Парадокс Кондорсе

Эта статья посвящена результатам, которые могут возникнуть при коллективном выборе между тремя и более альтернативами. Утверждение о том, что голос отдельного лица, вероятно, не повлияет на результат, см. в разделе « Парадокс голосования» .

В теории социального выбора парадокс Кондорсе (или парадокс голосования ) — это ситуация, когда правило большинства ведет себя противоречиво. В такой ситуации каждый возможный выбор отвергается электоратом в пользу другого, потому что всегда есть какой-то другой результат, который большинство избирателей считает лучшим.

История

Парадокс Кондорсе был впервые обнаружен испанским философом и богословом Рамоном Луллием в 13 веке во время его исследований церковного управления , но его работа была утеряна до 21 века. Математик и политический философ маркиз де Кондорсе заново открыл этот парадокс в конце 18 века.

Открытие Кондорсе означает, что он, возможно, определил ключевой результат теоремы Эрроу о невозможности , хотя и при более строгих условиях, чем требует Эрроу: циклы Кондорсе создают ситуации, когда любая ранжированная система голосования , которая уважает большинство, должна иметь эффект спойлера .

Пример

Предположим, у нас есть три кандидата: A, B и C, и есть три избирателя со следующими предпочтениями:

избиратель	Первое предпочтение	Второе предпочтение	Третье предпочтение
избиратель 1	А	Б	С
Избиратель 2	Б	С	А
Избиратель 3	С	А	Б

Избиратели (синий) и кандидаты (красный) изображены в двумерном пространстве предпочтений. Каждый избиратель предпочитает более близкого кандидата более дальнему. Стрелки показывают порядок, в котором избиратели отдают предпочтение кандидатам.

Если победителем выбран C, можно утверждать, что вместо этого должен победить B, поскольку два избирателя (1 и 2) предпочитают B, а не C, и только один избиратель (3) предпочитает C, а не B. Однако по тому же аргументу A предпочтительнее B, а C предпочтительнее A, в каждом случае с перевесом два к одному. Таким образом, предпочтения общества демонстрируют цикличность: A предпочтительнее B, который предпочтительнее C, который предпочтительнее A.

В результате любая попытка апеллировать к правилу большинства приведет к противоречивому поведению. Независимо от того, какую альтернативу мы выберем, мы можем найти другую альтернативу, которую предпочтет большинство избирателей.

Вероятность парадокса

Оценить вероятность парадокса можно путем экстраполяции реальных данных выборов или использования математических моделей поведения избирателей, хотя результаты сильно зависят от того, какая модель используется.

культуры

Мы можем вычислить вероятность увидеть парадокс для особого случая, когда предпочтения избирателей равномерно распределены между кандидатами. (Это модель « беспристрастной культуры », которая, как известно, является «наихудшим сценарием»). — большинство моделей показывают существенно меньшие вероятности циклов Кондорсе.)

Для $n$ избирателей, предоставляющих список предпочтений из трех кандидатов A, B, C, пишем $X_{n}$ (соответственно $Y_{n}$, $Z_{n}$) случайная величина, равная числу избирателей, поставивших А перед В (соответственно В перед С, С перед А). Искомая вероятность равна $p_{n}=2P(X_{n}>n/2,Y_{n}>n/2,Z_{n}>n/2)$ (удвоим, поскольку существует еще и симметричный случай A> C> B> A). Мы покажем, что для нечетного $n$, $p_{n}=3q_{n}-1/2$ где $q_{n}=P(X_{n}>n/2,Y_{n}>n/2)$ что заставляет знать только совместное распределение $X_{n}$ и $Y_{n}$.

Если мы положим $p_{n,i,j}=P(X_{n}=i,Y_{n}=j)$, мы покажем соотношение, которое позволяет вычислить это распределение методом рекуррентности: $p_{n+1,i,j}={1 \over 6}p_{n,i,j}+{1 \over 3}p_{n,i-1,j}+{1 \over 3}p_{n,i,j-1}+{1 \over 6}p_{n,i-1,j-1}$.

Тогда получаются следующие результаты:

$n$	3	101	201	301	401	501	601
$p_{n}$	5.556%	8.690%	8.732%	8.746%	8.753%	8.757%	8.760%

Кажется, что последовательность стремится к конечному пределу.

