Настройка настроения

*Настройка настроения*
Тип	Дедуктивная форма аргументации ; Правило вывода ;
Поле	Классическая логика ; Пропозициональное исчисление ;
Заявление	подразумевает . правда. Поэтому, тоже должно быть правдой.
Символическое заявление

В логике высказываний modus ponens ( / ˈ moʊ d ə s ˈ poʊ n ɛ n z ) , / ; MP ), также известный как modus ponendo ponens (от латинского «метод сложения путем размещения» ^[1] устранение импликации или подтверждение антецедента , ^[2] Это дедуктивная форма аргументации и правило вывода . ^[3] Его можно резюмировать так: « P подразумевает Q. P истинно. Следовательно, Q также должно быть истинным».

Modus ponens — это смешанный гипотетический силлогизм , тесно связанный с другой действительной формой аргументации — modus tollens . Оба имеют внешне схожие, но недействительные формы: утверждение последующего и отрицание антецедента . Конструктивная дилемма — это дизъюнктивная версия modus ponens .

История modus ponens уходит корнями в глубокую древность . ^[4] Первым, кто явно описал форму аргумента modus ponens, был Теофраст . ^[5] Он, наряду с modus tollens , является одной из стандартных моделей умозаключения, которую можно применять для вывода цепочек выводов, ведущих к желаемой цели.

Объяснение [ править ]

Форма аргументации modus ponens представляет собой смешанный гипотетический силлогизм с двумя посылками и заключением:

Если П , Q. то
П .
, К. Следовательно

Первая посылка представляет собой условное утверждение («если – то»), а именно, что P подразумевает Q . Вторая посылка — это утверждение, что P , антецедент условного утверждения, имеет место. Из этих двух посылок можно логически заключить, что Q , следствие условного утверждения, также должно иметь место.

Пример аргумента, который соответствует форме modus ponens :

Если сегодня вторник, то Джон пойдет на работу.
Сегодня вторник.
Поэтому Джон пойдет на работу.

Этот аргумент действителен ли какое-либо из утверждений аргумента , но он не имеет никакого отношения к тому, истинно ; Чтобы modus ponens был обоснованным аргументом, посылки должны быть истинными для любых истинных случаев заключения. Аргумент может быть действительным , но, тем не менее, необоснованным, если одна или несколько посылок ложны; если аргумент действителен и все предпосылки верны, то аргумент обоснован. Например, Джон может пойти на работу в среду. В этом случае доводы в пользу того, что Джон собирается на работу (потому что сегодня среда), необоснованны. Этот аргумент обоснован только по вторникам (когда Джон идет на работу), но действителен в любой день недели. аргумент Пропозициональный , использующий modus ponens, называется дедуктивным .

В секвенционных исчислениях с одним выводом modus ponens — это правило отсечения. Теорема об исключении разреза для исчисления гласит, что любое доказательство, включающее Cut, может быть преобразовано (вообще, конструктивным методом) в доказательство без Cut, и, следовательно, Cut допустимо .

Соответствие Карри-Ховарда между доказательствами и программами связывает modus ponens с применением функции : если f — функция типа P → Q , а x имеет тип P , то fx имеет Q. тип

В искусственном интеллекте modus ponens часто называют прямой цепочкой .

Формальные обозначения [ править ]

Правило modus ponens можно записать в последовательных обозначениях как

P\to Q,\;P\;\;\vdash \;\;Q

где P , Q и P → Q — утверждения (или предложения) формального языка, а ⊢ — металогический что Q является синтаксическим следствием P и символ, означающий , P → Q в некоторой логической системе .

Обоснование с помощью таблицы истинности [ править ]

Справедливость modus ponens в классической двузначной логике можно наглядно продемонстрировать с помощью таблицы истинности .

п	д	п → д
Т	Т	Т
Т	Ф	Ф
Ф	Т	Т
Ф	Ф	Т

В случаях modus ponens мы предполагаем в качестве предпосылки, что p → q истинно и p истинно. Только одна строка таблицы истинности — первая — удовлетворяет этим двум условиям ( p и p → q ). В этом отношении q также верно. Следовательно, всякий раз, когда p → q истинно и p истинно, q также должно быть истинным.

