Теорема о медианном избирателе

Теорему, доказывающую стратегическую устойчивость медианы на одномерных выборах, см. в разделе Медианный механизм .

В политологии и социального выбора теории Блэка теорема о медианном избирателе гласит, что если избиратели и кандидаты распределены по одномерному спектру и избиратели имеют однопиковые предпочтения , любой метод голосования, удовлетворяющий критерию Кондорсе, выберет кандидата, которого предпочитает медианный избиратель.

Таким образом, теорема о медианном избирателе служит двум важным целям:

1. Он показывает, что при реалистичной модели поведения избирателей теорема Эрроу неприменима и рациональный социальный выбор фактически возможен (с помощью методов Кондорсе ).
2. Это оправдывает свойство медианного избирателя — критерий системы голосования, обобщающий теорему о медианном избирателе, которая гласит, что избирательные системы должны выбирать кандидата, который больше всего нравится медианному избирателю, когда применяются условия теоремы о медианном избирателе.

Мгновенное второе голосование и большинство не соответствуют критерию, тогда как голосование за одобрение Метод Кумбса и все методы Кондорсе. удовлетворить это. Голосование по баллам соответствует свойству стратегического и информированного голосования (где оно эквивалентно голосованию за одобрение ), или если рейтинги кандидатов избирателями падают линейно с идеологической дистанцией. Системы, которые не соответствуют критерию медианного избирателя, демонстрируют феномен сжатия центра , поощряя экстремизм, а не умеренность.

Аналогичное утверждение было сделано ранее (в 1929 году) Гарольдом Хотеллингом , который утверждал, что политики в представительной демократии сойдутся на точке зрения среднего избирателя: основываясь на своей модели экономической конкуренции . Однако это утверждение основано на глубоко упрощенной модели голосования и лишь частично применимо к системам, удовлетворяющим медианному свойству избирателя. Его вообще невозможно применить к таким системам, как мгновенное голосование или плюрализм, даже в двухпартийных системах.

Формулировка и доказательство теоремы

Рассмотрим группу избирателей, которым необходимо выбрать одного из двух или более кандидатов. Для простоты предположим, что число избирателей нечетное.

Выборы одномерны . Это означает, что мнения как кандидатов, так и избирателей распределяются по одномерному спектру, и каждый избиратель ранжирует кандидатов в порядке близости, так что кандидат, наиболее близкий к избирателю, получает первое предпочтение, следующий, ближайший к избирателю, получает второе. предпочтения и так далее.

Победителем Кондорсе является кандидат, которому большинство избирателей отдает предпочтение перед любым другим кандидатом. В общем, победителя Кондорсе могло не существовать. Теорема о медианном избирателе гласит, что:

1. На одномерных выборах победитель Кондорсе всегда существует.
2. Победителем Кондорсе является кандидат, наиболее близкий к медианному избирателю.

В приведенном выше примере медианный избиратель обозначен буквой M, а ближайший к нему кандидат — C, поэтому теорема о медианном избирателе говорит, что C — победитель Кондорсе. Отсюда следует, что Чарльз выиграет любые выборы, проведенные с использованием метода, удовлетворяющего критерию Кондорсе. В частности, когда есть только два кандидата, правило большинства удовлетворяет критерию Кондорсе; для многостороннего голосования ему удовлетворяют несколько методов (см. метод Кондорсе ).

доказательства Эскиз : пусть медианным избирателем будет Марлен. Кандидат, который ближе всего к ней, получит ее первый голос предпочтения. Предположим, что этим кандидатом является Чарльз и что он лежит слева от нее. Тогда Марлен и все избиратели слева от нее (составляющие большинство избирателей) предпочтут Чарльза всем кандидатам справа от него, а Марлен и все избиратели справа от нее предпочтут Чарльза всем кандидатам слева от него.

Расширения

• Теорема также применима, когда число избирателей четное, но детали зависят от того, как разрешаются ничьи.
• Предположение о том, что предпочтения расположены в порядке близости, можно смягчить, сказав просто, что они однопиковые .
• Предположение о том, что мнения лежат вдоль реальной линии, можно ослабить, чтобы обеспечить более общие топологии.
• Пространственные/валентные модели: предположим, что каждый кандидат имеет валентность (привлекательность) в дополнение к его или ее положению в пространстве, и предположим, что избиратель i ранжирует кандидатов j в порядке убывания v _j – d _ij , где v _j – j валентность . и d _ij — расстояние от i до j . Тогда теорема о медианном избирателе по-прежнему применима: методы Кондорсе будут выбирать кандидата, за которого проголосовал медианный избиратель.

