Ричард Дедекинд

«Дедекинд» перенаправляется сюда. Чтобы узнать о других значениях, см. Дедекинд (фамилия) .

Ричард Дедекинд
Рожденный	( 1831-10-06 ) 6 октября 1831 г. Брауншвейг , герцогство Брауншвейгское
Умер	12 февраля 1916 г. ( 1916-02-12 ) (84 года) Брауншвейг , Германская империя
Национальность	Немецкий
Альма-матер	Кэролайн Колледж Геттингенский университет
Известный	Дедекинд разрез Аксиомы Дедекинда-Пеано Теорема Дедекинда Абстрактная алгебра Алгебраическая теория чисел Вещественные числа Логизм
Научная карьера
Поля	Математика Философия математики
Докторантура	Карл Фридрих Гаусс

Юлиус Вильгельм Рихард Дедекинд [ˈdeːdəˌkɪnt] (6 октября 1831 — 12 февраля 1916) — немецкий математик , внесший важный вклад в теорию чисел , абстрактную алгебру (особенно теорию колец ) и аксиоматические основы арифметики . Его самый известный вклад — определение действительных чисел посредством понятия Дедекинда . Он также считается пионером в развитии современной теории множеств и философии математики, известной как логицизм .

Жизнь

Отцом Дедекинда был Юлиус Левин Ульрих Дедекинд, администратор Collegium Carolinum в Брауншвейге . Его матерью была Каролина Генриетта Дедекинд (урожденная Эмпериус), дочь профессора Коллегиума. У Ричарда Дедекинда было трое старших братьев и сестер. Будучи взрослым, он никогда не использовал имена Юлиус Вильгельм. Он родился в Брауншвейге (часто называемом «Брансуик» на английском языке), где он прожил большую часть своей жизни и умер. Его тело покоится на Главном кладбище Брауншвейга .

Впервые он посетил Collegium Carolinum в 1848 году, а затем перешел в Геттингенский университет в 1850 году. Там Дедекинду преподавал теорию чисел профессор Мориц Штерн . Гаусс все еще преподавал, хотя в основном на элементарном уровне, и Дедекинд стал его последним учеником. Дедекинд получил докторскую степень в 1852 году за диссертацию под названием Über die Theorie der Eulerschen Integrale («К теории эйлеровых интегралов »). Эта диссертация не проявила того таланта, который проявился в последующих публикациях Дедекинда.

В то время Берлинский университет , а не Геттинген главным центром математических исследований в Германии был . Таким образом, Дедекинд отправился на два года обучения в Берлин, где он и Бернхард Риман были современниками; они оба были удостоены звания в 1854 году. Дедекинд вернулся в Геттинген, чтобы преподавать в качестве приват-доцента , читая курсы по теории вероятности и геометрии . Некоторое время он учился у Питера Густава Лежена Дирихле , и они стали хорошими друзьями. Из-за сохраняющихся недостатков в его математических познаниях он изучал эллиптические и абелевы функции . Тем не менее, он был также первым в Геттингене, кто читал лекции по теории Галуа . Примерно в это же время он стал одним из первых, кто понял важность понятия групп для алгебры и арифметики .

В 1858 году он начал преподавать в Политехнической школе Цюриха (ныне ETH Zürich). Когда в 1862 году Collegium Carolinum был преобразован в Technische Hochschule (Технологический институт), Дедекинд вернулся в свой родной Брауншвейг, где провел остаток своей жизни, преподавая в институте. Он вышел на пенсию в 1894 году, но время от времени преподавал и продолжал публиковаться. Он никогда не был женат, а жил со своей сестрой Джулией.

Дедекинд был избран в академии Берлина (1880 г.) и Рима, а также во Французскую академию наук (1900 г.). Он получил почетные докторские степени университетов Осло , Цюриха и Брауншвейга .

Работа

Дедекинд, до 1886 г.

