Что черепаха сказала Ахиллесу

« Что черепаха сказала Ахиллесу », написанная Льюисом Кэрроллом в 1895 году для философского журнала Mind , представляет собой краткий аллегорический диалог об основах логики . Название отсылает к одному из парадоксов движения Зенона . в котором Ахиллес никогда не мог обогнать черепаху в гонке. В диалоге Кэрролла черепаха предлагает Ахиллу использовать силу логики, чтобы заставить его принять вывод простого дедуктивного аргумента. В конечном итоге Ахиллес терпит неудачу, потому что умная черепаха ведет его в бесконечный регресс .

Краткое содержание диалога

Обсуждение начинается с рассмотрения следующего логического аргумента:

• Ответ : «Вещи, равные одному, равны друг другу» ( евклидово соотношение ).
• Б : «Две стороны этого треугольника — вещи, равные одному и тому же».
• Следовательно, Z : «Две стороны этого треугольника равны друг другу».

Черепаха принимает предпосылки A и B как истинные, но не как гипотетические:

• C : «Если A и B верны, то Z должно быть правдой»

Черепаха утверждает, что «нет никакой логической необходимости принимать Z как истину». Затем черепаха бросает вызов Ахиллу, чтобы заставить его логически принять Z как истину. Вместо того, чтобы искать причины, по которым черепаха не принимает C , Ахиллес просит ее принять C , что она и делает. После этого Ахилл говорит:

• D : «Если A , B и C верны, то Z должно быть правдой».

Черепаха отвечает: «Это еще одна гипотеза, не так ли? И если бы я не смог увидеть ее истинность, я мог бы принять А, Б и С, но все же не принять Z, не так ли?»

чтобы спрашивать причины непринятия D , он просит черепаху принять D. Опять же, вместо того , И опять же, оно «вполне готово это предоставить», но он по-прежнему отказывается принять Z. Затем он приказывает Ахиллесу написать в своей книге:

• Э: Если A, B, C и D верны, то Z должно быть правдой.

После этого Черепаха говорит: «пока я не предоставлю это [т.е. E ], мне, конечно, не обязательно предоставлять Z. Так что это вполне необходимый шаг». С оттенком печали Ахиллес понимает суть.

История заканчивается предположением, что список посылок продолжает без конца расти, но без объяснения сути регресса.

Объяснение

Льюис Кэрролл показал, что существует регрессивная проблема, возникающая в результате умозаключений modus ponens .

${\frac {P\to Q,\;P}{\therefore Q}}$

Или, говоря словами: предложение P (истинно) подразумевает Q (истинно), и при условии P , следовательно, Q .

Проблема регресса возникает потому, что для объяснения логических принципов требуется предшествующий принцип, в данном случае modus ponens , и как только этот принцип объяснен, другой принципа требуется для объяснения этого принцип . Таким образом, если цепочка аргументации будет продолжаться, аргумент впадет в бесконечный регресс. Однако если вводится формальная система, в которой modus ponens представляет собой просто правило вывода, определенное внутри системы, то ее можно соблюдать, просто рассуждая внутри системы. Это не означает, что пользователь, рассуждающий в соответствии с этой формальной системой, согласен с этими правилами (рассмотрим, например, закона отказ конструктивистов от исключенного третьего и закона отказ диалетистов от непротиворечия ). Таким образом, формализацию логики как системы можно рассматривать как ответ на проблему бесконечного регресса: modus ponens , как правило, размещается внутри системы, а действительность modus ponens исключается вне системы.

В логике высказываний логическая импликация определяется следующим образом:

P подразумевает Q тогда и только тогда, когда предложение, отличное от P или Q, является тавтологией .

Следовательно, modus ponens , [P ∧ (P → Q)] ⇒ Q, является действительным логическим заключением в соответствии с только что сформулированным определением логической импликации. Демонстрация логического следствия просто означает проверку того, что составная таблица истинности порождает тавтологию. Но черепаха не принимает на веру правила логики высказываний, на которых основано это объяснение. Он просит, чтобы и эти правила были подвергнуты логическому доказательству. Черепаха и Ахиллес не согласны ни в каком определении логического импликации.