Используя центральную предельную теорему , покажем, что $q_{n}$ имеет тенденцию $q={\frac {1}{4}}P\left(|T|>{\frac {\sqrt {2}}{4}}\right),$ где $T$ является переменной, следующей за распределением Коши , что дает $q={\dfrac {1}{2\pi }}\int _{{\sqrt {2}}/4}^{+\infty }{\frac {dt}{1+t^{2}}}={\dfrac {\arctan 2{\sqrt {2}}}{2\pi }}={\dfrac {\arccos {\frac {1}{3}}}{2\pi }}$ (постоянная, указанная в OEIS ).

Следовательно, асимптотическая вероятность столкнуться с парадоксом Кондорсе равна ${{3\arccos {1 \over 3}} \over {2\pi }}-{1 \over 2}={\arcsin {{\sqrt {6}} \over 9} \over \pi }$ что дает значение 8,77%.

Рассчитаны некоторые результаты для случая более трех кандидатов. и моделируется. Смоделированная вероятность модели беспристрастной культуры с 25 избирателями увеличивается с увеличением количества кандидатов:

3	4	5	7	10
8.4%	16.6%	24.2%	35.7%	47.5%

Вероятность цикла Кондорсе для связанных моделей приближается к этим значениям для выборов с тремя кандидатами и большим электоратом:

• Беспристрастная анонимная культура (IAC): 6,25%
• Единая культура (UC): 6,25%
• Максимальное состояние культуры (MC): 9,17%

Все эти модели нереалистичны и исследуются с целью установить верхнюю границу вероятности цикла.

групповой

При моделировании с более реалистичными предпочтениями избирателей парадоксы Кондорсе на выборах с небольшим числом кандидатов и большим количеством избирателей становятся очень редкими.

Пространственная модель

Исследование выборов трех кандидатов проанализировало 12 различных моделей поведения избирателей и обнаружило, что пространственная модель голосования наиболее точно соответствует реальным данным выборов по рейтингу . Анализируя эту пространственную модель, они обнаружили, что вероятность того, что цикл уменьшится до нуля по мере увеличения числа избирателей, составляет 5% для 100 избирателей, 0,5% для 1000 избирателей и 0,06% для 10 000 избирателей.

Другая пространственная модель выявила вероятность 2% или меньше во всех симуляциях 201 избирателя и 5 кандидатов, двух- или четырехмерных, с корреляцией между измерениями или без нее и с двумя различными дисперсиями кандидатов.

исследования

Было предпринято множество попыток найти эмпирические примеры парадокса. Эмпирическое выявление парадокса Кондорсе предполагает наличие обширных данных о предпочтениях лиц, принимающих решения, по отношению ко всем альтернативам – то, что доступно очень редко.

Хотя примеры парадокса, похоже, время от времени возникают в небольших учреждениях (например, в парламентах), очень мало примеров было обнаружено в более крупных группах (например, в электорате), хотя некоторые из них были выявлены.

Краткое изложение 37 отдельных исследований, охватывающих в общей сложности 265 реальных выборов, больших и малых, обнаружило 25 случаев парадокса Кондорсе с общей вероятностью 9,4%. (и это может быть завышенная оценка, поскольку о случаях парадокса сообщают с большей вероятностью, чем о случаях его отсутствия).

Анализ 883 выборов с тремя кандидатами, извлеченных из 84 реальных рейтинговых выборов Общества избирательной реформы, выявил вероятность цикла Кондорсе 0,7%. В этих производных выборах приняли участие от 350 до 1957 избирателей. Аналогичный анализ данных Американских национальных исследований выборов опросов термометров 1970–2004 годов показал, что вероятность цикла Кондорсе составляет 0,4%. На этих производных выборах присутствовало от 759 до 2521 «избирателя».

База данных 189 рейтинговых выборов в США с 2004 по 2022 год содержала только один цикл Кондорсе: выборы в городской совет округа 2 Миннеаполиса в 2021 году . Хотя это указывает на очень низкий уровень циклов Кондорсе (0,5%), возможно, что отчасти этот эффект обусловлен общим доминированием двух партий .