Впервые преподавая исчисление в Политехнической школе, Дедекинд разработал понятие, ныне известное как сокращение Дедекинда (нем. Schnitt ), которое теперь является стандартным определением действительных чисел. Идея разреза состоит в том, что иррациональное число делит рациональные числа на два класса ( множества ), причем все числа одного класса (большего) строго больше всех чисел другого (меньшего) класса. Например, квадратный корень из 2 определяет все неотрицательные числа, квадраты которых меньше 2 и отрицательные числа, в меньший класс, а положительные числа, квадраты которых больше 2, в больший класс. В каждом месте континуума числовых линий содержится либо рациональное, либо иррациональное число. Таким образом, нет пустых мест, пробелов или разрывов. Дедекинд опубликовал свои мысли об иррациональных числах, а Дедекинд вырезал их из брошюры «Stetigkeit und irrationale Zahlen» («Непрерывность и иррациональные числа»); современной терминологии полнота - . в

Дедекинд определил два множества как «похожие», когда между ними существует взаимно однозначное соответствие . Он ссылался на сходство, чтобы дать первое точное определение бесконечного множества : множество бесконечно, когда оно «подобно собственной части самого себя». в современной терминологии равнозначно одному из своих собственных подмножеств . Таким образом, можно показать, что множество N натуральных чисел похоже на подмножество N , члены которого являются квадратами каждого члена N , ( N → N ² ):

Н  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10... 
    ↓           
 Н 2    1  4  9  16 25 36 49 64 81 100 ...
 

Работы Дедекинда в этой области предвосхитили работы Георга Кантора , которого принято считать основателем теории множеств . Точно так же его вклад в основы математики предвосхитил более поздние работы основных сторонников логицизма , таких как Готтлоб Фреге и Бертран Рассел .

Дедекинд редактировал собрание сочинений Лежена Дирихле , Гаусса и Римана . Изучение Дедекиндом работ Лежена Дирихле привело его к более позднему изучению алгебраических чисел полей и идеалов . В 1863 году он опубликовал лекции Лежена Дирихле по теории чисел под названием Vorlesungen über Zahlentheorie («Лекции по теории чисел»), о которых было написано следующее:

Хотя книга, несомненно, основана на лекциях Дирихле, и хотя сам Дедекинд на протяжении всей своей жизни называл эту книгу книгой Дирихле, сама книга была полностью написана Дедекиндом, по большей части после смерти Дирихле.

- Эдвардс, 1983 г.

Издания Vorlesungen 1879 и 1894 годов включали дополнения, вводящие понятие идеала, фундаментальное для теории колец . (Слово «Кольцо», введенное позже Гильбертом , не появляется в работе Дедекинда.) Дедекинд определил идеал как подмножество набора чисел, состоящее из целых алгебраических чисел , которые удовлетворяют полиномиальным уравнениям с целыми коэффициентами. Концепция получила дальнейшее развитие в руках Гильберта и, особенно, Эмми Нётер . Идеалы обобщают Эрнста Эдуарда Куммера , идеальные числа разработанные как часть попытки Куммера в 1843 году доказать Великую теорему Ферма . (Таким образом, можно сказать, что Дедекинд был самым важным учеником Куммера.) В статье 1882 года Дедекинд и Генрих Мартин Вебер применили идеалы к римановым поверхностям , дав алгебраическое доказательство теоремы Римана-Роха .

В 1888 году он опубликовал небольшую монографию под названием « Was sind und was sollen die Zahlen?». («Что такое числа и для чего они нужны?» Эвальд 1996: 790), который включал его определение бесконечного множества . Он также предложил аксиоматическую основу натуральных чисел, примитивными понятиями которых были число один и функция-преемник . В следующем году Джузеппе Пеано , цитируя Дедекинда, сформулировал эквивалентный, но более простой набор аксиом , ставших теперь стандартными.