История

Теорема была впервые сформулирована Дунканом Блэком в 1948 году. Он писал, что видит большой пробел в экономической теории относительно того, как голосование определяет результат решений, включая политические решения. Статья Блэка положила начало исследованию того, как экономика может объяснить системы голосования. В 1957 году Энтони Даунс изложил теорему о медианном избирателе в своей книге «Экономическая теория демократии» .

Медианная собственность избирателя

Мы будем говорить, что метод голосования обладает «свойством медианного избирателя в одном измерении», если он всегда выбирает кандидата, наиболее близкого к медианному избирателю, в рамках одномерной пространственной модели. Мы можем резюмировать теорему о медианном избирателе, сказав, что все методы Кондорсе обладают свойством медианного избирателя в одном измерении.

Оказывается, методы Кондорсе в этом не уникальны: метод Кумбса не является последовательным по Кондорсе, но, тем не менее, удовлетворяет свойству медианного избирателя в одном измерении. Голосование за одобрение удовлетворяет одному и тому же свойству в рамках нескольких моделей стратегического голосования.

Расширения до более высоких измерений

В общем, невозможно обобщить теорему о медианном избирателе на пространственные модели более чем в одном измерении, хотя это возможно при некоторых ограниченных условиях.

Необобщение

Пример Саари, где победитель Кондорсе не является кандидатом, наиболее близким к медианному избирателю.

Рейтинг	Голоса
АВС	30
БАК	29
ТАКСИ	10
БСА	10
АКВ	1
ЦБА	1

	Количество избирателей
А > Б	41:40
А > С	60:21
Б > С	69:12
Общий	81

В таблице слева показан пример выборов, приведенных маркизом де Кондорсе , который пришел к выводу, что они выявили проблемы с подсчетом голосов в Борде . Победителем Кондорсе слева является игрок А, который предпочтительнее B со счетом 41:40 и C со счетом 60:21. Вместо этого победителем Борды становится B. Однако Дональд Саари строит пример в двух измерениях, где именно счет Борда правильно идентифицирует кандидата, ближайшего к центру (как определяется геометрической медианой ).

На диаграмме показана возможная конфигурация избирателей и кандидатов в соответствии с бюллетенями для голосования, при этом избиратели расположены на окружности единичного круга. В этом случае среднее абсолютное отклонение у A составляет 1,15, тогда как у B — 1,09 (а у C — 1,70), что делает B пространственным победителем.

Таким образом, выборы неоднозначны, поскольку два разных пространственных представления предполагают двух разных оптимальных победителей. Это та двусмысленность, которую мы стремились избежать ранее, приняв медианную метрику для пространственных моделей; но хотя медианная метрика достигает своей цели в одном измерении, это свойство не распространяется полностью на более высокие измерения.

Всенаправленные медианы

Теорема о медианном избирателе в двух измерениях

Несмотря на этот результат, теорема о медианном избирателе может быть применена к распределениям, которые являются вращательно-симметричными, например, к гауссианам , которые имеют одну медиану, одинаковую во всех направлениях. Всякий раз, когда распределение избирателей имеет уникальную медиану во всех направлениях и избиратели ранжируют кандидатов в порядке близости, применяется теорема о медиане избирателя: кандидат, наиболее близкий к медиане, будет иметь преимущество большинства над всеми своими соперниками и будет избран. любым методом голосования, удовлетворяющим медианному свойству избирателя в одном измерении.

Отсюда следует, что все методы Кондорсе, а также метод Кумбса, удовлетворяют свойству медианного избирателя в пространствах любой размерности для распределений избирателей со всенаправленными медианами.

Легко построить распределение избирателей, не имеющее медианы по всем направлениям. Самый простой пример состоит из распределения, ограниченного тремя точками, не лежащими на прямой линии, например 1, 2 и 3 на второй диаграмме. Каждое местоположение избирателя совпадает с медианой при определенном наборе одномерных прогнозов. Если кандидатами являются A, B и C, то «1» проголосует за ABC, «2» проголосует за BCA, а «3» проголосует за CAB, что дает цикл Кондорсе. Это предмет теоремы МакКелви-Шофилда .

Доказательство . См. диаграмму, на которой серый диск представляет равномерное распределение избирателей по кругу, а M — медиану во всех направлениях. Пусть A и B — два кандидата, из которых A ближе к медиане. Тогда избиратели, имеющие рейтинг A выше B, — это именно те избиратели, которые находятся слева (т. е. со стороны «A») от сплошной красной линии; и поскольку A находится ближе, чем B к M, медиана также находится левее этой линии.

Распределение без медианы во всех направлениях

Теперь, поскольку M является медианой во всех направлениях, она совпадает с одномерной медианой в частном случае направления, показанного синей стрелкой, которое перпендикулярно сплошной красной линии. Таким образом, если мы проведем через М ломаную красную линию, перпендикулярную синей стрелке, то можно сказать, что половина избирателей лежит левее этой линии. Но поскольку эта линия сама находится слева от сплошной красной линии, из этого следует, что более половины избирателей получат рейтинг A выше B.

