Правила голосования Фрагмена

Правила голосования Фрагмена — это правила голосования с несколькими победителями . Они позволяют избирателям голосовать за отдельных кандидатов, а не за партии, но при этом гарантируют пропорциональное представительство . Они были опубликованы Ларсом Эдвардом Фрагменом на французском и шведском языках в период с 1893 по 1899 год. ^{[ 1 ]} и переведен на английский Сванте Янсоном в 2016 году. ^{[ 2 ]}

Фон

При одобрительном голосовании с несколькими победителями каждый избиратель может проголосовать за одного или нескольких кандидатов, и цель состоит в том, чтобы выбрать фиксированное число k победителей (где k может быть, например, числом членов парламента). Вопрос в том, как определить набор победителей?

Самый простой метод — множественное голосование без права передачи , при котором k избираются кандидатов, получивших наибольшее количество одобрений. Но этот метод имеет тенденцию выбирать k кандидатов от самой крупной партии, оставляя более мелкие партии вообще без представительства.
В 19 веке было много дискуссий относительно избирательных систем, которые могли бы гарантировать пропорциональное представительство . Одним из решений, предложенным, например, Д'Ондтом в 1878 году, было голосование за партийные списки, а не за отдельных кандидатов. Это решение до сих пор очень распространено.

Фрагмен хотел сохранить голосование за отдельных кандидатов, чтобы избиратели могли одобрять кандидатов на основе их личных достоинств. В особом случае, когда каждый избиратель одобряет всех и только кандидатов одной партии, методы Фрагмена дают те же результаты, что и метод Д'Ондта. ^{[ 2 ]}^{: Раздел 11} Однако метод Фрагмена может обрабатывать более общие ситуации, в которых избиратели могут голосовать за кандидатов от разных партий (фактически метод игнорирует информацию о том, какой кандидат принадлежит к какой партии).

Правила Фрагмена для голосования по утверждению

Метод Фрагмена для неупорядоченных (одобрительных) бюллетеней можно представить несколькими эквивалентными способами. ^{[ 2 ]}^{: Раздел 3}

Балансировка нагрузки

Каждый избранный кандидат создает «нагрузку» в 1 единицу. Нагрузку кандидата должны нести избиратели, которые его поддерживают. Цель – найти комитет, нагрузку которого можно будет распределить между избирателями наиболее «сбалансированным» образом.

В зависимости от точного определения понятия «сбалансированный» возможны несколько правил: ^{[ 3 ]}

Leximax-Phragmen: Минимизация максимальной нагрузки, а при этом и второй максимальной нагрузки и т.д. (с использованием лексикографической макс-мин оптимизации ).
Лексимин-Фрагмен : Максимизация минимальной нагрузки и при этом второй минимальной нагрузки и т.д.
вар-Фрагмен или метод Эберта : минимизация дисперсии нагрузки.

Каждый из этих вариантов имеет два подварианта:

Вариант глобальной оптимизации , который обычно NP-трудно вычислить;
Последовательный вариант, в котором кандидаты выбираются последовательно, и на каждом ходу следующим избранным кандидатом является тот, кто достигает оптимальной меры среди всех кандидатов (т. е. жадный алгоритм ).

Исходный метод Phragmen — это последовательный метод, минимизирующий максимальную нагрузку, который в настоящее время известен как Seq-Phragmen . ^{[ 3 ]}

На практике лучшими аксиоматическими гарантиями в категории глобальной оптимизации являются правила leximax-Phragmen и var-Phragmen. Среди последовательных вариантов лучшие гарантии дает Seq-Phragmen.

Фрагмен проиллюстрировал свой метод, представляя каждого избирателя как сосуд. Уже избранные кандидаты представлены водой в сосудах. Для избрания другого кандидата необходимо налить в сосуды, соответствующие избирателям, проголосовавшим за этого кандидата, 1 литр воды. Вода должна распределяться таким образом, чтобы максимальная высота воды была как можно меньше.