Кроме того, история намекает на проблемы с пропозициональным решением. В системе пропозициональной логики ни одно предложение или переменная не несет никакого семантического содержания. В тот момент, когда какое-либо предложение или переменная обретают семантическое содержание, проблема возникает снова, поскольку семантическое содержание выходит за пределы системы. Таким образом, если можно сказать, что решение работает, то следует сказать, что оно работает исключительно в рамках данной формальной системы, а не иначе.

Некоторые логики (Кеннет Росс, Чарльз Райт) проводят четкое различие между условной связкой и отношением импликации . Эти логики используют фразу not p или q для условной связки, а этот термин подразумевает для утвержденного отношения импликации.

Обсуждение

Несколько философов пытались разрешить парадокс Кэрролла. Бертран Рассел кратко обсудил парадокс в § 38 « Основ математики» (1903), проводя различие между импликацией (связанной с формой «если p , то q »), которую он считал отношением между неутвержденными утверждениями, и выводом (связанным с с формой « р , следовательно, q »), которую он считал отношением между утверждаемыми предложениями; проведя это различие, Рассел мог бы отрицать, что попытка Черепахи рассматривать вывод Z из A и B как эквивалент или зависимость от согласия с гипотетическим утверждением : «Если A и B истинны, то Z истинно».

Питер Винч , философ Витгенштейна , обсуждал этот парадокс в книге «Идея социальной науки и ее отношение к философии» (1958), где он утверждал, что парадокс показывает, что «действительный процесс вывода, который, в конце концов, лежит в основе логики - это нечто, что нельзя представить в виде логической формулы... Научиться делать выводы - это не просто научить явным логическим отношениям между предложениями, это научиться что-то делать " (стр. 57). Далее Уинч предполагает, что мораль диалога является частным случаем общего урока, в том смысле, что правильное применение правил, регулирующих форму человеческой деятельности, само по себе не может быть суммировано набором дополнительных правил, и поэтому «Форма человеческой деятельности никогда не может быть сведена к набору четких предписаний» (с. 53).

Диалог Кэрролла, очевидно, является первым описанием препятствия конвенционализму в отношении логической истины. позже переработанный в более трезвых философских терминах У.В.О.Квайном .

См. также

• Теорема о дедукции
• Аргумент гомункула
• Трилемма Мюнхгаузена
• Парадокс
• Аргумент регресса
• Правило вывода
• Гёдель, Эшер, Бах , книга Дугласа Хофштадтера , в которую входит этот рассказ (хотя и переименованный в «Двухчастное изобретение»), а также оригинальные рассказы с персонажами Черепахи и Ахилла.

Источники

Льюис Кэрролл (апрель 1895 г.). «Что черепаха сказала Ахиллесу». Разум . IV (14): 278–280. дои : 10.1093/mind/IV.14.278 .

Перепечатано:

• в «Новой серии» того же журнала, столетие спустя: Льюис Кэрролл (1 октября 1995 г.). «Что черепаха сказала Ахиллесу». Разум . 104 (416): 691–693. дои : 10.1093/mind/104.416.691 . JSTOR   2254477 .
• в «Пингвин» завершил Льюиса Кэрролла . Хармондсворт, Пингвин. 1982. стр. 1104–1108.
• на ряде веб-сайтов, в том числе «Что черепаха сказала Ахиллесу» в Digital Text International и «Что черепаха сказала Ахиллесу» в репозитории добросовестного использования .
• в Викиисточнике : Полный текст книги «Что сказала черепаха Ахиллесу» в Wikisource.
• в Дуглас Хофштадтер (1979). Гёдель, Эшер, Бах: вечная золотая коса . Основные книги. ISBN  978-0-465-02656-2 . Перепечатано как второй диалог под названием «Двухчастное изобретение - или Что черепаха сказала Ахиллу» между главами 1 и 2. Хофштадтер присвоил персонажей Ахилла и Черепахи для других, оригинальных диалогов в книге, которые контрапунктически чередуются с прозаические главы.

В качестве аудио:

• Аудиокнига «Что черепаха сказала Ахиллесу» является общественным достоянием на LibriVox.

Дальнейшее чтение

• Моктефи, Амируш и Абелес, Франсин Ф. (ред.). «Что черепаха сказала Ахиллесу: парадокс умозаключения Льюиса Кэрролла». The Carrollian: The Lewis Carroll Journal , № 28, ноябрь 2016 г. [Специальный выпуск.] ISSN   1462-6519 ISBN   978-0-904117-39-4