Эндрю Майерс, управляющий службой интернет-голосования Кондорсе , проанализировал 10 354 неполитических выборов CIVS и обнаружил циклы в 17% выборов с минимум 10 голосами, при этом этот показатель упал до 2,1% для выборов с минимум 100 голосами и 1,2% для ≥ 300 голосов.

Последствия

Когда метод Кондорсе для определения выборов используется , парадокс голосования циклических общественных предпочтений подразумевает, что на выборах нет победителя Кондорсе : нет кандидата, который может выиграть выборы один на один против каждого другого кандидата. По-прежнему будет существовать наименьшая группа кандидатов, известная как множество Смита , так что каждый кандидат в группе может выиграть выборы один на один против каждого из кандидатов вне группы. Несколько вариантов метода Кондорсе различаются тем, как они разрешают такие двусмысленности , когда они возникают при определении победителя. Методы Кондорсе, которые всегда выбирают кого-то из множества Смита, когда нет победителя Кондорсе, известны как эффективные по Смиту . Обратите внимание, что при использовании только рейтингов не существует справедливого и детерминированного решения тривиального примера, приведенного ранее, поскольку каждый кандидат находится в абсолютно симметричной ситуации.

Ситуации, имеющие парадокс голосования, могут привести к тому, что механизмы голосования нарушат аксиому независимости нерелевантных альтернатив - на выбор победителя с помощью механизма голосования может повлиять то, доступен ли проигравший кандидат для голосования.

Двухэтапный процесс голосования

Одним из важных последствий возможного существования парадокса голосования в практической ситуации является то, что в двухэтапном процессе голосования конечный победитель может зависеть от того, как структурированы эти два этапа. Например, предположим, что победитель партии A против B в открытой первичной борьбе за лидерство одной партии затем встретится с лидером второй партии C на всеобщих выборах. В предыдущем примере A победит B в номинации от первой партии, а затем проиграет C на всеобщих выборах. Но если бы B был во второй партии, а не в первой, B победил бы C в выдвижении от этой партии, а затем проиграл бы A на всеобщих выборах. Таким образом, структура двух этапов влияет на то, станет ли A или C окончательным победителем.

Аналогично, структура последовательности голосов в законодательном органе может манипулировать лицом, организующим голосование, чтобы обеспечить предпочтительный результат.

Эффекты спойлера

Парадоксы Кондорсе подразумевают, что мажоритарные методы не обеспечивают независимости от нерелевантных альтернатив. Назовите трех кандидатов в гонке « Камень , ножницы , бумага » . В гонке один на один Камень проигрывает Бумаге, Бумаге Ножницам и т. д.

Не ограничивая общности , скажем, что Рок побеждает на выборах определенным методом. Кроме того, Ножницы - кандидат на спойлер для Бумаги: если Ножницы выпадут, Бумага выиграет единственную гонку один на один (Бумага побеждает Камень). Те же рассуждения применимы независимо от победителя.

Этот пример также показывает, почему выборы Кондорсе редко (если вообще когда-либо) испорчены: спойлеры могут случиться только тогда, когда нет победителя Кондорсе. Циклы Кондорсе редки на крупных выборах. а теорема о медианном избирателе показывает, что циклы невозможны, если кандидаты расположены в спектре левых и правых .

См. также

• Теорема невозможности Эрроу
• Дискурсивная дилемма
• Теорема Гиббарда – Саттертуэйта
• Независимость нерелевантных альтернатив
• Мгновенное голосование
• Число Накамура
• Квадратичное голосование
• Камень-ножницы-бумага
• Парадокс Симпсона
• набор Смита

Дальнейшее чтение

• Гарман, МБ; Камень, Мичиган (1968). «Парадокс голосования: расчеты вероятностей». Поведенческая наука . 13 (4): 306–316. дои : 10.1002/bs.3830130405 . ПМИД   5663897 .
• Ниеми, Р.Г.; Вайсберг, Х. (1968). «Математическое решение вероятности парадокса голосования». Поведенческая наука . 13 (4): 317–323. дои : 10.1002/bs.3830130406 . ПМИД   5663898 .
• Ниеми, Р.Г.; Райт, младший (1987). «Циклы голосования и структура индивидуальных предпочтений». Социальный выбор и благосостояние . 4 (3): 173–183. дои : 10.1007/BF00433943 . JSTOR   41105865 . S2CID   145654171 .