Виртуальные деньги

Альтернативно Seq-Phragmen можно описать как следующий непрерывный процесс:

Каждый избиратель начинает с 0 виртуальных денег и получает деньги по постоянной ставке 1 в день.
В каждый момент времени t мы определяем еще не избранного кандидата x как доступного, если общая сумма денег, принадлежащих избирателям, одобряющим x, равна как минимум 1.
В первый раз, когда какой-то кандидат является доступным, мы выбираем одного доступного кандидата y произвольно . Мы добавляем y в комитет и обнуляем виртуальные деньги избирателей, которые одобряют y (поскольку они теперь «использовали» свои виртуальные деньги для финансирования y ).
Избиратели продолжают зарабатывать виртуальные деньги и финансировать кандидатов, пока не все k членов комитета. будут избраны

Примеры

Следующий простой пример напоминает голосование по партийным спискам. Имеется k=6 мест и 9 кандидатов, обозначенных a,b,c,d,e,f,g,h,i. 63 избирателя имеют следующие предпочтения: 31 избиратель одобряет a,b,c; 21 избиратель одобряет d,e,f; и 11 избирателей одобряют g,h,i.

Избиратели начинают зарабатывать деньги по фиксированной ставке 1 доллар в день. Через 1/31 дня (~0,0323 дня) каждый из 31 избирателя abc имеет по 0,0323, поэтому вместе они могут профинансировать одного из одобренных ими кандидатов. Один из a,b,c выбирается произвольно; предположим, что это а.
Через 1/21 дня (~0,0476 дня) у 31 избирателя abc есть только ~0,015 каждый, но у 21 избирателя def есть по 0,0476 каждый, поэтому вместе они могут профинансировать одного из утвержденных ими кандидатов. Один из d,e,f выбирается произвольно; предположим, что это д.
Через ~0,0646 дня избиратели abc снова имеют по 0,0323 каждый, поэтому они покупают еще одного из одобренных ими кандидатов, скажем, b.
Через 1/11 дня (~0,091 дня) избиратели ghi имеют по 0,091 каждый, поэтому вместе они могут финансировать одного из утвержденных ими кандидатов, скажем, g (на данный момент избиратели abc имеют только 0,0264 каждый, а избиратели def - 0,0434 каждый, поэтому никто из них не может выдвинуть другого кандидата).
Через 0,0952 дня у избирателей Def снова будет по 0,0476 каждый, так что они смогут купить другого кандидата, скажем, e.
Через день 0,0969 избиратели abc снова имеют по 0,0323 каждый, поэтому они могут купить другого кандидата, скажем, c.

Итоговый комитет — a,b,c; д, е; г. Обратите внимание, что каждая «партия» представлена примерно пропорционально ее численности: 3 кандидата на 31 избирателя, 2 кандидата на 21 избирателя и 1 кандидат на 11 избирателей.

Вот более сложный пример. Имеется k =3 места и 6 кандидатов, обозначенных A, B, C, P, Q, R. В бюллетенях: 1034 голоса за ABC, 519 голосов за PQR, 90 голосов за ABQ, 47 голосов за APQ. Победители выбираются последовательно следующим образом:

Сначала мы вычисляем для каждого кандидата необходимое значение t , чтобы кандидат мог получить общее количество голосов, равное 1. Это значение составляет 1/1171 для A (поскольку A появляется в 1171 бюллетене); 1/1124 для Б; 1/1034 для С; 1/566 для П; 1/656 для Q; 1/519 для R. Таким образом, A избирается первым.
Теперь мы перерассчитываем для каждого кандидата необходимое значение t , чтобы кандидат мог получить общее число голосов, равное 1, не забывая при этом вычитать 1/1171 из каждого избирателя, поддержавшего A. Требуемое значение для B равно 1. /1124+1/1171, поскольку 1124 избирателя одобряют B, и все они уже одобрили A. Аналогично, требуемое значение для C равно 1/1034+1/1171; для Q это 1/656+(137/656)/1171, поскольку 137 из 656 избирателей за Q уже проголосовали за A; для P это 1/566+(47/566)/1171; а для R это 1/519. Значение Q наименьшее, поэтому он выбирается вторым победителем.
Аналогично, B избирается третьим победителем.

Вычисление

Var-Phragmen и Leximax-Phragmen NP-трудно вычислить, даже если каждый агент одобряет двух кандидатов, а каждый кандидат одобряется тремя избирателями. Доказательство проводится путем редукции от Максимального независимого множества на кубических графах . ^{[ 3 ]}

Leximax-Phragmen можно вычислить с помощью последовательности не более 2 n смешанно-целочисленных линейных программ с O( nm + n ²) переменные каждая (где n — количество избирателей, m — количество кандидатов); см. Лексикографическая максим-минутная оптимизация .