Связь между медианой во всех направлениях и геометрической медианой

Всякий раз, когда существует уникальная всенаправленная медиана, она определяет результат методов голосования Кондорсе. В то же время геометрическую медиану можно смело назвать идеальным победителем выборов с рейтинговым предпочтением (см. сравнение избирательных систем ). Поэтому важно знать взаимосвязь между ними. Фактически, когда медиана во всех направлениях существует (по крайней мере, в случае дискретных распределений), она совпадает с геометрической медианой.

Схема к лемме

Лемма . Всякий раз, когда дискретное распределение имеет медиану M во всех направлениях, точки данных, не расположенные в M, должны находиться в сбалансированных парах ( A , A ') по обе стороны от M со свойством, что A – M – A ' является прямой линией ( т.е. не так, как A ₀ – M – A ₂ на диаграмме).

Доказательство . Этот результат был алгебраически доказан Чарльзом Плоттом в 1967 году. Здесь мы даем простое геометрическое доказательство от противного в двух измерениях.

Предположим, наоборот, что существует набор точек Ai _, для которых M является медианой во всех направлениях, но для которых точки, не совпадающие с M, не входят в сбалансированные пары. Тогда мы можем удалить из этого множества любые точки в М и любые сбалансированные пары вокруг М , при этом М не перестанет быть медианой в любом направлении; поэтому M остается всенаправленной медианой.

Если количество оставшихся точек нечетное, то мы легко можем провести через M линию такую, что большинство точек лежит по одну сторону от нее, что противоречит свойству медианы M .

Если число четное, скажем 2 n , то мы можем пометить точки A ₀ , A ₁ ,... по часовой стрелке относительно M, начиная с любой точки (см. диаграмму). образованный дугой от M – A ₀ до M – An   _{Пусть θ — угол ,}   . Тогда, если θ <180°, как показано, мы можем провести линию, похожую на прерывистую красную линию, через M , на одной стороне которой находится большинство точек данных, что снова противоречит медианному свойству M ; тогда как если θ > 180 °, то же самое относится к большинству точек на другой стороне. А если θ = 180°, то образуют _{сбалансированную} пару ,   _{A 0 и An} что противоречит другому предположению.

Теорема . Всякий раз, когда дискретное распределение имеет медиану M во всех направлениях, она совпадает со своей геометрической медианой.

Доказательство . Сумма расстояний от любой точки P до набора точек данных в сбалансированных парах ( A , A ') представляет собой сумму длин A – P – A '. Каждая отдельная длина этой формы минимизируется по P, линия прямая, как это происходит, когда P совпадает с M. когда Сумма расстояний от P до любых точек данных, расположенных в M, также минимизируется, когда P и M совпадают. Таким образом, сумма расстояний от точек данных до P минимизируется, когда P совпадает с M .

Модель медианного избирателя Хотеллинга-Даунса

Сходное наблюдение рассматривалось Гарольдом Хотеллингом как его «принцип минимальной дифференциации», также известный как « закон Хотеллинга ». В нем говорится, что если:

1. Кандидаты выбирают идеологические позиции исключительно с намерением победить на выборах (а не исходя из своих реальных убеждений).
2. Все остальные критерии теоремы о медианном избирателе соблюдены (т.е. избиратели ранжируют кандидатов по идеологической дистанции),
3. Система голосования удовлетворяет критерию медианного избирателя,

Тогда все политики сойдутся к медианному избирателю. В качестве особого случая этот закон применяется к ситуации, когда в гонке участвуют ровно два кандидата, если невозможно или маловероятно, что к гонке присоединятся еще какие-либо кандидаты, поскольку простое большинство голосов между двумя альтернативами удовлетворяет критерию Кондорсе .

Эта теорема была впервые описана Хотеллингом в 1929 году. На практике ни одно из этих условий не выполняется для современных американских выборов, хотя они могли иметь место во времена Хотеллинга (когда кандидатами были публично неизвестные кандидаты, выбранные закрытыми партийными собраниями в идеологически различных партиях). Самое главное, чтобы политики были выбраны в качестве кандидатов от основной партии, они должны победить на первичных выборах , в которых часто участвуют претенденты или конкуренты. В результате политики должны найти компромисс между обращением к медианному избирателю в первичном и общем электорате. Подобные эффекты подразумевают, что кандидаты не сходятся с медианным избирателем в избирательных системах , которые не удовлетворяют теореме о медианном избирателе, включая множественное голосование , плюралистическое голосование с праймериз , множественное число с вторым туром или второй тур с ранжированным выбором (RCV) .

