Материальная импликация (правило вывода)

Материальное значение
Тип	Правило замены
Поле	Пропозициональное исчисление
Заявление	P подразумевает, что Q логически эквивалентно не- или . Любая форма может заменить другую в логических доказательствах .
Символическое заявление

В пропозициональной логике материальная импликация ^[1]^[2]Это действительное правило замены , позволяющее условное высказывание заменить дизъюнкцией в которой антецедент отрицается , . Правило гласит, что P подразумевает, что Q логически эквивалентно не- $P$ или $Q$ и что любая форма может заменить другую в логических доказательствах . Другими словами, если $P$ верно, тогда $Q$ также должно быть правдой, а если $Q$ неправда тогда , $P$ тоже не может быть правдой; кроме того, когда $P$ не правда, $Q$ может быть либо истинным, либо ложным.

P\to Q\Leftrightarrow \neg P\lor Q,

где " $\Leftrightarrow$ «является металогическим символом , обозначающим «может быть заменено в доказательстве на», P и Q — любые заданные логические утверждения , и $\neg P\lor Q$ можно прочитать как «(не P ) или Q ». Чтобы проиллюстрировать это, рассмотрим следующие утверждения:

$P$ : Сэм съел апельсин на обед.
$Q$ : Сэм съел фрукт на обед.

Тогда фраза «Сэм съел на обед апельсин» подразумевает «Сэм съел на обед фрукт» ( $P\to Q$ ). Логично, что если Сэм не съел на обед фрукт, то Сэм также не мог съесть на обед апельсин (по противопоставлению ). Однако простое утверждение о том, что Сэм не ел апельсин на обед, не дает никакой информации о том, ел ли Сэм фрукт (любого вида) на обед или нет.

Частичное доказательство [ править ]

Предположим, нам дано, что $P\to Q$ . Тогда у нас есть $\neg P\lor P$ по закону исключенного третьего ^{[ нужны разъяснения ]} (т.е. либо $P$ должно быть правдой, или $P$ не должно быть правдой).

Впоследствии, поскольку $P\to Q$ , $P$ можно заменить на $Q$ в заявлении, и, таким образом, следует, что $\neg P\lor Q$ (т.е. либо $Q$ должно быть правдой, или $P$ не должно быть правдой).

Предположим, наоборот, что нам дано $\neg P\lor Q$ . Тогда, если $P$ верно, это исключает первый дизъюнкт, поэтому мы имеем $Q$ . Суммируя, $P\to Q$ . ^[3] Однако, если $P$ ложно, то этот вывод неверен, поскольку первый дизъюнкт $\neg P$ верно, что не накладывает ограничений на второй дизъюнкт $Q$ . Поэтому ничего нельзя сказать о $P\to Q$ . В общем, эквивалентность в случае ложного $P$ является лишь конвенциональным, и, следовательно, формальное доказательство эквивалентности является лишь частичным.

Это также можно выразить с помощью таблицы истинности :

п	вопрос	¬P	П → К	¬P ∨ Q
Т	Т	Ф	Т	Т
Т	Ф	Ф	Ф	Ф
Ф	Т	Т	Т	Т
Ф	Ф	Т	Т	Т

Пример [ править ]

Пример: нам дан условный факт, что если это медведь, то он умеет плавать. Затем все 4 возможности в таблице истинности сравниваются с этим фактом.

Если это медведь, то он умеет плавать — Т.
Если это медведь, то он не умеет плавать — F
Если это не медведь, то он умеет плавать — Т, потому что это не противоречит нашему исходному факту.
Если это не медведь, то он не умеет плавать — Т (как указано выше)

Таким образом, условный факт можно преобразовать в $\neg P\vee Q$ , то есть «это не медведь» или «он умеет плавать», где $P$ это утверждение «это медведь» и $Q$ это утверждение «оно может плавать».

Ссылки [ править ]

^ Патрик Дж. Херли (1 января 2011 г.). Краткое введение в логику . Cengage Обучение. ISBN 978-0-8400-3417-5 .
^ Копи, Ирвинг М .; Коэн, Карл (2005). Введение в логику . Прентис Холл. п. 371 .
^ «Эквивалентность a→b и ¬ a ∨ b» . Математический обмен стеками .

[Hurley2011-1] Патрик Дж. Херли (1 января 2011 г.). Краткое введение в логику . Cengage Обучение. ISBN 978-0-8400-3417-5 .

[2] Копи, Ирвинг М .; Коэн, Карл (2005). Введение в логику . Прентис Холл. п. 371 .

[3] «Эквивалентность a→b и ¬ a ∨ b» . Математический обмен стеками .

[1]

[2]

[3]