Var-Phragmen можно вычислить путем решения одной квадратичной программы смешанных целых чисел с переменными O ( nm ).

Seq-Phragmen можно вычислить за полиномиальное время. Простое вычисление показывает, что время выполнения равно O( kmn ): существует k шагов (по одному для каждого избранного кандидата); на каждом этапе мы должны проверять всех кандидатов, чтобы увидеть, кто из них может получить финансирование; и для каждого кандидата мы должны проверить всех избирателей, чтобы увидеть, кто из них может его профинансировать. Однако, чтобы быть точными, нам нужно работать с рациональными числами, а их величина вырастает до k log n . Поскольку для вычислений в b битах может потребоваться O( b ²) время, общее время работы составляет O( k ³ мин. журнал ² н).

Правила Фрагмена для рейтингового голосования

Правила Phragmén обычно используются с бюллетенями одобрения (то есть голосованием за одобрение нескольких победителей ), но у них есть варианты, использующие ранжированные бюллетени (то есть голосование по рейтингу с несколькими победителями ). Адаптация Seq-Phragmen была предложена в 1913 году Королевской комиссией по пропорциональному методу выборов. Этот метод использовался на шведских выборах для распределения мест внутри партий с 1921 года. ^{[ 2 ]}^{: Раздел 9}

В адаптированной версии в каждом туре каждый избиратель фактически голосует только за оставшегося кандидата с наивысшим рейтингом. Опять же, когда кандидат избирается, его «нагрузка» в 1 единицу должна быть распределена между голосующими за него кандидатами (т.е. поставить его на первое место); распределение нагрузки должно минимизировать максимальную нагрузку избирателя.

Варианты

Партийное голосование

Для вечеринок можно использовать метод Фрагмена. Каждый избиратель может одобрить одну или несколько партий. Процедура такая же, как и раньше, за исключением того, что теперь каждую партию можно выбирать несколько раз – от 0 до общего количества кандидатов в партии. ^{[ 4 ]}

Совместное бюджетирование

Правило Seq-Phragmen было адаптировано к более общим условиям комбинаторного совместного составления бюджета . ^{[ 5 ]}

Дегрессивная и регрессивная пропорциональность

Яворский и Сковрон ^{[ 6 ]} построил класс правил, обобщающих seq-Phragmen для дегрессивной и регрессивной пропорциональности. Интуитивно:

Дегрессивная пропорциональность достигается путем предположения, что избиратели, у которых уже есть больше представителей, зарабатывают деньги медленнее, чем те, у которых их меньше;
Регрессивная пропорциональность реализуется путем предположения, что кандидаты, одобренные большим количеством избирателей, стоят меньше, чем те, которые получили меньшее одобрение.

Использование метода Фрагмена для ранжирования альтернатив

Метод последовательных фрагментов можно использовать не только для выбора подмножества, но и для создания ранжирования альтернатив в соответствии с порядком их выбора. Брилл и Израиль ^{[ 7 ]} распространите этот метод на динамические рейтинги . Благодаря онлайн-приложениям вопросов и ответов, ^{[ 8 ]} они предполагают, что некоторые кандидаты уже выбраны, и используют эту информацию при расчете рейтинга. Они предлагают две адаптации правила Фрагмена:

Динамические фрагмены: на каждом этапе перебирайте последовательность уже избранных кандидатов и делите их «стоимость» между их сторонниками. Это создает для каждого пользователя потенциальный «долг» — отрицательный баланс. Вычисление долгов можно выполнить за время O( mn ²), где m — количество кандидатов, а n — количество пользователей. Далее пользователи начинают накапливать деньги в обычном режиме: пользователь может начать покупать новых кандидатов только после того, как выплатит свой «долг». Пользователи покупают кандидатов последовательно, пока не будет рассчитан новый рейтинг. Новый рейтинг пропорционален. Вычисление новой последовательности может быть выполнено за время O( m ² н ²).
Близорукий Фрагмен: «долг» каждого пользователя рассчитывается как в Динамическом Фрагмене. Затем, вместо создания полного рейтинга путем запуска Sequential Phragmen, кандидаты ранжируются по сумме «долга», который они создадут перед пользователями. То есть: кандидаты ранжируются по их пригодности быть избранными следующими. Результирующий рейтинг не обязательно пропорционален (в частности, когда последовательность пуста, «Близорукий фрагмен» совпадает с утилитарным голосованием за одобрение ). Вычисление новой последовательности может быть выполнено за время O( mn ²).