Использование теоремы о медианном избирателе

Теорема ценна тем, что она проливает свет на оптимальность (и пределы оптимальности) некоторых систем голосования.

Валерио Дотти указывает на более широкие области применения:

Теорема о медианном избирателе оказалась чрезвычайно популярной в литературе по политической экономии. Основная причина заключается в том, что его можно использовать для получения проверяемых выводов о взаимосвязи между некоторыми характеристиками голосующего населения и результатами политики, абстрагируясь от других особенностей политического процесса.

Он добавляет, что...

Медианный результат избирателя был применен к невероятному множеству вопросов. Примерами могут служить анализ взаимосвязи между неравенством доходов и размером государственного вмешательства в политику перераспределения (Meltzer and Richard, 1981), изучение детерминантов иммиграционной политики (Разин и Садка, 1999), степени налогообложения различных видов доходов (Бассетто и Бенхабиб, 2006), и многое другое.

См. также

• Теорема невозможности Эрроу
• Теорема Маккелви – Шофилда о хаосе
• Медианный механизм
• Рейтинговое голосование
• Правило медианного голосования

Дальнейшее чтение

• Бьюкенен, Джеймс М.; Толлисон, Роберт Д. (1984). Теория общественного выбора . Том. II. Анн-Арбор: Издательство Мичиганского университета. ISBN  0472080415 .
• Клинтон, Джошуа Д. (2006). «Представительство в Конгрессе: избиратели и поименные выборы в 106-й палате». Журнал политики . 68 (2): 397–409. дои : 10.1111/j.1468-2508.2006.00415.x .
• Конглтон, Роджер (2003). «Модель медианного избирателя» (PDF) . В Роули, СК; Шнайдер, Ф. (ред.). Энциклопедия общественного выбора . Клювер Академик Пресс. ISBN  978-0-7923-8607-0 .
• Дасгупта, Парта и Эрик Маскин, «О надежности правления большинства», Журнал Европейской экономической ассоциации, 2008 г.
• Даунс, Энтони (1957). «Экономическая теория политического действия в демократии». Журнал политической экономии . 65 (2): 135–150. дои : 10.1086/257897 . S2CID   154363730 .
• Холкомб, Рэндалл Г. (1980). «Эмпирический тест модели медианного избирателя». Экономическое расследование . 18 (2): 260–275. дои : 10.1111/j.1465-7295.1980.tb00574.x .
• Холкомб, Рэндалл Г.; Собел, Рассел С. (1995). «Эмпирические данные о гласности законодательной деятельности государства». Общественный выбор . 83 (1–2): 47–58. дои : 10.1007/BF01047682 . S2CID   44831293 .
• Хастед, Томас А.; Кенни, Лоуренс В. (1997). «Влияние расширения избирательного права на размер правительства». Журнал политической экономии . 105 (1): 54–82. дои : 10.1086/262065 . S2CID   41897793 .
• Кребиэль, Кейт (2004). «Законодательная организация» . Журнал экономических перспектив . 18 (1): 113–128. дои : 10.1257/089533004773563467 . S2CID   249607866 .
• Маккелви, Ричард Д. (1976). «Нетранзитивы в многомерных моделях голосования и некоторые последствия для контроля над повесткой дня». Журнал экономической теории . 12 (3): 472–482. дои : 10.1016/0022-0531(76)90040-5 .
• Шуммер, Джеймс; Вохра, Ракеш В. (2013). «Проектирование механизмов без денег». В Нисане Ноам; Рафгарден, Тим; Тардос, Ева; Вазирани, Виджай (ред.). Алгоритмическая теория игр . Нью-Йорк: Издательство Кембриджского университета. стр. 246–252. ISBN  978-0-521-87282-9 .
• Райс, Том В. (1985). «Рассмотрение гипотезы медианного избирателя». Западный политический ежеквартальный журнал . 38 (2): 211–223. дои : 10.2307/448625 . JSTOR   448625 .
• Ромер, Томас; Розенталь, Ховард (1979). «Неуловимый медианный избиратель». Журнал общественной экономики . 12 (2): 143–170. дои : 10.1016/0047-2727(79)90010-0 .
• Собел, Рассел С.; Холкомб, Рэндалл Г. (2001). «Правило единогласного голосования не является политическим эквивалентом рыночного обмена». Общественный выбор . 106 (3–4): 233–242. дои : 10.1023/А:1005298607876 . S2CID   16736216 .
• Вальдфогель, Джоэл (2008). «Средний избиратель и медианный потребитель: местные частные товары и состав населения». Журнал городской экономики . 63 (2): 567–582. дои : 10.1016/j.jue.2007.04.002 . S2CID   152378898 . ССНР   878059 .

Внешние ссылки

• Модель медианного избирателя