Теорема Маккелви – Шофилда о хаосе

Теорема Маккелви -Шофилда о хаосе является результатом теории социального выбора . В нем говорится, что если предпочтения определяются в многомерном политическом пространстве, то правило большинства в целом нестабильно: победителя по Кондорсе не существует . Более того, в любую точку пространства можно попасть из любой другой точки с помощью последовательности голосов большинства.

Эту теорему можно рассматривать как показывающую, что теорема невозможности Эрроу справедлива, когда предпочтения ограничены вогнутостью в $\mathbb {R} ^{n}$ . Теорема о медианном избирателе показывает, что, когда предпочтения ограничены одним пиком на реальной линии, теорема Эрроу не выполняется, и идеальной точкой для медианного избирателя является победитель Кондорсе. Теорема хаоса показывает, что эта хорошая новость не сохраняется во многих измерениях.

Определения

Теорема рассматривает конечное число избирателей $n$ , которые голосуют за политику, представленную в виде точек в евклидовом пространстве размерности $m$ . Каждое голосование проводится между двумя политиками с использованием правила большинства . Каждый избиратель $i$ имеет полезности функцию $U i$ , которая измеряет, насколько он ценит ту или иную политику. ^{[ нужны разъяснения ]}

Евклидовы предпочтения

Ричард Маккелви рассмотрел случай, когда предпочтения являются «евклидовой метрикой». ^{[ 1 ]} Это означает, что функция полезности каждого избирателя имеет вид $U_{i}(x)=\Phi _{i}\cdot d(x,x_{i})$ для всех политик $x$ и некоторых $x i$ , где $d$ — евклидово расстояние , а $\Phi _{i}$ — монотонно убывающая функция.

В этих условиях может существовать набор политик, в которых не будет победителя Кондорсе, использующего правило большинства. Это означает, что при наличии ряда стратегий $X a$ , $X b$ , $X c$ может быть проведена серия парных выборов, где:

$X a$ побеждает $X b$
$X b$ побеждает $X c$
$X c$ побеждает $X a$

Маккелви доказал, что выборы могут быть еще более «хаотичными»: если не будет равновесного результата ^{[ нужны разъяснения ]} тогда любые две политики, например $A$ и $B$ , имеют последовательность политик, $X_{1},X_{2},...,X_{s}$ , где каждый попарно побеждает другого в серии выборов, что означает:

$А$ побеждает $Х 1$
$Х 1$ побеждает $Х 2$
...
$X s$ побеждает $B$

Это верно независимо от того, $ли A$ победит $B$ или наоборот .

Пример

Самый простой иллюстративный пример — в двух измерениях с тремя избирателями. Тогда каждый избиратель будет иметь максимально предпочтительную политику, а любая другая политика будет иметь соответствующую круговую кривую безразличия с центром в предпочтительной политике. Если бы политика была предложена, то любая политика на пересечении двух кривых безразличия избирателей превзошла бы ее. Любая точка плоскости почти всегда будет иметь набор точек, которым отдают предпочтение 2 из 3 избирателей.

Обобщения

Норман Шофилд распространил эту теорему на более общие классы функций полезности, потребовав лишь того, чтобы они были дифференцируемыми . Он также создал условия для существования направленного непрерывного пути политики, где каждая политика, идущая дальше по этому пути, будет побеждать другую, предыдущую. ^{[ 2 ]}^{[ 3 ]} Некоторые из доказательств Шофилда позже были признаны неверными Джеффри С. Бэнксом, который исправил его доказательства. ^{[ 4 ]}^{[ 5 ]}

Ссылки

^ Маккелви, Ричард Д. (июнь 1976 г.). «Нетранзитивность в многомерных моделях голосования и некоторые последствия для контроля над повесткой дня». Журнал экономической теории . 12 (3): 472–482. дои : 10.1016/0022-0531(76)90040-5 .
^ Шофилд, Н. (1 октября 1978 г.). «Неустойчивость простых динамических игр». Обзор экономических исследований . 45 (3): 575–594. дои : 10.2307/2297259 . JSTOR 2297259 .
^ Кокс, Гэри В .; Шепсл, Кеннет А. (2007). «Велоспорт большинства и манипулирование повесткой дня: вклад и наследие Ричарда МакКелви». В Олдриче, Джон Герберт; Альт, Джеймс Э.; Лупия, Артур (ред.). Позитивные изменения в политической науке . Аналитический взгляд на политику. Анн-Арбор, Мичиган: Издательство Мичиганского университета. стр. 20–23. ISBN 978-0-472-06986-6 .
^ Бэнкс, Джеффри С. (1 января 1995 г.). «Теория особенностей и существование ядра в пространственной модели» . Журнал математической экономики . 24 (6): 523–536. дои : 10.1016/0304-4068(94)00704-E . ISSN 0304-4068 .
^ Саари, Дональд Г. (2008). «Избавьте нас от множественного голосования». Избавление от диктаторов, демистификация парадоксов голосования: анализ социального выбора . Кембридж, Нью-Йорк: Издательство Кембриджского университета . ISBN 978-0-521-51605-1 . ОСЛК 227031682 .

Эта экономической теории, статья, посвященная незавершена . Вы можете помочь Википедии, расширив ее .

[1] Маккелви, Ричард Д. (июнь 1976 г.). «Нетранзитивность в многомерных моделях голосования и некоторые последствия для контроля над повесткой дня». Журнал экономической теории . 12 (3): 472–482. дои : 10.1016/0022-0531(76)90040-5 .

[2] Шофилд, Н. (1 октября 1978 г.). «Неустойчивость простых динамических игр». Обзор экономических исследований . 45 (3): 575–594. дои : 10.2307/2297259 . JSTOR 2297259 .

[3] Кокс, Гэри В .; Шепсл, Кеннет А. (2007). «Велоспорт большинства и манипулирование повесткой дня: вклад и наследие Ричарда МакКелви». В Олдриче, Джон Герберт; Альт, Джеймс Э.; Лупия, Артур (ред.). Позитивные изменения в политической науке . Аналитический взгляд на политику. Анн-Арбор, Мичиган: Издательство Мичиганского университета. стр. 20–23. ISBN 978-0-472-06986-6 .

[4] Бэнкс, Джеффри С. (1 января 1995 г.). «Теория особенностей и существование ядра в пространственной модели» . Журнал математической экономики . 24 (6): 523–536. дои : 10.1016/0304-4068(94)00704-E . ISSN 0304-4068 .

[5] Саари, Дональд Г. (2008). «Избавьте нас от множественного голосования». Избавление от диктаторов, демистификация парадоксов голосования: анализ социального выбора . Кембридж, Нью-Йорк: Издательство Кембриджского университета . ISBN 978-0-521-51605-1 . ОСЛК 227031682 .

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]