Статус [ править ]

Хотя modus ponens является одной из наиболее часто используемых форм аргументации в логике, его не следует путать с логическим законом; скорее, это один из общепринятых механизмов построения дедуктивных доказательств, включающий «правило определения» и «правило замены». ^[6] Modus ponens позволяет исключить условное утверждение из логического доказательства или аргумента (антецедентов) и тем самым не переносить эти антецеденты вперед в постоянно удлиняющейся цепочке символов; по этой причине modus ponens иногда называют правилом непривязанности. ^[7] или закон отстраненности . ^[8] Эндертон, например, отмечает, что «modus ponens может создавать более короткие формулы из более длинных». ^[9] и Рассел отмечает, что «процесс вывода не может быть сведен к символам. Его единственным свидетельством является возникновение ⊦q [консеквента]… вывод — это отказ от истинной посылки; это растворение импликации» . ^[10]

Оправданием «доверия к умозаключению является вера в то, что если два предыдущих утверждения [антецеденты] не ошибочны, то и окончательное утверждение [последующее] не является ошибочным». ^[10]Другими словами: если из одного утверждения или предложения следует второе, и первое утверждение или предложение истинно, то и второе также истинно. Если P подразумевает Q и P истинно, то Q истинно. ^[11]

другим основам Соответствие математическим

Алгебраическая семантика [ править ]

В математической логике алгебраическая семантика рассматривает каждое предложение как имя элемента в упорядоченном множестве. Обычно набор можно визуализировать как решетчатую структуру с одним элементом («всегда-истина») вверху и еще одним элементом («всегда-ложь») внизу. Логическая эквивалентность становится тождеством, так что когда $\neg {(P\wedge Q)}$ и $\neg {P}\vee \neg {Q}$ , например, эквивалентны (как обычно), то $\neg {(P\wedge Q)}=\neg {P}\vee \neg {Q}$ . Логическое следствие становится вопросом относительного положения: $P$ логически подразумевает $Q$ на всякий случай $P\leq Q$ , то есть когда либо $P=Q$ или еще $P$ лежит ниже $Q$ и соединен с ним восходящим путем.

В этом контексте сказать, что ${\textstyle P}$ и $P\rightarrow Q$ вместе подразумевают $Q$ — то есть утверждать modus ponens как действительный — значит сказать, что высшая точка, лежащая ниже обоих $P$ и $P\rightarrow Q$ лежит ниже $Q$ , то есть, что $P\wedge (P\rightarrow Q)\leq Q$ . ^[а] В семантике базовой логики высказываний алгебра является булевой , с $\rightarrow$ истолковывается как материальное условное : $P\rightarrow Q=\neg {P}\vee Q$ . Подтверждая это $P\wedge (P\rightarrow Q)\leq Q$ тогда это просто, потому что $P\wedge (P\rightarrow Q)=P\wedge Q$ и $P\wedge Q\leq Q$ . С другими методами лечения $\rightarrow$ , семантика становится более сложной, алгебра может быть небулевой, и достоверность modus ponens не может считаться само собой разумеющейся.

Вероятностное исчисление [ править ]

Если $\Pr(P\rightarrow Q)=x$ и $\Pr(P)=y$ , затем $\Pr(Q)$ должно лежать в интервале $[x+y-1,x]$ . ^[б]^[12] Для особого случая $x=y=1$ , $\Pr(Q)$ должно быть равно $1$ .

Субъективная логика [ править ]

Modus ponens представляет собой экземпляр оператора биномиального вывода в субъективной логике, выраженный как:

\omega _{Q\|P}^{A}=(\omega _{Q|P}^{A},\omega _{Q|\lnot P}^{A})\circledcirc \omega _{P}^{A}\,,

где $\omega _{P}^{A}$ обозначает субъективное мнение о $P$ как выразился источник $A$ , и условное мнение $\omega _{Q|P}^{A}$ обобщает логический вывод $P\to Q$ . Выведенное маргинальное мнение о $Q$ обозначается $\omega _{Q\|P}^{A}$ . Случай, когда $\omega _{P}^{A}$ это абсолютно ИСТИННОЕ мнение о $P$ эквивалентно источнику $A$ говоря это $P$ истинно, и случай, когда $\omega _{P}^{A}$ это абсолютно ЛОЖНОЕ мнение о $P$ эквивалентно источнику $A$ говоря это $P$ НЕВЕРНО. Оператор вычета $\circledcirc$ субъективная логика дает абсолютно ИСТИННОЕ выведенное мнение $\omega _{Q\|P}^{A}$ когда условное мнение $\omega _{Q|P}^{A}$ является абсолютной ИСТИНОЙ и предшествующее мнение $\omega _{P}^{A}$ абсолютно ПРАВДА. Следовательно, субъективная логическая дедукция представляет собой обобщение как modus ponens, так и закона полной вероятности . ^[13]

Предполагаемые случаи неудач [ править ]

Философы и лингвисты выявили множество случаев, когда modus ponens не работает. Ванн МакГи , например, утверждал, что modus ponens может не работать для кондиционалов, последствия которых сами являются кондиционалами. ^[14] Ниже приведен пример:

Либо Шекспир , либо Гоббс написали «Гамлета» .
Если « Гамлета » написал Шекспир или Гоббс , то если этого не сделал Шекспир, то это сделал Гоббс.
не написал Шекспир Следовательно, если «Гамлета» , это написал Гоббс.