Дедекинд внес и другие вклады в алгебру . Например, около 1900 года он написал первые статьи о модульных решетках . В 1872 году, находясь на отдыхе в Интерлакене , Дедекинд познакомился с Георгом Кантором . Так начались прочные отношения взаимного уважения, и Дедекинд стал одним из первых математиков, восхищавшихся работой Кантора о бесконечных множествах, оказавшись ценным союзником в спорах Кантора с Леопольдом Кронекером Кантора , который философски выступал против трансфинитных чисел .

Библиография

Основная литература на английском языке:

• 1890. «Письмо Кеферштейну» Жану ван Хейеноорту , 1967. Справочник по математической логике, 1879–1931 . Гарвардский университет. Пресса: 98–103.
• 1963 (1901). Очерки по теории чисел . Беман, WW, изд. и пер. Дувр. Содержит английские переводы книг « Непрерывность и иррациональные числа» и «Что такое числа и что они должны делать?»
• 1996. Теория алгебраических целых чисел . Стиллвелл, Джон, изд. и пер. Кембриджский университет. Нажимать. Перевод книги « К теории целых алгебраических чисел» .
• Эвальд, Уильям Б., изд., 1996. От Канта до Гильберта: Справочник по основам математики , 2 тома. Оксфордский университет. Нажимать.
  • 1854. «О введении новых функций в математику», 754–61.
  • 1872. «Непрерывность и иррациональные числа», 765–78. (перевод Stetigkeit... )
  • 1888. Что такое числа и какими они должны быть? , 787–832. (перевод Was sind und... )
  • 1872–82, 1899. Переписка с Кантором, 843–77, 930–40.

Основная литература на немецком языке:

• Сборник математических сочинений (Полное собрание математических сочинений, Т. 1–3). Проверено 5 августа 2009 г.

См. также

• Список вещей, названных в честь Ричарда Дедекинда
• Дедекинд разрез
• Дедекинд домен
• Дедекинд и функция
• Бесконечное множество Дедекинда
• Число Дедекинда
• Пси-функция Дедекинда
• Сумма Дедекинда
• Дзета-функция Дедекинда
• Идеал (теория колец)

Ссылки

• Бирманн, Курт-Р (2008). «Дедекинд, (Юлий Вильгельм) Рихард». Полный словарь научной биографии . Том. 4. Детройт: Сыновья Чарльза Скрибнера. стр. 1–5. ISBN  978-0-684-31559-1 .

Дальнейшее чтение

• Эдвардс, Х.М. , 1983, «Изобретение идеалов Дедекиндом», Bull. Лондонская математика. Соц. 15 :8–17.
• Уильям Эверделл (1998). Первые модерны . Чикаго: Издательство Чикагского университета . ISBN  0-226-22480-5 .
• Гиллис, Дуглас А., 1982. Фреге, Дедекинд и Пеано об основах арифметики . Ассен, Нидерланды: Ван Горкум.
• Феррейрос, Хосе, 2007. Лабиринт мысли: история теории множеств и ее роль в современной математике . Базель: Биркхойзер, гл. 3, 4 и 7.
• Айвор Граттан-Гиннесс , 2000. В поисках математических корней 1870–1940 . Принстонский университет. Нажимать.

Существует онлайн-библиография вторичной литературы о Дедекинде. Также обратитесь к «Введением» Стиллвелла в Дедекинд (1996).

Внешние ссылки

• О'Коннор, Джон Дж.; Робертсон, Эдмунд Ф. , «Ричард Дедекинд» , Архив истории математики MacTutor , Университет Сент-Эндрюс
• Работы Ричарда Дедекинда в Project Gutenberg
• Работы Ричарда Дедекинда или о нем в Internet Archive
• Дедекинд, Ричард, Очерки по теории чисел. Издательство Open Court Publishing Company, Чикаго, 1901 год. В Интернет-архиве.
• Вклад Дедекинда в основы математики http://plato.stanford.edu/entries/dedekind-foundations/ .