Они анализируют свойства монотонности и справедливости этих адаптаций как теоретически, так и эмпирически.

Характеристики

Однородность

Для каждого возможного бюллетеня b пусть v _b — количество избирателей, проголосовавших ровно b (например: одобрили точно такой же набор кандидатов). Пусть p _b — доля избирателей, проголосовавших ровно b (= v _b / общее количество голосов). Метод голосования называется однородным , если он зависит только от фракций p _b . Таким образом, если все числа голосов умножить на одну и ту же константу, метод вернет тот же результат. В этом смысле методы Фрагмена однородны. ^{[ 2 ]}^{: Рем.2.1}

Независимость неизбранных кандидатов

Если в бюллетень добавлено какое-то количество кандидатов, но ни один из них не избран (даже если за некоторых из них проголосовали), то результат не меняется. ^{[ 2 ]}^{: Раздел 6} Это уменьшает один стимул для стратегических манипуляций: добавление «фиктивных» кандидатов для привлечения голосов.

Монотонность

Seq-Phragmén распределяет места одно за другим, что удовлетворяет свойству монотонности комитета : когда добавляется больше мест, набор победителей увеличивается (ни один победитель не теряет место). ^{[ 2 ]}^{: Раздел 5}

Они также удовлетворяют нескольким другим критериям монотонности . ^{[ 2 ]}^{: Раздел 14}

Для метода одобрения Фрагмена : если некий кандидат C избран, а затем кандидат C получает некоторое одобрение либо от новых избирателей, которые голосуют за C , либо от существующих избирателей, которые добавляют C в свои бюллетени, и никаких других изменений не происходит, C то все еще избран. Однако эта монотонность не распространяется на пары кандидатов, даже если они всегда появляются вместе. Например, возможно, что кандидаты C, D появятся вместе во всех бюллетенях и получат два места, но если для C, D будет добавлен еще один бюллетень, то они получат вместе только одно место (поэтому один из них потеряет место). ^{[ 2 ]}^{: Пр.14.4, 14.5} Аналогично, монотонность не сохраняется и в варианте с партиями: партия может получить больше одобрений, но при этом получить меньше мест. Например: ^{[ 4 ]}

Предположим, имеется k =3 места и 3 кандидата: a,b,c. Бюллетени следующие: 4 за a, 7 за b, 1 за a+b, 16 за a+c, 4 за b+c. Тогда избранный комитет — это {a,b,a}. Но если один из избирателей b одобрит и a (так что бюллетеней будет: 4 за a, 6 за b, 2 за a+b, 16 за a+c, 4 за b+c), то избранный комитет будет {а, в, б}. Итак, партия А получила одобрение, но потеряла место.

Для метода ранжированного голосования Фрагмена : если некий кандидат C избран, а затем кандидат C получает повышение в некоторых бюллетенях или получает несколько новых голосов, и никаких других изменений не происходит, то C все равно избирается. Однако если одновременно произойдут какие-то другие изменения, то C может потерять свое место. Например, возможно, что некоторые избиратели передумают и вместо того, чтобы голосовать за A и B, проголосуют за C и D, и это изменение приведет к тому, что C потеряет свое место. ^{[ 2 ]}^{: Пр.13.16}

Обоснованное представительство

Правило последовательных фрагментов удовлетворяет аксиоме, известной как пропорциональное обоснованное представление (PJR). ^{[ 3 ]} Это делает его одним из немногих методов, удовлетворяющих как PJR, так и монотонности.

