Сумма Дедекинда

В математике представляют суммы Дедекинда собой определенные суммы произведений пилообразной функции и задаются функцией D трех целочисленных переменных . Дедекинд ввел их для выражения функционального уравнения Дедекинда эта-функции . Впоследствии они широко изучались в теории чисел и встречались в некоторых задачах топологии . Суммы Дедекинда имеют большое количество функциональных уравнений; в этой статье перечислена лишь небольшая часть из них.

Суммы Дедекинда были введены Рихардом Дедекиндом в комментарии к фрагменту XXVIII собрания статей Бернхарда Римана .

Определение

Определите пилообразную функцию $(\!(\,)\!):\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ как

$(\!(x)\!)={\begin{cases}x-\lfloor x\rfloor -1/2,&{\mbox{if }}x\in \mathbb {R} \setminus \mathbb {Z} ;\\0,&{\mbox{if }}x\in \mathbb {Z} .\end{cases}}$

Затем мы позволяем

$D:\mathbb {Z} ^{2}\times (\mathbb {Z} -\{0\})\to \mathbb {R}$

определяться

$D(a,b;c)=\sum _{n=1}^{c-1}\left(\!\!\left({\frac {an}{c}}\right)\!\!\right)\!\left(\!\!\left({\frac {bn}{c}}\right)\!\!\right),$

члены справа представляют собой суммы Дедекинда . Для случая а = 1 часто пишут

s ( б , c ) знак равно D (1, б ; c ).

Простые формулы

Обратите внимание, что D симметричен относительно a и b , и, следовательно,

$D(a,b;c)=D(b,a;c),$

и что по нечетности (( )),

D (- а , б ; c ) знак равно - D ( а , б ; c ),

D ( а , б ; - c ) знак равно D ( а , б ; c ).

По периодичности D в первых двух аргументах, третий аргумент представляет собой длину периода для обоих,

D ( a , b ; c ) = D ( a + kc , b + lc ; c ), для всех целых чисел k , l .

Если d — целое положительное число, то

D ( объявление , бд ; cd ) = dD ( а , б ; c ),

D ( ad , bd ; c ) = D ( a , b ; c ), если ( d , c ) = 1,

D ( объявление , б ; cd ) = D ( а , б ; с ), если ( d , б ) = 1.

Существует доказательство последнего равенства с использованием

$\sum _{n=1}^{c-1}\left(\!\!\left({\frac {n+x}{c}}\right)\!\!\right)=(\!(x)\!),\qquad \forall x\in \mathbb {R} .$

Более того, az = 1 (mod c ) влечет D ( a , b ; c ) = D (1, bz ; c ).

формы

Если b и c , взаимно просты мы можем записать s ( b , c ) как

$s(b,c)={\frac {-1}{c}}\sum _{\omega }{\frac {1}{(1-\omega ^{b})(1-\omega )}}+{\frac {1}{4}}-{\frac {1}{4c}},$

где сумма распространяется по корням c-й степени из единицы, отличным от 1, т.е. по всем $\omega$ такой, что $\omega ^{c}=1$ и $\omega \not =1$.

Если b , c > 0 взаимно простые, то

$s(b,c)={\frac {1}{4c}}\sum _{n=1}^{c-1}\cot \left({\frac {\pi n}{c}}\right)\cot \left({\frac {\pi nb}{c}}\right).$

Закон взаимности

Если b и c — взаимно простые положительные целые числа, то

$s(b,c)+s(c,b)={\frac {1}{12}}\left({\frac {b}{c}}+{\frac {1}{bc}}+{\frac {c}{b}}\right)-{\frac {1}{4}}.$

Переписав это как

$12bc\left(s(b,c)+s(c,b)\right)=b^{2}+c^{2}-3bc+1,$

отсюда следует, что число 6 c   s ( b , c ) является целым числом.

Если k = (3, c ), то

$12bc\,s(c,b)=0\mod kc$

и

$12bc\,s(b,c)=b^{2}+1\mod kc.$

В теории эта-функции Дедекинда важное место занимает следующее соотношение. Пусть q = 3, 5, 7 или 13 и пусть n = 24/( q − 1). Затем для заданных целых чисел a , b , c , d с ad − bc = 1 (таким образом, принадлежащих к модулярной группе ) с выбранным c так, что c = kq для некоторого целого числа k > 0, определим

$\delta =s(a,c)-{\frac {a+d}{12c}}-s(a,k)+{\frac {a+d}{12k}}$

Тогда n δ — четное целое число.

Радемахера

Ганс Радемахер нашел следующее обобщение закона взаимности для сумм Дедекинда: Если a , b и c попарно взаимно простые положительные целые числа, то

$D(a,b;c)+D(b,c;a)+D(c,a;b)={\frac {1}{12}}{\frac {a^{2}+b^{2}+c^{2}}{abc}}-{\frac {1}{4}}.$

Следовательно, указанная выше тройная сумма равна нулю тогда и только тогда, когда ( a , b , c ) является марковской тройкой, т.е. решением марковского уравнения.

$a^{2}+b^{2}+c^{2}=3abc.$

Дальнейшее чтение

• Том М. Апостол , Модульные функции и ряды Дирихле в теории чисел (1990), Springer-Verlag, Нью-Йорк. ISBN   0-387-97127-0 (см. главу 3.)
• Маттиас Бек и Синай Робинс, Суммы Дедекинда: дискретная геометрическая точка зрения. Архивировано 18 мая 2011 г. в Wayback Machine (2005 г. или ранее).
• Ганс Радемахер и Эмиль Гроссвальд , Суммы Дедекинда , Монографии Carus Math, 1972. ISBN   0-88385-016-8 .