методов Condorcet, включая три варианта метода Minimax.
• Электровики: минмакс