Однако он не соответствует более сильной аксиоме, известной как расширенное обоснованное представление (EJR). Один из примеров приведен здесь: ^{[ 3 ]}

Всего 14 кандидатов: a, b, c1, ..., c12. Осталось заполнить 12 мест.
Всего 24 избирателя: два избирателя одобряют {a,b,c1}; два избирателя одобряют {a,b,c2}; 6 избирателей одобряют {c1,c2,...,c12}; 5 избирателей одобряют {c2,c3,...,c12); 9 избирателей одобряют {c3,c4,...,c12}.
Seq-Phragmen выбирает c1,...,c12. Это нарушает EJR для четырех избирателей, одобривших {a,b,c1} и {a,b,c2}: эта группа имеет 2 квоты и является 2-сплоченной, но ни у одного члена нет двух утвержденных победителей.

Здесь приведен еще один пример (для настройки сторон): ^{[ 9 ]}

Осталось заполнить 3 партии-кандидата и 10 мест.
Имеется 10 избирателей с наборами одобрений ab,ab,ab; переменный ток, переменный ток, переменный ток, переменный ток; до нашей эры, до нашей эры; б.
Seq-Phragmen выбирает (в момент времени 1/7); затем б; затем а, б, а, б, а, б, а, б.
Избиратели 1,2,3 одобряют все 10 кандидатов, а избиратели 4,...,10 одобряют только 5 кандидатов. Однако все группы избирателей 4,5,6,7,8,9 согласны с партией c, поэтому EJR требует, чтобы хотя бы один из них одобрил 6 кандидатов, поэтому EJR нарушается (обратите внимание, что PJR при этом не нарушается). группа, поскольку все 10 кандидатов одобрены хотя бы одним членом группы).

Seq-Phragmen также не соответствует другой, несовместимой аксиоме, называемой идеальным представлением (PER).

Var-Phragmen удовлетворяет требованиям PER, но не соответствует требованиям PJR и EJR (за исключением случая L=1).

Leximan-Phragmen удовлетворяет требованиям как PJR, так и PER, но все равно не соответствует требованиям EJR.

Последовательность

Методы Фрагмена не удовлетворяют критерию согласованности . Более того, они не игнорируют полные бюллетени: добавление избирателей, которые голосуют за всех кандидатов (и, следовательно, совершенно безразличны), может повлиять на результат. ^{[ 2 ]}^{: Пр.15.4, 15.6, 15.8, 15.9}

Особые случаи

При наличии одного места ( k =1):

Метод одобрительного голосования Фрагмена сводится к одобрительному голосованию - всегда выбирается кандидат, получивший наибольшее количество одобрений.
Метод ранжированного голосования Фрагмена сводится к множественному голосованию - он всегда выбирает кандидата, занявшего первое место по наибольшему числу избирателей.

Дальнейшее чтение

Более подробную информацию о методах Фрагмена можно получить по адресу. ^{[ 10 ]}
Математические свойства методов Фрагмена и методов Тиле. ^{[ 11 ]}
Методы Энестрома и Фрагмена. ^{[ 12 ]}

Внедрения и демонстрации

Некоторые правила голосования Phragmén реализованы в пакете Python abcvoting .
Некоторые правила голосования Фрагмена можно опробовать онлайн на сайте pref.tools .
Как простые, так и сложные версии. ^{[ 13 ]}^{[ 14 ]} используются в основе криптовалюты Polkadot . ^{[ 15 ]}

Обобщения

Мотамед, Соетеман, Рей и Эндрисс ^{[ 16 ]} представить последовательный механизм балансировки нагрузки , который обобщает правило Фрагмена на совместное составление бюджета с несколькими ресурсами.