Поскольку Шекспир действительно написал «Гамлета» , первая посылка верна. Вторая предпосылка также верна, поскольку, начиная с набора возможных авторов, ограниченного только Шекспиром и Гоббсом, и исключая одного из них, остается только другой. Однако вывод сомнителен, поскольку исключение Шекспира как автора «Гамлета» оставило бы множество возможных кандидатов, многие из которых были бы более правдоподобными альтернативами, чем Гоббс (если «если-то» в выводе читать как материальные условные выражения, вывод окажется верным). просто в силу ложного антецедента. Это один из парадоксов материальной импликации ).

Общая форма контрпримеров типа МакГи к modus ponens проста: $P,P\rightarrow (Q\rightarrow R)$ , поэтому, $Q\rightarrow R$ ; не обязательно, чтобы $P$ быть дизъюнкцией, как в приведенном примере. То, что такого рода случаи представляют собой нарушение modus ponens, остается спорным мнением среди логиков, но мнения о том, как следует поступать в таких случаях, расходятся. ^[15]^[16]^[17]

В деонтической логике некоторые примеры условного обязательства также повышают вероятность отказа modus ponens . Это случаи, когда условная посылка описывает обязательство, основанное на аморальном или неосмотрительном поступке, например: «Если Доу убивает свою мать, он должен делать это осторожно», для чего сомнительным безусловным выводом будет «Доу следует мягко убить свою мать». мать." ^[18]Казалось бы, из этого следует, что если Доу на самом деле осторожно убивает свою мать, то modus ponens он делает именно то, что он, безоговорочно, должен делать. И здесь отказ modus ponens не является популярным диагнозом, но иногда его аргументируют. ^[19]

Возможные заблуждения [ править ]

Ошибочность утверждения консеквента является распространенным неправильным толкованием modus ponens . ^[20]

См. также [ править ]

Конденсированная отслойка
Импорт-экспорт (логика) – принцип классической логики.
Латинские фразы
Modus tollens - Правило логического вывода
Modus vivendi – Соглашение, позволяющее конфликтующим сторонам мирно сосуществовать.
Стоическая логика - система логики высказываний, разработанная философами-стоиками.
Что черепаха сказала Ахиллесу - Аллегорический диалог Льюиса Кэрролла

Примечания [ править ]

^ Самая высокая точка, лежащая ниже обеих $X$ и $Y$ это " встреча " $X$ и $Y$ , обозначенный $X\wedge Y$ .
^ Поскольку $\neg P$ подразумевает $P\rightarrow Q$ , $x$ всегда должно быть больше или равно $1-y$ , и поэтому $x+y-1$ будет больше или равно $0$ . И с тех пор $y$ всегда должно быть меньше или равно $1$ , $x+y-1$ всегда должно быть меньше или равно $x$ .

Ссылки [ править ]

^ Стоун, Джон Р. (1996). Латынь для неграмотных: изгнание призраков мертвого языка . Лондон: Рутледж. п. 60 . ISBN 0-415-91775-1 .
^ «Оксфордская ссылка: подтверждение антецедента» . Оксфордский справочник .
^ Эндертон 2001: 110
^ Сюзанна Бобзиен (2002). «Развитие Modus Ponens в древности», Phronesis 47, No. 4, 2002.
^ «Древняя логика: предшественники Modus Ponens и Modus Tollens » . Стэнфордская энциклопедия философии .
^ Альфред Тарский 1946:47. Также Эндертон 2001:110 и далее.
^ Тарский 1946:47
^ «Modus ponens — Математическая энциклопедия» . энциклопедияofmath.org . Проверено 5 апреля 2018 г.
^ Эндертон 2001: 111
^ Перейти обратно: ^а ^б Уайтхед и Рассел 1927:9
^ Джаго, Марк (2007). Формальная логика . ТОО «Humaniities-Ebooks». ISBN 978-1-84760-041-7 .
^ Хайльперин, Теодор (1996). Сентенциальная вероятностная логика: происхождение, развитие, современное состояние и технические приложения . Лондон: Издательство Associated University Press. п. 203. ИСБН 0934223459 .
^ Аудун Йосанг 2016:92
^ Ванн МакГи (1985). «Контрпример Modus Ponens», Философский журнал 82, 462–471.
^ Синнотт-Армстронг, Мавр и Фогелин (1986). «Защита Modus Ponens», Философский журнал 83, 296–300.
^ DE Over (1987). «Предположение и предполагаемые контрпримеры к Modus Ponens», Анализ 47, 142–146.
^ Бледин (2015). «Защита Modus Ponens», Философский журнал 112, 462–471.
^ «Деонтическая логика» . 21 апреля 2010 года . Проверено 30 января 2020 г. Стэнфордская энциклопедия философии .
^ Например, Колодный и Макфарлейн (2010). «Если и должен», Философский журнал 107, 115–143.
^ «Заблуждения | Интернет-энциклопедия философии» . iep.utm.edu . Проверено 6 марта 2020 г.