См. также

Ссылки

^ 1. «О пропорциональных выборах». (Конспект публичной лекции). Стокгольмский дагблад, 14 марта 1893 года. 2. «Sur une méthode nouvelle pour r’ealiser, dansles’elections, la représentation of partis». ̈Очевидно, Конгл. Труды Шведской академии наук 1894 г., № 3, Стокгольм, 133–137. 3. «Пропорциональные выборы. Исследование избирательной техники». Свенскасп Орсм 25, Ларс Хокерсбергс форлаг, Стокгольм, 1895 г. 4. «Sur la theorie des множественных выборов», Предложено Kongl. Известия Академии наук 1896, № 3, Стокгольм, 181–191. 5. «К вопросу о пропорциональном методе выборов». Стацветенскаплиг Тидскрифт 2 (1899), вып. 2, 297–305. http://cts.lub.lu.se/ojs/index.php/st/article/view/1949
^ Jump up to: ^а ^б ^с ^д ^и ^ж ^г ^час ^я ^дж ^к Янсон, Сванте (12 октября 2018 г.). «Методы выборов Фрагмена и Тиле». arXiv : 1611.08826 [ math.HO ].
^ Jump up to: ^а ^б ^с ^д ^и Брилл, Маркус; Фриман, Руперт; Янсон, Сванте; Лакнер, Мартин (06 марта 2023 г.). «Методы голосования Фрагмена и оправданное представительство» . Математическое программирование . 203 (1–2): 47–76. arXiv : 2102.12305 . дои : 10.1007/s10107-023-01926-8 . ISSN 1436-4646 . ПМЦ 10858002 . ПМИД 38344413 .
^ Jump up to: ^а ^б Мора, Ксавьер; Оливер, Мария (28 июля 2015 г.). «Выборы утвердительным голосованием. Метод Фрагмена и некоторые варианты» . Бюллетень Каталонского математического общества (на каталанском языке). 30 (1): 57–101. ISSN 2013-9829 .
^ Лос, Мааике; Кристофф, Зои; Гросси, Давиде (2022). «Пропорциональное распределение бюджета: на пути к систематизации». arXiv : 2203.12324 [ cs.GT ].
^ Яворски, Михал; Сковрон, Петр (2022). «Правила Фрагмена для дегрессивной и регрессивной пропорциональности». arXiv : 2201.04248 [ cs.GT ].
^ Израиль, Йонас; Брилл, Маркус (2021). «Динамический пропорциональный рейтинг». arXiv : 2105.08043 [ cs.GT ].
^ Приложения для вопросов и ответов, такие как слайдо , ментиметр , прямая трансляция или разговор .
^ Чандак, Нихил; Гоэль, Шашват; Петерс, Доминик (2023). «Пропорциональное агрегирование предпочтений для последовательного принятия решений». arXiv : 2306.14858 [ cs.GT ].
^ Петерс, Доминик; Сковрон, Петр (13 июля 2020 г.). «Пропорциональность и пределы благосостояния» . Материалы 21-й конференции ACM по экономике и вычислениям . ЕС '20. Нью-Йорк, штат Нью-Йорк, США: Ассоциация вычислительной техники. стр. 793–794. arXiv : 1911.11747 . дои : 10.1145/3391403.3399465 . ISBN 978-1-4503-7975-5 . S2CID 208291203 .
^ Янсон, Сванте; Оберг, Андерс (2017). «Кусочно-сжимающая динамическая система и методы выборов». arXiv : 1709.06398 [ math.DS ].
^ Кэмпс, Роза; Мора, Ксавьер; Саумелл, Лайя (2019). «Метод Энестрема и Фрагмена для парламентских выборов путем одобрительного голосования». arXiv : 1907.10590 [ econ.TH ].
^ «консенсус/NPoS у мастера · w3f/консенсус» . Гитхаб . 17 октября 2021 г.
^ https://aaai.org/ocs/index.php/AAAI/AAAI17/paper/download/14757/13791 ^{[ только URL-адрес PDF ]}
^ «Метод последовательных фрагментов · Polkadot Wiki» . wiki.polkadot.network . 30 июня 2023 г.
^ Мотамед, Нима; Соетеман, Арье; Рей, Саймон; Эндрисс, Улле (2022). «Совместное бюджетирование с использованием нескольких ресурсов» . В Баумайстере, Доротея; Роте, Йорг (ред.). Мультиагентные системы . Конспекты лекций по информатике. Чам: Международное издательство Springer. стр. 330–347. дои : 10.1007/978-3-031-20614-6_19 . ISBN 978-3-031-20614-6 . S2CID 252357719 .

[1] 1. «О пропорциональных выборах». (Конспект публичной лекции). Стокгольмский дагблад, 14 марта 1893 года. 2. «Sur une méthode nouvelle pour r’ealiser, dansles’elections, la représentation of partis». ̈Очевидно, Конгл. Труды Шведской академии наук 1894 г., № 3, Стокгольм, 133–137. 3. «Пропорциональные выборы. Исследование избирательной техники». Свенскасп Орсм 25, Ларс Хокерсбергс форлаг, Стокгольм, 1895 г. 4. «Sur la theorie des множественных выборов», Предложено Kongl. Известия Академии наук 1896, № 3, Стокгольм, 181–191. 5. «К вопросу о пропорциональном методе выборов». Стацветенскаплиг Тидскрифт 2 (1899), вып. 2, 297–305. http://cts.lub.lu.se/ojs/index.php/st/article/view/1949

[:0-2] Jump up to: ^а ^б ^с ^д ^и ^ж ^г ^час ^я ^дж ^к Янсон, Сванте (12 октября 2018 г.). «Методы выборов Фрагмена и Тиле». arXiv : 1611.08826 [ math.HO ].

[:2-3] Jump up to: ^а ^б ^с ^д ^и Брилл, Маркус; Фриман, Руперт; Янсон, Сванте; Лакнер, Мартин (06 марта 2023 г.). «Методы голосования Фрагмена и оправданное представительство» . Математическое программирование . 203 (1–2): 47–76. arXiv : 2102.12305 . дои : 10.1007/s10107-023-01926-8 . ISSN 1436-4646 . ПМЦ 10858002 . ПМИД 38344413 .

[:1-4] Jump up to: ^а ^б Мора, Ксавьер; Оливер, Мария (28 июля 2015 г.). «Выборы утвердительным голосованием. Метод Фрагмена и некоторые варианты» . Бюллетень Каталонского математического общества (на каталанском языке). 30 (1): 57–101. ISSN 2013-9829 .

[:8-5] Лос, Мааике; Кристофф, Зои; Гросси, Давиде (2022). «Пропорциональное распределение бюджета: на пути к систематизации». arXiv : 2203.12324 [ cs.GT ].

[6] Яворски, Михал; Сковрон, Петр (2022). «Правила Фрагмена для дегрессивной и регрессивной пропорциональности». arXiv : 2201.04248 [ cs.GT ].

[7] Израиль, Йонас; Брилл, Маркус (2021). «Динамический пропорциональный рейтинг». arXiv : 2105.08043 [ cs.GT ].

[8] Приложения для вопросов и ответов, такие как слайдо , ментиметр , прямая трансляция или разговор .

[:7-9] Чандак, Нихил; Гоэль, Шашват; Петерс, Доминик (2023). «Пропорциональное агрегирование предпочтений для последовательного принятия решений». arXiv : 2306.14858 [ cs.GT ].

[10] Петерс, Доминик; Сковрон, Петр (13 июля 2020 г.). «Пропорциональность и пределы благосостояния» . Материалы 21-й конференции ACM по экономике и вычислениям . ЕС '20. Нью-Йорк, штат Нью-Йорк, США: Ассоциация вычислительной техники. стр. 793–794. arXiv : 1911.11747 . дои : 10.1145/3391403.3399465 . ISBN 978-1-4503-7975-5 . S2CID 208291203 .

[11] Янсон, Сванте; Оберг, Андерс (2017). «Кусочно-сжимающая динамическая система и методы выборов». arXiv : 1709.06398 [ math.DS ].

[12] Кэмпс, Роза; Мора, Ксавьер; Саумелл, Лайя (2019). «Метод Энестрема и Фрагмена для парламентских выборов путем одобрительного голосования». arXiv : 1907.10590 [ econ.TH ].

[13] «консенсус/NPoS у мастера · w3f/консенсус» . Гитхаб . 17 октября 2021 г.

[14] ttps://aaai.org/ocs/index.php/AAAI/AAAI17/paper/download/14757/13791 ^{[ только URL-адрес PDF ]}

[15] «Метод последовательных фрагментов · Polkadot Wiki» . wiki.polkadot.network . 30 июня 2023 г.

[16] Мотамед, Нима; Соетеман, Арье; Рей, Саймон; Эндрисс, Улле (2022). «Совместное бюджетирование с использованием нескольких ресурсов» . В Баумайстере, Доротея; Роте, Йорг (ред.). Мультиагентные системы . Конспекты лекций по информатике. Чам: Международное издательство Springer. стр. 330–347. дои : 10.1007/978-3-031-20614-6_19 . ISBN 978-3-031-20614-6 . S2CID 252357719 .

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]

[ 6 ]

[ 7 ]

[ 8 ]

[ 9 ]

[ 10 ]

[ 11 ]

[ 12 ]

[ 13 ]

[ 14 ]

[ 15 ]

[ 16 ]