Источники [ править ]

Герберт Б. Эндертон, 2001, Математическое введение в логику, второе издание , Harcourt Academic Press, Берлингтон, Массачусетс, ISBN 978-0-12-238452-3 .
Аудун Йосанг, 2016, Субъективная логика; Формализм рассуждений в условиях неопределенности Спрингер, Чам, ISBN 978-3-319-42337-1
Альфред Норт Уайтхед и Бертран Рассел, 1927 г., Principia Mathematica - * 56 (второе издание), издание в мягкой обложке, 1962 г., Кембридж, University Press, Лондон, Великобритания. Ни ISBN, ни LCCCN.
Альфред Тарский, 1946 г., «Введение в логику и методологию дедуктивных наук», 2-е издание, перепечатано Dover Publications, Минеола, штат Нью-Йорк. ISBN 0-486-28462-X (пбк).

Внешние ссылки [ править ]

«Modus ponens» , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
Режим настройки в PhilPapers
Настройка режима в Wolfram MathWorld

[12] Самая высокая точка, лежащая ниже обеих $X$ и $Y$ это " встреча " $X$ и $Y$ , обозначенный $X\wedge Y$ .

[13] Поскольку $\neg P$ подразумевает $P\rightarrow Q$ , $x$ всегда должно быть больше или равно $1-y$ , и поэтому $x+y-1$ будет больше или равно $0$ . И с тех пор $y$ всегда должно быть меньше или равно $1$ , $x+y-1$ всегда должно быть меньше или равно $x$ .

[1] Стоун, Джон Р. (1996). Латынь для неграмотных: изгнание призраков мертвого языка . Лондон: Рутледж. п. 60 . ISBN 0-415-91775-1 .

[2] «Оксфордская ссылка: подтверждение антецедента» . Оксфордский справочник .

[3] Эндертон 2001: 110

[4] Сюзанна Бобзиен (2002). «Развитие Modus Ponens в древности», Phronesis 47, No. 4, 2002.

[5] «Древняя логика: предшественники Modus Ponens и Modus Tollens » . Стэнфордская энциклопедия философии .

[6] Альфред Тарский 1946:47. Также Эндертон 2001:110 и далее.

[7] Тарский 1946:47

[8] «Modus ponens — Математическая энциклопедия» . энциклопедияofmath.org . Проверено 5 апреля 2018 г.

[9] Эндертон 2001: 111

[auto-10] Перейти обратно: ^а ^б Уайтхед и Рассел 1927:9

[11] Джаго, Марк (2007). Формальная логика . ТОО «Humaniities-Ebooks». ISBN 978-1-84760-041-7 .

[Hailperin,_T._1996-14] Хайльперин, Теодор (1996). Сентенциальная вероятностная логика: происхождение, развитие, современное состояние и технические приложения . Лондон: Издательство Associated University Press. п. 203. ИСБН 0934223459 .

[15] Аудун Йосанг 2016:92

[16] Ванн МакГи (1985). «Контрпример Modus Ponens», Философский журнал 82, 462–471.

[17] Синнотт-Армстронг, Мавр и Фогелин (1986). «Защита Modus Ponens», Философский журнал 83, 296–300.

[18] DE Over (1987). «Предположение и предполагаемые контрпримеры к Modus Ponens», Анализ 47, 142–146.

[19] Бледин (2015). «Защита Modus Ponens», Философский журнал 112, 462–471.

[SEP_Deontic_Logic-20] «Деонтическая логика» . 21 апреля 2010 года . Проверено 30 января 2020 г. Стэнфордская энциклопедия философии .

[21] Например, Колодный и Макфарлейн (2010). «Если и должен», Философский журнал 107, 115–143.

[22] «Заблуждения | Интернет-энциклопедия философии» . iep.utm.edu . Проверено 6 марта 2020 г.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[а]

[б]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]

[20]